Número cardinal

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ Número Naturales $\mathbb{N}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Irracionales $\mathbb{I}$ Reales $\mathbb{R}$ Complejos $\mathbb{C}$
Números destacables
π (Pi) (3.1415926535...) e (2.7182818284...) Φ (1,6180339887...) i ( $\sqrt{-1}$ )
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \cdots$ } Números infinitos Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

El cardinal indica el número o cantidad de los elementos constitutivos de un conjunto. Es interesante destacar que se diferencia del ordinal, porque el ordinal introduce orden y de ahí jerarquía: primero, segundo, tercero, etc. El cardinal, en cambio, nombra el número de elementos constitutivos y ése es el nombre del conjunto correspondiente.

Dado un conjunto A, el cardinal de este conjunto se lo simboliza |A| o card(A).

Por ejemplo: Si A tiene 3 elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.

Dos cardinales no son iguales si tienen diferente número de elementos constitutivos: un conjunto de tres elementos, será diferente que si lo constituyen cuatro. Si uno se agregara a los cuatro, serían cinco, es decir, un conjunto diferente, más aún, esencialmente diferente.

Otra propiedad: el nombre del cardinal indica su existencia y su límite.

Por ejemplo, existe el cardinal tres y está constituido por tres elementos y no por cuatro. Ése es su límite. El conjunto que no tiene ningún elemento es el conjunto vacío.

[editar] Historia

El concepto de número cardinal fue inventado por Georg Cantor, en 1874.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como un instrumento para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no son iguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.

Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspodencia uno a uno, le sirvió para crear concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de forma biyectiva con el conjunto de números naturales (N = {1, 2, 3, ...})

Nombró el cardinal de $\mathbb{N}$ : $\aleph_0$ . Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares), tienen cardinalidad $\aleph_0$ , debido que era posible establecer la relación biunívoca con N

[editar] Ejemplos de cardinales

A = {2,4,5}

Es trivial probar que esta función es inyectiva: f: {2,4,5} → {1,2,3}

$f(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{si }x\mbox{= 2} \\ 2, & \mbox{si }x\mbox{= 4} \\ 3, & \mbox{si }x\mbox{= 5} \end{cases}$

{x ∈ ℕ / x es par }

Vamos a probar que la cardinalidad de este conjunto es $\aleph_0$ Defino: f: {x ∈ ℕ / x es par } → ℕ / f(x)=x/2 g: ℕ → {x ∈ ℕ / x es par } / f(x)=2*x

Demostrando la inyectividad de ambas, concluimos que f es biyectiva. La cardinalidad del conjunto $\aleph_0$

Este resultado puede parecer contrario a la intuición, ya que se puede pensar que hay más naturales que pares (porque, por ejemplo, el 1 es natural y no está incluido en los pares), pero demostramos que estos conjuntos son equipotentes.

Números racionales ( $\mathbb{Q}$ )

Analizando un poco la topología de los naturales, podemos ver que entre 2 naturales cualquier, existen un número finito de ellos (por ejemplo, entre 2 y 10, hay 9 números) pero entre 2 racionales existen infinitos, sin embargo, ¿ será posible que la cardinalidad de $\mathbb{N}$ y la cardinalidad de $\mathbb{Q}$ sea la misma ?.

Se puede expresar el conjunto $\mathbb{Q}$ como $\mathbb{N}$ x $\mathbb{N}$ . O sea las tuplas (p, q) que representará al número $p \over q$

Definimos una función f.

f: $\mathbb{N}$ → $\mathbb{N}$ x $\mathbb{N}$

f(x) = (1,x)

Fácilmente se ve que es inyectiva, ya que a todo natural le asigno un par y no se repite ninguno. Concluimos: $card(\mathbb{N}) \leq card(\mathbb{Q})$

Ahora otra función.

g: $\mathbb{N}$ x $\mathbb{N}$ → $\mathbb{N}$

g(x, y) = $3 x * 2 y$

Al ser 3 y 2 números primos, para cada par x, y obtendremos un número distinto. Entonces g es inyectiva y $card(\mathbb{Q}) \leq card(\mathbb{N})$

Por lo tanto: $card(\mathbb{Q}) = card(\mathbb{N})$

Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

$|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n$

Donde |P(A)| es el cardinal del conjunto de partes.

[editar] Reglas de nominación cardinal

Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:

El cardinal de los números reales: card(R) = c (continuo);
El cardinal de los números naturales: card(N) = $\aleph_0$ (Alef-0).

Son unas reglas básicas para adjudicar el nombre a cifras cuyos números son muy grandes, en contra de darles nombres propios, que harían imposible conocer de memoria escasamente unos miles.

Es preciso señalar que los números toman su valor además de por él propio que lo rerpresenta , por el valor de posición que ocupan, dando lugar a niveles.

Siendo la base de numeración común al uso la base decimal, se memorizan algunos nombres que tienen nombre propio, y partiendo de esto se pueden formar los nombres de cualquier otra combinación no contemplada en los nombres propios:

Los primeros 16 nombres propios Reciben por nombres: cero =0, Uno =1 ; dos =2, tres =3 , cuatro =4 .... quince =15.

Tomando como decimos la base decimal, aprovechamos los múltiplos de 10 a los que se les ha adjudicado también un nombre propio: veinte =20 , treinta =30 , cuarenta =40 .... noventa =90 .

Los números en decimal, están agrupados en factor de 3 , es decir cada 3 cifras se agrupan y separan de otros grupos, ligeramente o mediante signos, para facilitar su lectura o escritura, al tiempo que se repite esa secuencia igualmente en los nombres, al tomar prestado el nombre las unidades , las decenas y las centenas etc... para los grupos.

Luego entramos en los nombres propios de otros órdenes o niveles : cien =100 , mil =1000 , millón =1.000.000 , billón... trillón... etc....

Así pues conocidos los nombres propios de los números, y la regla de los grupos de 3 y su concepción las demás cifras, se nombran componiendo en línea el nombre de orden mayor, expresado por el número que lo representa, seguido por el de orden siguiente, expresado por el número que está localizado en su posición, etc.. etc... hasta llegar a la última cifra que son las unidades. Es de señalar que la lectura se hace de izquierda a derecha, y que en el mismo sentido van tomando el valor de más a menos.En cada grupo de 3 se añade un "y" como conjunción al seguimiento del número después de las decenas y contra las unidades.

Ejemplo: 43 568 cuarenta y tres mil quinientos sesenta y ocho.

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../n/%C3%BA/m/N%C3%BAmero_cardinal.html"

Categorías: Teoría de números | Teoría de conjuntos