Algebra Banacha

Z Wikipedii

Algebra Banacha – w analizie funkcjonalnej, unormowana algebra nad ciałem liczb zespolonych, lub rzeczywistychw której metryka dyktowana przez normę jest zupełna. Swoją nazwę zawdzięczają polskiemu matematykowi, Stefanowi Banachowi, który badał je jako pierwszy.

Spis treści

1 Algebra zespolona
2 Definicja
3 Przykłady
4 Źródła
5 Przypisy

[edytuj] Algebra zespolona

Algebrą nad ciałem liczb zespolonych ( $\mathbb C$ -algebrą albo algebrą zespoloną) nazywamy przestrzeń liniową $A$ nad ciałem liczb zespolonych z określonym mnożeniem

$A \times A \ni (x,y) \mapsto xy \in A$ ,

takim że, dla dowolnych $\alpha, \beta \in \mathbb C,\; x, y, z \in A$ spełnione są warunki:

(α x + β y) z = α x z + β y z

x (α y + β z) = α x y + β x z

x (y z) = (x y) z

Jeżeli dodatkowo działanie to jest przemienne, tj. $x y = y x$ dla dowolnych $x,y\in A$ , to $A$ nazywamy algebrą przemienną. Algebra zespolona może nie mieć jedynki. Skrajnym przykładem jest dowolna przestrzeń liniowa $A$ z mnożeniem określonym wzorem $x y = 0$ dla dowolnych $x, y \in A$ ^[1].

[edytuj] Definicja

Algebrę zespoloną $A$ nazywamy unormowaną, jeśli $(A, \|\cdot\|)$ jest przestrzenią unormowaną, której norma jest podmultyplikatywna, tj. dla dowolnych $x, y\in A$ :

$\|xy\| \leqslant \|x\| \|y\|$ .

Jeżeli ponadto norma ta jest zupełna, tj. metryka przez nią dyktowana jest zupełna, to $A$ nazywamy algebrą Banacha.

[edytuj] Przykłady

Niech $E$ będzie przestrzenią Banacha i niech $B (E)$ oznacza algebrę wszystkich ograniczonych operatorów przestrzeni $E$ ze składnianiem, jako działaniem mnożenia. $E$ jest algebrą Banacha z jedynką oraz $\|\mathbf 1\| = 1$ .
Niech $X$ będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech $\mathcal C(X)$ oznacza przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych $X \to \mathbb C$ z działaniami dodawania i mnożenia określonymi punktowo, tj. dla dowolnych funkcji $f, g \in \mathcal C(X)$ zachodzi

$(f + g)(x) = f(x) + g(x),\; x \in X$ ,

$(fg)(x) = f(x) g(x),\; x \in X$ ,

z normą supremum. $\mathcal C(X)$ jest algebrą Banacha z jedynką.

Niech $L^1(\mathbb R)$ oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a na prostej z działaniem mnożenia, określonym przez splot, tj.

$(f * g)(x) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) g(x-t) dt,\; f,g\in \mathcal L(\mathbb R)$ .

Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, że istnieje ciąg funkcji ortonormalnych $\{e_n\colon\; n\in\mathbb N\} \subset L^1(\mathbb R)$ spełniających warunek:

$\lim_{n \to \infty}~\|e_n * f - f\| = \lim_{n\to\infty}~\|f * e_n - f\| = 0$ .
Przykładem skończeniewymiarowej^[2] algebry Banacha jest przestrzeń macierzy $\mathbb C^n_n$ z działaniem zwykłego mnożenia macierzy i normą np. daną wzorem

$\|(a_{ij})\|=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|$ .
Kwaterniony tworzą 4-wymiarową algebrę Banacha z normą daną przez ich moduł.
Każda C*-algebra jest algebrą Banacha.
Niech $G$ będzie lokalnie zwartą, hausdorffowską grupą topologiczną oraz $μ$ określoną na niej miarą Haara. Przestrzeń $L 1 (G)$ funkcji $μ$ -całkowalnych na $G$ z działaniem mnożenia, określonym jak niżej, jest algebrą Banacha.

$(xy)(g) = \int\limits_G x(h) y(h^{-1}g) d\mu(h)$ dla $x, y \in L^1(G)$ .

[edytuj] Źródła

William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.

Przypisy

↑ Jeśli $A$ jest przestrzenią Banacha, to $A$ jest przykładem algebry Banacha, w której jedynka nie może być aproksymowana (por. Przykład 3).
↑ w sensie wymiaru przestrzeni unormowanej

Kategoria: Analiza funkcjonalna

We provide Linux to the World

Algebra Banacha

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Algebra zespolona

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Źródła

Przypisy

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach