Pojęcie pierwotne
Z Wikipedii
Pojęcie pierwotne – obiekt w teorii sformalizowanej, o którym mówi ona w swych aksjomatach, konstruując wypowiedzi (twierdzenia) zgodnie z przyjętymi w tej teorii regułami wnioskowania. Pojęcia pierwotnego nie definiuje się językiem teorii, tylko podaje się definicję znaczeniową; przez podanie informacji (lub wymagań) o relacjach, w których występuje.
[edytuj] Intuicje
Przykłady:
- w podanej przez Euklidesa teorii geometrii euklidesowej pojęciami pierwotnymi są punkty, proste i relacja punkt p leży na prostej
, - w naiwnej teorii mnogości pojęciami pierwotnymi są zbiory i relacja należenia.
Intuicyjne omówienie pojęć pierwotnych i aksjomatów znajduje się w artykule Aksjomat.
[edytuj] Punkt widzenia współczesnej logiki matematycznej
Termin pojęcie pierwotne był w powszechnym użyciu w okresie poprzedzającym formalizację logiki matematycznej, jednak we współczesnych badaniach naukowych używa się go bardzo rzadko (jeśli w ogóle). Spowodowane to jest faktem, że w ujęciu formalnym każdemu z potencjalnych pojęć pierwotnych odpowiada element pewnego alfabetu τ (tzn. zbioru symboli relacyjnych, symboli funkcyjnych, symboli dla stałych, itp). Zamiast mówić, że pojęciami pierwotnymi naszej teorii T są... stwierdzamy iż T jest teorią w języku 
. Np. o teorii mnogości ZFC mówimy, że jest to teoria w języku pierwszego rzędu 
. W starym podejściu powiedzielibyśmy że 
jest pojęciem pierwotnym. (Zwróćmy uwagę, że w ZFC każdy obiekt jest zbiorem, więc w alfabecie tej teorii nie ma specjalnego predykatu na x jest zbiorem).
Warto zauważyć, że czasami jest wygodnie użyć terminu pojęcie pierwotne, szczególnie gdy używamy logik wielosortowych albo gdy rozważana teoria jest związana w pewnym sensie z inną powszechnie znaną. I tak:
- Możemy formalizować geometrię euklidesową na gruncie logiki dwusortowej i zamiast mówić, iż mamy dwa rodzaje obiektów, możemy stwierdzić, że mamy dwa pojęcia pierwotne (punkty i proste).
- Wprowadzając teorię mnogości Morse'a-Kelley'a, możemy stwierdzić, że pojęcia pierwotne tej teorii to relacja należenia i klasa, podkreślając tym samym, że zbiory są tutaj obiektami wtórnymi (tzn. zdefiniowanymi). Ale, podobnie jak i ZFC, jest to teoria w języku .
W kontekście logiki matematycznej należy zwrócić uwagę, że gdy podajemy modele danej teorii, to interpretujemy wszystkie symbole z alfabetu danej teorii, czyli w pewnym sensie określamy je. Absolutnie nie powinno to być rozumiane jako definiowanie pojęć pierwotnych, jest to całkowicie inna procedura. Ma ona zwykle na celu albo praktyczne wyjaśnienie pojęć (jak np. w geometrii) albo dowód niesprzeczności teorii.
Warto też zauważyć, że pojęcia pierwotne w ramach jednej teorii mogą być pojęciami definiowalnymi w innej (na innym poziomie logicznym). Na przykład prosta jest pojęciem pierwotnym w geometrii euklidesowej ale w geometrii analitycznej jest ona definiowana jako zbiór punktów spełniających pewne równanie. Podobnie w teorii liczb uważamy liczby za pojęcia pierwotne, ale w teorii mnogości liczby definiuje się za pomocą zbiorów (ogólnie taka jest też "ostateczna" definicja liczby).
