Funkcja ograniczona
Z Wikipedii
Funkcja ograniczona – funkcja, której wszystkie wartości należą do pewnego przedziału ograniczonego.
Funkcją nieograniczoną nazywa się funkcję, która nie jest ograniczona. Równoważnie: jest to funkcja, której zbiór wartości nie zawiera się w żadnym przedziale.
Spis treści |
[edytuj] Ograniczoność z góry i z dołu
Funkcję nazwiemy ograniczoną z góry, jeżeli wszystkie jej wartości są mniejsze od pewnej ustalonej liczby. Podobnie funkcja jest ograniczona z dołu, jeżeli wszystkie jej wartości są większe od pewnej ustalonej liczby. Zatem funkcja jest ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ograniczona z góry i z dołu.
[edytuj] Ciągi ograniczone
Ponieważ każdy ciąg jest funkcją, zatem pojęcie ograniczoności funkcji przenosi się w naturalny sposób na ciągi. Wyłącznie ciągi ograniczone mogą mieć skończone granice.
[edytuj] Topologia i analiza funkcjonalna
Funkcję o wartościach w przestrzeni metrycznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości zawiera się w pewnej kuli. Analogicznie, funkcję nazywamy nieograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy jej nie istnieje kula, w której zawiera się zbiór wartości.
Funkcję o wartościach w przestrzeni liniowo-topologicznej nazywamy ograniczoną wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej wartości jest zbiorem ograniczonym. Gdy przestrzeń liniowo-topologiczna jest metryzowalna, to obie definicje są równoważne.
[edytuj] Przykłady
- Funkcje sinus i cosinus są ograniczone – wszystkie ich wartości należą do przedziału [ − 1,1].
- Funkcje
są nieograniczone. Funkcja kwadratowa g(x) = x2 jest jednak ograniczona z dołu. Ogólnie, wszystkie wielomiany stopnia niezerowego i różne od wielomianu zerowego są nieograniczone. - Ciąg
jest ograniczony, gdyż wszystkie jego wyrazy należą do przedziału (0,1]. - Ciąg
choć ograniczony z dołu, nie jest ograniczony z góry, zatem jest nieograniczony. - Ciąg
nie jest ograniczony z dołu, natomiast posiada ograniczenie górne.
