Sistema de numeración

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Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema. Un sistema de numeración puede representarse como $N = S + R$ donde:

N es el sistema de numeración considerado
S son los símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema decimal son {0,1...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1...7}; en el hexadecimal son {0,1...9,A,B,C,D,E,F}
R son las reglas de generación que nos indican qué números son válidos y cuáles son no-válidos en el sistema.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema (para indicar el sistema de numeracíon utilizado se añade como subíndice al número).

Ejemplos:

el número $125 (10$ es un número válido en el sistema decimal, pero el número $12 A (10$ no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.
el número $35 (8)$ es un número válido en el sistema octal, pero el número $39 (8$ no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.
el número $F 1 E 4 (16)$ es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número $F K E 4 (16$ no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.

Tabla de contenidos

1 Clasificación
- 1.1 Sistemas de numeración posicionales
  - 1.1.1 Teorema Fundamental de la Numeración
    - 1.1.1.1 Ejemplo en el Sistema Decimal
    - 1.1.1.2 Ejemplo en el Sistema Binario
- 1.2 Sistemas de numeración no posicionales
2 Véase también

[editar] Clasificación

De una forma general y amplia podemos clasificar los sistemas de numeración en dos grandes tipos

Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema depende del valor que se les ha asignado, y de la posición que ocupan en el número.

No Posicionales: El valor de los símbolos que componen el sistema es fijo, y no depende de la posición que ocupa el símbolo dentro del número.

[editar] Sistemas de numeración posicionales

Los sistemas de numeración usados en la actualidad son ponderados o posicionales. En estos sistemas de numeración el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que b unidades forman una unidad de orden superior.

Podemos ver esto con un ejemplo en el sistema de numeración decimal.

Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.

Como vemos, un sistema de numeración posicional se comporta como un cuentakilómetros: va sumando 1 a la columna de la derecha y, cuando la rueda de esa columna ha dado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que encierra esa expresión.

Tal es la costumbre de calcular en decimal que la inmensa mayoría de la población ni siquiera se imagina que pueden existir otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 Sistema binario, de base 8 Sistema octal y el de base 16 Sistema hexadecimal.

[editar] Teorema Fundamental de la Numeración

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

N: Sistema de numeración
b: base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el sistema.
d: un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración
n: número de dígitos de la parte entera.
,: coma decimal. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte decimal.
k: número de dígitos de la parte decimal.

La fórmula general para construir un número (cualquier número) N en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

$\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot b^n+\ldots+d_1\cdot b^1+d_0\cdot b^0 , +d_{-1}\cdot b^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot b^{-k}& =& \end{matrix}$

$N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot b^i$

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.

Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

[editar] Ejemplo en el Sistema Decimal

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0...9} (0 hasta 9, ambos incluidos), por tanto la base (número de símbolos válidos en el sistema) es 10.

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

$\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot 10^n+\ldots+d_1\cdot 10^1+d_0\cdot 10^0 , +d_{-1}\cdot 10^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot10^{-k}& =& \end{matrix}$

$N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot 10^i$

Los dígitos a la izquierda de la coma decimal representados por d_n ... d₂ d₁ d₀ , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10ⁿ), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (10⁰=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma decimal.

Los dígitos a la derecha de la coma decimal d_-1, d_-2, d_-3 ... d_-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10^-1=0,1), centésimas (10^-2=0,01), milésimas (10^-3=0,001) y n-ésimas (10^-n) .

Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como:

$1492,36 = 1 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 9 \cdot 10^1 + 2 \cdot 10^0,+ 3 \cdot 10^{-1} + 6 \cdot 10^{-2}$

[editar] Ejemplo en el Sistema Binario

Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

$\begin{matrix} \!\!\!\!\!\!N=d_n \ldots d_1 d_0, d_{-1} \ldots d_{-k}& =&\\& \\ d_n\cdot 2^n+\ldots+d_1\cdot 2^1+d_0\cdot 2^0 , +d_{-1}\cdot 2^{-1}+\ldots+d_{-k}\cdot 2^{-k}& =& \end{matrix}$

$N=\sum_{i=-k}^n d_i\cdot 2^i$

Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que solo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.

Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.

Así, si contamos en binario, tras el número $0 (2$ viene el $1 (2$ , pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando $10 (2$

Sigamos contando $0 (2$ , $1 (2$ , $10 (2$ , $11 (2$ . Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también agotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o $100 (2$ . Así, en el sistema binario $11 (2 + 1 (2 + 100 (2$

Ejemplos:

El número $111_{(2}\,$ está formado por un sólo símbolo repetido tres veces. No obstante, cada uno de esos símbolos tiene un valor diferente, que depende de la posición que ocupa en el número. Así, el primer 1 (empezando por la izquierda) representa un valor de $4_{(2 }\, (2^2)$ , el segundo de $2_{(2 }\,(2^1)$ y el tercero de $1_{(2 }\,(2^0)$ , dando como resultado el valor del número: $111_{(2}=1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=4+2+1= 7_{(10 }$ .

Así podemos ver que $111_{(2 } = 7_{(10} \,$

[editar] Sistemas de numeración no posicionales

El sistema de los números romanos no es estrictamente posicional. Por esto, es muy complejo diseñar algoritmos de uso general (por ejemplo, para sumar, restar, multiplicar o dividir).

Como ejemplo, en el número romano XCIX (99 decimal) los numerales X (10 decimal) del inicio y del fin de la cifra equivalen siempre al mismo valor, sin importar su posición dentro de la cifra.