Número

De Wikipedia, la enciclopedia libre

Este artículo trata del concepto matemático. Para el concepto lingüístico véase Número gramatical.

Sistema numérico en matemática.
Conjuntos de Números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ Número Naturales $\mathbb{N}$ Enteros $\mathbb{Z}$ Racionales $\mathbb{Q}$ Irracionales $\mathbb{I}$ Reales $\mathbb{R}$ Complejos $\mathbb{C}$
Números destacables
π (Pi) (3.1415926535...) e (2.7182818284...) Φ (1,6180339887...) i ( $\sqrt{-1}$ )
Números Especiales
Nominales Ordinales {1^o,2^o,...} (de orden) Cardinales { $\aleph_1, \aleph_2, \cdots$ } Números infinitos Números transfinitos
Números con propiedades especiales
Primos $\mathbb{P}$ , Abundantes, Perfectos, Defectivos, Amigos, Sociables, Algebraicos

Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un número recibe el nombre de numeral. Los números se usan con mucha frecuencia en la vida diaria como etiquetas (números de teléfono, numeración de carreteras), como indicadores de orden (números de serie), como códigos (ISBN), etc. En matemática, la definición de número se extiende para incluir abstracciones tales como números fraccionarios, negativos, irracionales, trascendentales y complejos.

[editar] Tipos de números

Los números más conocidos son los números naturales 0, 1, 2, ..., que se usan para contar. Si añadimos los números negativos obtenemos los enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si incluimos todos los números que son expresables con decimales pero no con fracciones de enteros, obtenemos los números reales; si a éstos les añadimos los números complejos, tendremos todos los números necesarios para resolver cualquier ecuación algebraica. Podemos ampliar aún más los números, si añadimos los infinitos y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no son soluciones de una ecuación polinomial o algebráica. Reciben el nombre de transcendentales. El ejemplo más famoso de estos números es π (Pi), otro ejemplo fundamental e igual de importante es e, base de los logaritmos naturales. Estos dos números están relacionados entre sí por la identidad de Euler, también llamada la fórmula más importante del mundo.

Existe toda una teoría de los números. Se distinguen distintos tipos de números:

Números naturales
Números enteros
- Números pares
- Números impares
Números racionales
Números reales
Números complejos
Cuaterniones
Números infinitos
Números transfinitos
Números negativos
Números fundamentales: π y e

El estudio de ciertas propiedades que cumplen los números ha producido una enorme cantidad de tipos de números, la mayoría sin un interés matemático específico. A continuación se indican algunos:

Narcisista: Número de n dígitos que resulta ser igual a la suma de las potencias de orden n de sus dígitos. Ejemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³.
Omirp: Número primo que al invertir sus dígitos da otro número primo. Ejemplo : 1597 y 7951 son primos.
Vampiro: Número que se obtiene a partir del producto de dos números obtenidos a partir de sus dígitos. Ejemplo: 2187 = 27 x 81.

Una vez entendido el problema de la naturaleza y la clasificación de los números, surge otro, más práctico, pero que condiciona todo lo que se va a hacer con ellos: la manera de escribirlos. El sistema que se ha impuesto universalmente es la numeración de posición gracias al invento del cero, con una base constante.

Más Formalmente, en "the concept of number", el matemático (trascendente) Frege realiza una definición de "número", la cual fue tomada como referencia por un gran número de matemáticos (entre ellos Russell -co-creador de principia mathematica-):

"n es un número" es entonces la definición de que "existe un concepto F para el cual n aplica", que a su vez se ve explicado como que "n es la extensión del concepto "equinumerable con" para F", y dos conceptos son "equinumerables" si existe una relación "uno a uno" (véase que no se utiliza el símbolo 1 porque no esta definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros terminos).

Véase también que Frege, tanto como cualquier otro matemático, se ven inhabilitados para definir a número como la expresión de una cantidad, porque la simbología en matemática no hace referencia necesaria a la numerabilidad, y el hecho de "cantidad" referiría a algo numerable, mientras que números se adoptan para definir la cardinalidad de, por ejemplo, los elementos que se encuentran en el intervalo abierto (0, 1), que contiene innumerables elementos (potencia del continuo).

Peano antes de establecer sus cinco proposiciones sobre los números naturales explicita que supone sabida una definición (quizás debido a su "obviedad") de las palabras o conceptos "cero", "sucesor" y "número". de esta manera postula :

"0 es un número"
"el sucesor de todo número es un número"
"dos números -diferentes- no tienen el mismo sucesor"
"0 no es el sucesor de ningún número"
y la propiedad inductiva.

Sin embargo, si uno define el concepto "cero" como el número 100, y el concepto "número" como "los números mayores a 100", entonces las cinco proposiciones mencionadas anteriormente aplican, no a la idea que Peano habría querido comunicar, sino a su formalización.

La definición de número se encuentra por ende no totalmente formalizada, aunque se encuentre un acuerdo mayoritario en adoptar la definición enunciada por Frege.

[editar] Historia

Su origen se pierde en la noche de los tiempos aunque se apunta que su origen fue la necesidad de contar del hombre. No fue fácil pues, aún no hace mucho, han existido tribus primitivas que solo distinguían entre 1, 2 y muchos. Este conteo se inició mediante montones de piedras y marcas en huesos (se conserva una de hace 30000 años).

Existe otra teoría que indica su origen ordinal en los rituales religiosos, pero es poco probable que surgiese solo en un lugar y después se extendiese. Desde hace 5000 años la mayoría de las civilizaciones han contado como lo hacemos hoy, sin embargo la forma de escribir los números (aunque todos representan con exactitud los naturales) ha sido muy diversa. Pero básicamente la podemos clasificar en tres categorías:

Sistemas de numeración aditivos. Acumulan los símbolos de todas las unidades, decenas, centenas,... necesarios hasta completar el número. Aunque los símbolos pueden ir en cualquier orden, adoptaron siempre una determinada posición (de más a menos). De este tipo son los sistemas de numeración: Egipcio, hitita, cretense, romano, griegos, armenio y judío.
Sistemas de numeración híbridos. Combinan el principio aditivo con el multiplicativo. En los anteriores 500 se representa con 5 símbolos de 100, en éstos se utiliza la combinación del 5 y el 100. El orden de las cifras es ahora fundamental (estamos a un paso del sistema posicional). De este tipo son los sistemas de numeración: Chino clásico, asirio, armenio y etiope.
Sistemas de numeración posicionales. La posición de las cifras nos indica si son unidades, decenas, centenas,... o en general la potencia de la base. Solo tres culturas además de la india lograron desarrollar un sistema de este tipo: El sistema Chino (300 a.C.) que no disponía de 0, el sistema Babilónico (2000 a.C.) con dos símbolos, de base 10 aditivo hasta el 60 y posicional (de base 60) en adelante, sin "0" hasta el 300 a.C. y El sistema Maya (??) con dos símbolos, de base 20, con el 5 como auxiliar y con una irregularidad en las unidades de tercer orden (20x18 en vez de 20x20) Los indios antes del siglo VIII desarrollaron el sistema posicional de base 10 tal como lo conocemos hoy, salvo por el trazo de las cifran indo-arábigas.

[editar] Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)

En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a.C. además del sistema de numeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo $n / n + 1$ . Hay tablas de descomposición de $2 / n$ desde n=1 hasta n=101, como por ejemplo $2 / 5 = 1 / 3 + 1 / 15$ ó $2 / 7 = 1 / 4 + 1 / 28$ , no sabemos por qué no utilizaban $2 / n = 1 / n + 1 / n$ pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que $1 / n$ .

Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4 duplicaciones y 2 una duplicación

[editar] Fracciones sexagesimales babilónicas (Documentos cuneiformes)

En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a.C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para 2x60+2, 2+2x60-1 ó 2x60-1+2x60-2 con una representación basada en la interpretación del problema.

Para calcular recurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado (¿antilogaritmos?) no fijo, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a1 , y calculaban b1=a/a1 (una mayor y otra menor) y entonces a2=(a1+b1)/2 es mejor aproximación, procediendo igual obtenemos b2=a/a2 y a3=(a2+b2)/2 obteniendo en la tablilla Yale-7289 2 =1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a3 partiendo de a1=1;30.

Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen una expresión sexagesimal infinitamente larga. Si están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo periódico.

[editar] Descubrimiento de los inconmensurables

Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona una demostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y los impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:

Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como $p / q$ con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que $d 2 = s 2 + s 2$ , $(d / s) 2 = p 2 / q 2 = 2$ , entonces $p 2 = 2 q 2$ y por tanto $p 2$ debe ser par y también p y por tanto q impar. Al ser p par tenemos $p = 2 r$ , entonces $4 r 2 = 2 q 2$ y $2 r 2 = q 2$ , entonces $q 2$ es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.

La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.

El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a.C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció el Axioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón $a / b = c / d$ sii dados dos números naturales cualesquiera m y n, si $m a = n b$ entonces $m c = n d$ (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a nuestro procedimiento actual).

En el libro de J.P. Colette se hace la observación de que esta definición está muy próxima a la de número real que dará Dedekind en el siglo XIX, divide las fracciones en las $m / n$ tales que $m a = n b$ y las que $m a = n b$ .

[editar] Invención del símbolo 0

En cualquier sistema de numeración posicional surge el problema de la falta de unidades de determinado orden, por ejemplo, en el sistema babilónico el número $22$ , sobre base 60 puede ser $2 x 60 + 2$ ó $2 x 602 + 0 x 60 + 2$ . A veces, se utilizó la posición vacía para evitar este problema __ __ __; pero los escribas debían tener mucho cuidado para no fallar y así en el 300 a.C. surge el primer cero de la historia (Posicional, no cardinal). Los mayas llegaron al mismo descubrimiento.

Los únicos que fueron capaces de sacar partido a este descubrimiento fueron los hindúes al contar con una forma cifrada para cada uno de los numerales básicos (1,2,3,4,5,6,7,8,9,0). Desarrollaron numerosos algoritmos de cálculo, como el de la celosía para multiplicar (que nos llegó a través de los árabes), donde se muestra un algoritmo de multiplicación que calcula 54x372=20088.

[editar] Números negativos

Brahmagupta en el 628 de nuestra era considera las dos raíces de las ecuaciones cuadráticas, aunque una de ellas sea negativa o irracional. De hecho en su obra es la primera vez que aparece sistematizada la aritmética (+, -, *, / , potencias y raíces) de los números positivos, negativos y el cero que el llamaba los bienes, las deudas y la nada. Así por ejemplo para el cociente establece:

Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo. Cifra dividido por cifra es nada (0/0=0). Positivo dividido por negativo es negativo. Negativo dividido por afirmativo es negativo. Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominador (a/0=¿?)

No solo utilizó los negativos en los cálculos, sino que los consideró como entidades aisladas, sin hacer referencia a la geometría. Todo esto se consiguió gracias a su despreocupación por el rigor y la fudamentación lógica y su mezcla de lo práctico con lo formal.

Sin embargo el tratamiento que hicieron de los negativos cayó en el vacío y fue necesario que transcurrieran varios siglos para que fuese recuperado.

Al parecer los chinos también poseían la idea de número negativo y estaban acostumbrados a calcular con ellos utilizando varillas negras para los negativos y rojas para los positivos.

[editar] Trasmisión del sistema Indo-arábigo a Occidente

Varios autores del siglo XIII contribuyeron a esta difusión, destacamos a: Alexander de Villedieu (1225), Sacrobosco (1200-1256) y sobre todo Leonardo de Pisa (1180-1250). Este último, conocido como Fibonacci, viajó por Oriente y aprendió de los árabes el sistema posicional hindú. Escribió un libro El Liber abaci que trata en el capítulo I la numeración posicional, en los cuatro siguientes las operaciones elementales, en los capítulos VI y VII las fracciones: comunes, sexagesimales y unitarias (¡no usa los decimales, principal ventaja del sistema¡) y en el capítulo XIV los radicales cuadrados y cúbicos. También contiene el problema de los conejos que da la serie: $1,1,2,3,5,8,..., u n$ con $u n = u n - 1 + u n - 2$ .

No aparecen los números negativos, que tampoco consideraron las árabes, debido a la identificación de número con magnitud (¡obstáculo que duraría siglos!). A pesar de la ventaja de sus algoritmos de cálculo se desataría por diversas causas una lucha encarnizada entre abacistas y algoristas hasta el triunfo final de éstos últimos.

[editar] Las fracciones continuas

Pietro Antonio Cataldi (1548-1626), aunque con ejemplos numéricos desarrolla una raíz cuadrada en fracciones continuas como hoy: Queremos calcular $N$ y sea $a$ el mayor número cuyo cuadrado es menor que $N$ y $b = N - a 2$ , tenemos: $N - a = (N - a 2) / (N + a) = b / (2. a + N - a) = b / (2. a + (b / 2. a + ...))$ que con su notación escribía: n=a&b/2.a.&b/2.a ... Así 18=4&2/8.&2/8, que da las aproximaciones 4+(1/4), 4+(8/33)...

Siendo así los números irracionales aceptados con toda normalidad pues se les podía aproximar fácilmente mediante números racionales.

[editar] Primera formulación de los números complejos

Los números negativos eran en pocos casos aceptados como coeficientes de ecuaciones (M. Stifel (1487-1567), S. Stevin (1548-1620)) y por casi ninguno (S. Stevin) como raíces, llamándolos ficticios. A pesar de esto Cardano (1501-1576) conoce la regla de los signos y Bombelli (1526-1573) las reglas aditivas a través de haberes y débitos, pero se consideran manipulaciones formales para resolver ecuaciones, sin entidad al no provenir de la medida o el conteo.

Cardano en la resolución del problema dividir 10 en dos partes tales que su producto valga 40 obtiene como soluciones $5+ \sqrt{-15}$ (en su notación 5p:Rm:15) y $5 - \sqrt{-15}$ (en su notación 5m:Rm:15), soluciones que consideró meras manipulaciones "sútiles, pero inútiles".

En la resolución de ecuaciones cúbicas con la fórmula de Cardano-Tartaglia, aunque las raíces sean reales, aparecen en los pasos intermedios raíces de números negativos. En esta situación Bombelli dice en su Álgebra que tuvo lo que llamó "una idea loca", esta era que los radicales podían tener la misma relación que los radicandos y operar con ellos, tratando de eliminarlos después. En un texto posterior en 20 años utiliza p.d.m. $( + i)$ para $+ \sqrt{-1}$ y m.d.m. $( - i)$ para $- \sqrt{-1}$ dando las reglas para operar con estos símbolos añadiendo que siempre que aparece una de estas expresiones aparece también su conjugada como en las ecuaciones de 2º grado que resuelve correctamente. Da un método para calcular a+bi.

[editar] Generalización de las fracciones decimales

Aunque se encuentra un uso más que casual de las fracciones decimales en la Arabia medieval y en la Europa Renacentista y ya en 1579 Vieta (1540-1603) proclamaba su apoyo a estas frente a las sexagesimales y las aceptaban los matemáticos que se dedicaban a la investigación su uso se generalizó con la obra que Simón Stevin publicó en 1585 De Thiende (La Disme). En su definición 1 dice que la disme es un especie de aritmética que permite efectuar todas las cuentas y medidas utilizando únicamente números naturales. En las siguientes define nuestra parte entera: cualquier número que vaya el primero se dice comienzo y su signo es (0), (1ª posición decimal 1/10). El siguiente se dice primera y su signo es (1) (segunda posición decimal 1/100). El siguiente segunda (2). Es decir los números decimales que escribe: 0,375 como 3(1)7(2)5(3) ó 372,43 como 372(0)4(1)3(2). Añade que no se utiliza ningún número roto (fracciones) y el número de los signos exceptuando el 0, no excede nunca a 9.

Esta notación la simplificó Jost Burgüi (1552-1632) eliminando la mención al orden de las cifras y sustituyéndolo por un "." en la parte superior de las unidades 37243, poco después Magín (1555-1617) uso el . entre las unidades y las décimas: 372.43 uso que se generalizaría al aparecer en la Constructio de Napier(1550-1617) de 1619. La "," también fue usada a comienzos del siglo XVII por el holandés Willerbrod Snellius: 372,43.

[editar] El principio de inducción matemática

Su antecedente es un método de demostración, llamado inducción completa, por aplicación reiterada de un mismo silogismo que se extiende indefinidamente y que usó Maurolyco (1494-1575) para demostrar que la suma de los primeros n-impares es el cuadrado del n-simo término: $1 + 3 + 5 + 7 + ....... + (2 n - 1) = n 2$ . Primero demuestra que si a un cuadrado de orden n se le suma el impar de orden n+1, se obtiene el cuadrado de orden n+1: $n 2 + (2 n + 1) = (n + 1) 2$ . Basándose en esta propiedad obtiene: $1 + 3 = 4 = 2 2,4 + 5 = 9 = 3 2,9 + 7 = 16 = 4 2$ y aplicando indefinidamente esta propiedad queda demostrada la proposición.

Pascal (1623-1662) usó el método de inducción matemática, en su formulación abstracta, tal y como lo conocemos hoy para probar propiedades relativas al triangulo numérico que lleva su nombre.

En notación moderna (principio de inducción completa) tenemos:

Si E es un subconjunto de N tal que:

Para n = 0 se verifica E
Si supuesto que E se verifica para m entonces se verifica E también para m+; entonces, para todo n>=0 se verifica E.

[editar] La interpretación geométrica de los números complejos

Esta interpretación suele ser atribuida a Gauss (1777-1855) que hizo su tesis doctoral sobre el teorema fundamental del álgebra, enunciado por primera vez por Harriot y Girard en 1631 con intentos de demostración realizados por D’Alembert, Euler y Lagrange, demostrando que las pruebas anteriores eran falsas y dando una correcta primero para el caso de coeficientes reales y después complejos. También trabajo con los números enteros complejos que adoptan la forma $a + b i$ con $a$ y $b$ enteros. Este símbolo $i$ para $\sqrt{-1}$ fue introducido por primera vez por Euler en 1777 y difundido por Gauss en su obra “Disquisitiones arithmeticae” de 1801.

La representación gráfica de los números complejos había sido descubierta ya por Caspar Wessel (1745-1818) pero paso desapercibida, y así el plano de los números complejos se llama “plano de Gauss” a pesar de no publicar sus ideas hasta 30 años después.

Desde la época de Girard (mitad siglo XVII) se conocía que los números reales se pueden representar en correspondencia con los puntos de una recta. Al identificar ahora los complejos con los puntos del plano los matemáticos se sentirán cómodos con estos números, ver es creer

[editar] Descubrimiento de los números trascendentes

La distinción entre números irracionales algebraicos y trascendentes data del siglo XVIII, en la época en que Euler demostró que $e$ y $e 2$ son irracionales y Lambert que lo es π. Los trabajos de Legendre sobre la hipótesis de que π podía no ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales, señalaron el camino para distinguir distintos tipos de irracionales. Euler ya hacía esta distinción en 1744 pero habría que esperar casi un siglo para que se estableciera claramente la existencia de los irracionales trascendentes en los trabajos de Liouville, Hermite y Lindeman.

Liouville (1809-1882) demostró en 1844 que todos los números de la forma $a 1 / 10 + a 2 / 10 2! + a 3 / 10 3! + ...$ (p.e. 0,101001.....) son trascendentes.

Hermite (1822-1901) en una memoria “Sobre la función exponencial” de 1873 demostró la trascendencia de $e$ probando de una forma muy sofisticada que la ecuación: $c 0 + c 1 e + ...... + c n e n = 0$ no puede existir.

Lindeman (1852-1939) en la memoria “Sobre el número $e$ ” de 1882 prueba que el número e no puede satisfacer la ecuación: $c 1 e x + c 2 e x + ............ + c n e x = 0$ con $x$ y $c i$ algebraicos, por tanto la ecuación $e i x + 1 = 0$ no tiene solución para x algebraico, pero haciendo $x = π$ tenemos $e π i + 1 = 0$ , entonces $x = π i$ no puede ser algebraico y como i lo es entonces π es trascendente.

El problema 7 de Hilbert (1862-1943) que plantea si $a b$ , con a algebraico distinto de cero y uno y b irracional algebraico, es trascendente fue resuelto afirmativamente por Gelfond (1906-1968) en 1934. Pero no se sabe si son trascendentes o no: $e e$ , $e^{e^e}$ , $e^{e^{e^e}}$ , ... Sin embargo e y 1/e sí que son trascendentes.

[editar] Teorías de los Irracionales

Hasta mediados del siglo XIX los matemáticos se contentaban con una comprensión intuitiva de los números y sus sencillas propiedades no son establecidas lógicamente hasta el siglo XIX. La introducción del rigor en el análisis puso de manifiesto la falta de claridad y la imprecisión del sistema de los números reales, y exigía su estructuración lógica sobre bases aritméticas.

Bolzano había hecho un intento de construir los números reales basándose en sucesiones de números racionales, pero su teoría paso desapercibida y no se publicó hasta 1962. Hamilton hizo un intento, haciendo referencia a la magnitud tiempo, a partir de particiones de números racionales: si $a = n 1 / m 1$ , cuando $b = n_1^2/m_1^2$ y si $a = n 2 / m 2$ cuando $b = n_2^2/m_2^2$ $a= \sqrt{b}$ pero no desarrolló más su teoría.

Pero en el mismo año 1872 cinco matemáticos, un francés y cuatro alemanes, publicaron sus trabajos sobre la aritmetización de los números reales:

Charles Meray (1835-1911) en su obra “Noveau preçis d’analyse infinitesimale” define el número irracional como un límite de sucesiones de números racionales, sin tener en cuenta que la existencia misma del límite presupone una definición del número real.

Hermann Heine (1821-1881) publicó en el Journal de Crelle en 1872 su artículo “Los elementos de la teoría de funciones” cuya teoría sería similar a la de Cantor que se llama de Cantor-Heine.

Richard Dedekind (1831-1916) publica su “Stetigkeit und irrationale zahlen”. Su idea se basa en la continuidad de la recta real y en los “agujeros” que hay si solo consideramos los números racionales. En la sección dedicada al “dominio R” enuncia un axioma por el que se establece la continuidad de la recta “cada punto de la recta divide los puntos de ésta en dos clases tales que cada punto de la primera se encuentra a la izquierda de cada punto de la segunda clase, entonces existe un único punto que produce esta división”. Esta misma idea la utiliza en la sección “creación de los números irracionales” para introducir su concepto de “cortadura”. Bertrand Russell apuntaría después que es suficiente con una clase, pues esta define a la otra.

Georg Cantor (1845-1918). Define los conceptos de: sucesión fundamental, sucesión elemental y límite de una sucesión fundamental y partiendo de ellos define el número real.

Karl Weierstrass (1815-1897). No llegó a publicar su trabajo, continuación de los de Bolzano, Abel y Cauchy, pero fue conocido por sus enseñanzas en la Universidad de Berlín. Su caracterización basada en los “intervalos encajados”, que pueden contraerse a un número racional pero no necesariamente lo hacen, no es tan generalizable como las anteriores pero proporciona fácil acceso a la representación decimal de los números reales.

[editar] Véase también

Obtenido de "http://es.wikipedia.org../../../n/%C3%BA/m/N%C3%BAmero.html"

Categorías: Teoría de números | Matemática