Número infinito

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El concepto del infinito aparece en varias ramas de la matemática, entre otras en la geometría (punto al infinito de la geometría proyectiva), en el análisis (límites infinitos, o límites al infinito) y en los números (números ordinales y números cardinales) dentro de la teoría de conjuntos.

[editar] I Números ordinales infinitos

Los números ordinales sirven para notar una posición en un conjunto ordenado (primer, segundo, tercer elemento ...). El ejemplo más elemental es el de los números naturales, que se definen rigurosamente así: Se nota 0 el conjunto vacío:

0 ={}

se nota 1 el conjunto que sólo contiene 0 :

1 = {0} = {{}},

luego se nota 2 el conjunto que sólo contiene 0 y 1:

2 = {0;1} = { {}, { {} } }

Y así sucesivamente : 3 = {0;1;2} = { {};{{}}; {{};{{}}} } ...

Por construcción, 0 está incluido en 1, quién a su vez está incluido en 2 ... La inclusión define un buen orden (dos elementos distintos siempre se pueden comparar, y añadiendo la igualdad daría un orden total) entre estos conjuntos que se prefiere, por costumbre, escribir "<", lo que da las relaciones 0<1<2<3 ... Decir que un ordinal es menor (estrictamente) que otro significa, cuando se les considera a ambos como conjuntos, que está incluido en el otro.

Si a y b son ordinales, entonces A U B, la unión de los conjuntos, también lo es. En particular, si son ordinales finitos (conjuntos finitos) correspondientes a los naturales a y b, entonces A U B corresponde al mayor de los dos, a o b. Más generalmente, si los A_i son ordinales, donde i toma todos los valores de un conjunto I, entonces A = U A_i también lo será. Y si el conjunto I no es finito, tampoco lo será A. Así obtendremos ordinales (o sea números) infinitos.

Acabamos de caer en un a trampa, al hablar de "conjunto finito" sin definir este vago concepto. Para bien definirlo, debemos compararlo con los ordinales.

Dos conjuntos bien ordenados A y B son isomorfos (con relación al orden) si existe una biyección f entre ambos que respeta el orden: si a<a' en A, entonces f(a)<f(a') en B. Resulta obvio constatar que si A es un conjunto ordenado con n elementos (n entero natural) entonces A es isomorfo a n = { 0;1;2 ... n-1}. Basta con renombrar cada elemento de A para obtener A = {a₀, a₁, a₂ ... a_n-1 }. Un isomorfismo es meramente un cambio de apelación. Diremos que un ordinal es finito si cada una de sus partes no vacías tiene un elemento máximo. Por lo tanto todo natural es un ordenal finito. La intuición nos dice que no hay otros ordenales finitos.

Lógicamente, diremos que un conjunto ordenado es finito si es isomorfo a un ordinal finito, o sea a un natural.

Para introducir los ordinales infinitos, es preciso dar ahora la definición exacta de un ordinal:

Un conjunto A totalmente ordenado (por la inclusión) es un ordinal si y sólo si cada elemento de A es también un subconjunto de A

Ya vimos que es el caso para los naturales: Por ejemplo, el conjunto 2 = {0;1} = { {}, { {} } } admite 1= {0} = {{}}, como elemento y por lo tanto también como subconjunto.

Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ordinal. Esto es obvio en el caso finito, y se muestra por induccíon transfinita que lo es en el caso infinito. O sea, renombrando los elementos de un conjunto bien ordenado siempre obtenemos un ordinal.

¿Cuál es el premier ordinal infinito? Ya hemos visto que una unión cualquiera de ordinales es un ordinal. Si tomemos una unión finita de ordinales finitos, fabricamos un ordinal finito. Para obtener el primer ordinal infinito tenemos que reunir un número no finito de ordinales finitos. Haciéndolo, siempre caemos en el mismo conjunto, construido al reunir todos los ordinales finitos, es decir los naturales. El conjunto de todos los naturales, N, es pues el primer ordinal infinito, lo que no debería sorprender, y lo notamos en este contexto ω (omega).

Para visualisar los ordinales, resulta muy práctico representar cada uno por un punto de una sucesión creciente convergente, como por ejemplo u_n = 1 - 1/(n+1). Esto da algo semejante a:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX........

...........................................................................u₄

Escojamos un punto de la sucesión, y miremos cuantos puntos están más a la izquierda. En el ejemplo, hay cuatro, y por lo tanto se trata de u₄, lo que corresponde al ordinal 4. Para representar el ordinal w, resulta natural añadir a la sucesión previa un punto 'O' situado exactamente en el límite de la sucesión:

X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O

.......................................................................................................................................................u_w

A la izquierda de u_w hay una infinidad de puntos, por lo tanto w es infinito. Pero si elegimos a cualquier otro punto de la sucesión a su izquierda, ya no es el caso, lo cual prueba que w es el primer ordinal infinito. Después de w llega w+1, w+2 ... que se representan añadiendo a la derecha uno dos o más puntos, inicialmente distantes, y luego más cercanos entre sí:

X________X________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...O_______X_____X

El último punto dibujado corresponde a w+2.

Más generalmente, para sumar dos ordinales A y B se cambian los nombres de los elementos para que sean todos distintos, luego se juntan los conjuntos A y B, poniendo B a la derecha de A es decir imponiendo que cada elemento de B sea mayor que todos los de A. Así hemos construido w+1, ... y así podemos construir 1+w: Notemos Y el elemento de 1, y X los de w:

Y__________X__________X_________X_______X______X______X_____X____X___X__X_X_XXX...

Salta a la vista que w y 1+w son muy parecidos. De hecho la función x →x - 1 realiza un isomorfismo entre ellos (1+w tiene dos elementos llamados 0: 0_A y 0_B. El primero hace el papel de -1 en la función). Por lo tanto corresponden al mismo ordinal: 1+w = w. Mas no es el caso de w+1, que es distinto de w porque su el conjunto w+1 tiene un elemento máximo (el O del dibujo) mientras que el conjunto w no lo tiene (el límite de los naturales no es un natural). El punto w (el O del dibujo) no tiene antecesor, es decir que no existe un n tal que n+1=w: se dice que w es un ordinal límite. Cero tiene también esta propiedad pero no merece esta apelación. Como w+1 ≠ 1+w, la adición no es conmutativa en los ordinales. Se construye del mismo modo w + w que se nota lógicamente 2w. La multiplicación se define a partir de la adición como para los naturales. Una vez que se ha representado nw, con n natural, no resulta demasiado difícil imaginar lo que será w.w, escrito w². Luego se puede definir wⁿ, con n natural, y, tomando el límite, w^w, que ya cuesta mucho esfuerzo imaginar( tiene tantos elementos que la línea real). Sin hablar de w^ww, w^ww^w ... sucesión que tiene como límite epsilon 0, ordinal que no está al alcance de la mente humana.

[editar] II Números cardinales infinitos

El cardinal de un conjunto es el número de elementos que contiene. Esta noción es por lo tanto distinta del ordinal, que caracteriza el lugar de un elemento en una sucesión. "Cinco" difiere de "quinto" aunque obviamente existe una relación entre ambos.

Se dice que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si existe una biyección entre ellos. Contrariamente a los ordinales, esta biyección no tiene que respetar el orden (además los conjuntos no tienen que ser ordenados). Como ya tenemos un surtido de conjuntos -los ordinales- veamos sus tamaños (o sea sus cardinales) respectivos.

No es ninguna sorpresa que los ordinales finitos también son cardinales: entre dos conjuntos con n y m elementos, m y n distintos, no puede haber biyección, por lo tanto tienen cardinales distintos.

Pero no es el caso con los ordenales infinitos: Por ejemplo, w y w+1 están en biyección por la función :

w+1 → w

x → x+1 y w → 0. Tal biyección no respeta el orden, por eso dos ordinales distintos pueden corresponder a un mismo cardinal.

Se suele notar |A| el cardinal de A. Se llama alef₀ el cardinal de w, o sea del conjunto de los naturales (alef siendo la primera letra del alfabeto hebreo). Si A y B son conjuntos, entonces |AxB| = |A|.|B|, donde x designa el producto cartesiano de los conjuntos, y "." es el producto de los cardinales definidos por esta fórmula. El conjunto de las partes de un conjunto A, P(A) está en biyección con el conjunto de las funciones de {0,1} hacia A, conjunto que de escribe 2^A, como caso particular de Y^X que denota el conjunto de las aplicaciones de X hacia Y. El cardenal de R, conjunto de los reales es por lo tanto 2^alef₀, porque R está en biyección con las partes de N, por medio de la escritura decimal de los reales. No se puede decidir, con los axiomas clásicos (los de la teoría de los conjuntos, fundamentos de la matemática) si existe un cardinal mayor que alef₀ y menor que 2^alef₀, es decir si existe un conjunto con más elementos que N pero con menos elementos que R. La hipótesis del continuo, que es un axioma adicional, afirma que no.

[editar] Aplicaciones de Números ordinales

El orden bien fundamentado sobre los ordinales tiene aplicaciones prácticas en demostraciones de terminación de programas, por ejemplo con la herramienta de demostración ACL2.

• Manolios, Panagiotis & Vroon, Daron. Algorithms for ordinal arithmetic. Baader, Franz (ed), 19th International Conference on Automated Deduction--CADE-19. Pages 243-257 of LNAI, vol. 2741. Springer-Verlag.

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