Przestrzeń Lp

Z Wikipedii

Właściwy tytuł tego artykułu to Przestrzeń L^p. Z powodu ograniczeń technicznych tytuł tego artykułu jest nieprawidłowy.

Spis treści

1 Wprowadzenie
2 Przestrzenie ℓ^p
3 Przykłady
4 Własności
5 Przestrzenie L^p
- 5.1 Przestrzenie L^p dla 0<p<1
  - 5.1.1 Brak lokalnej wypukłości
  - 5.1.2 Nierówności Höldera i Minkowskiego
- 5.2 Przestrzenie L^p dla p≥1
6 Przypisy
7 Zobacz też

Przestrzenie $\ell^p, L^p$ - dla ustalonej liczby dodatniej $p$ - klasy przestrzeni liniowo-topologicznych, odpowiednio: ciągów liczbowych takich, że szereg $p$ -tych potęg modułów wyrazów ciągu jest zbieżny oraz funkcji mierzalnych, całkowalnych w $p$ -tej potędze na ustalonym zbiorze (utożsamia się funkcje równe prawie wszędzie). W przypadku, gdy $p\geqslant 1$ , to w przestrzeniach tych można w naturalny sposób zdefiniować normę i są one wtedy przestrzeniami Banacha. Przestrzenie $\ell^2$ oraz $L 2$ są ponadto przestrzeniami Hilberta.

Przestrzenie te znajdują zastosowanie w statystyce, ekonomii matematycznej i inżynierii.

[edytuj] Wprowadzenie

W przestrzeni $\mathbb{C}^n$ (ze standardowo zdefiniowanymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia przez skalar) można, dla ustalonego $p > 0$ rozważać funkcję $\|\cdot\|_p\colon \mathbb{C}^n \to [0,\infty)$ daną wzorem

$\|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dots+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}$ ,

gdzie $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ . Okazuje się, że dla $p\in [1,\infty)$ funkcja ta jest normą (zupełną^[1]) - w przypadku $p = 2$ jest to zwykła norma euklidesowa.

[edytuj] Przestrzenie ℓ^p

Niech $\mathbb{K}$ będzie ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Ciągi o wyrazach z tego ciała można wyobrażać sobie jako wektory o nieskończonej liczbie współrzędnych (elementy $\mathbb{K}^{\infty}$ ) i zdefiniować dla nich analogiczne działania dodawania i mnożenia przez skalar jak w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowej:

dodawanie:

$(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots)+(y_1, y_2, \ldots, y_n,\ldots)=(x_1+y_1, x_2+y_2, \ldots, x_n+y_n,\ldots),$

mnożenie przez skalar:

$\lambda(x_1, x_2, \ldots, x_n,\ldots) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n,\ldots),\;\lambda \in \mathbb{K}$

Zbiór $\mathbb{K}^{\infty}$ z tak określonymi działaniami jest zespoloną przestrzenią liniową. Dla ustalonego $p\in (0,\infty)$ można rozważać te ciągi $x=(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ dla których

$\|x\|_p=\left(\sum_{i=1}^{\infty}|x_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}<\infty$ .

Dopuszczając $p=\infty$ można zdefiniować funkcjonał

$\|x\|_\infty=\sup\{|x_n|\colon\, n\in\mathbb{N}\}$ .

Przestrzeń $\ell^p$ definiuje się jako:

$\ell^p=\{x\in \mathbb{K}^{\infty}\colon \|x\|_p<\infty \}$ .

Dla $p\in [1,\infty]$ funkcjonał $\|\cdot\|_p$ jest normą w przestrzeni $\ell^p$ . Nietrywialną rzeczą jest sprawdzenie, iż spełnia on warunek trójkąta. W przypadku przestrzeni $\ell^p$ wynika on wprost z nierówności Minkowskiego:

$\left(\sum_{k=1}^\infty[|a_n|+|b_n|]^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\leq \left(\sum_{k=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}+\left(\sum_{k=1}^\infty |b_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}$ ,

dla $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^p$ .

Dowód nierówności Minkowskiego opiera się o nierówność Höldera:

$\sum_{k=1}^{\infty}|a_kb_k|\leq \left(\sum_{k=1}^\infty |a_n|^p\right)^{\tfrac{1}{p}}\left(\sum_{k=1}^\infty |b_n|^q\right)^{\tfrac{1}{q}}$ ,

gdzie $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^p, (b_n)_{n\in\mathbb{N}}\in \ell^q,\, \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ . W przypadku, gdy $p = 1$ , przyjmujemy umowę, że $\tfrac{1}{\infty}=0$ .

[edytuj] Przykłady

$\|(1,1,1,\ldots )\|_p=\infty$ dla $p<\infty$ oraz $\|(1,1,1,\ldots )\|_\infty=1$ .
Ciąg o wyrazie ogólnym $a_n=\tfrac{1}{n}$ nie należy do $\ell^1$ , ale dla wszystkich $p > 1$ ciąg ten należy do $\ell^p$ .

[edytuj] Własności

Niech $p\in [1,\infty]$ .

Przestrzenie $\ell^p$ są ośrodkowe dla $p\neq \infty$ .
Przestrzenie $\ell^p$ są przestrzeniami Banacha.
Przestrzenie $\ell^p$ są jednostajnie wypukłe.
Przestrzenie $\ell^p$ są refleksywne dla $p\in (1,\infty)$ , dokładniej $(\ell^p)^\star$ jest izometrycznie izomorficzna z $\ell^q$ , gdzie $\tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}=1$ ^[2].
Przestrzeń $\ell^p$ jest przestrzenią Hilberta wtedy i tylko wtedy, gdy $p = 2$ . Łatwo sprawdzić, że dla $p\neq 2$ nie jest spełniony warunek równoległoboku.

[edytuj] Przestrzenie $L p$

Niech $p$ będzie dodatnią liczbą rzeczywistą, $M$ ustaloną liczbą naturalną oraz niech $\Omega\subseteq \mathbb{R}^M$ będzie obszarem^[3]. Elementami przestrzeni $L p (Ω)$ (w skrócie, po prostu $L p$ jeśli z góry umawiamy się co do zbioru $Ω$ ) są klasy funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a równych prawie wszędzie, określonych na zbiorze $Ω$ , o wartościach rzeczywistych bądź zespolonych, dla których

$\Delta_p(f)=\int\limits_\Omega|f(t)|^pdt<\infty$ ^[4].

[edytuj] Przestrzenie L^p dla 0<p<1

Dla liczb nieujemnych $a, b$ oraz liczby $0 < p < 1$ znana jest nierówność:

$(a+b)^p\leqslant a^p+b^p$ ,

zatem

$\Delta_p(f+g)\leqslant \Delta_p(f)+\Delta_p(g)$ .

Na mocy powyższego, wzór

d (f, g) = Δ p (f - g)

definiuje metrykę niezmienniczą ze względu na przesunięcia^[5] w przestrzeni $L p$ . Metryka ta jest zupełna. Kule $B_r=\{f\in L^p\colon\; \Delta_p(f)<r\}$ tworzą bazę otoczeń tej przestrzeni.

[edytuj] Brak lokalnej wypukłości

Dla wszystkich $r > 0$ kula $B_1=r^{-\frac{1}{p}}B_r$ , więc $B 1$ jest ograniczona, czyli $L p$ jest lokalnie ograniczoną F-przestrzenią. Przestrzeń ta nie zawiera zbiorów wypukłych i otwartych innych niż $\varnothing$ i $L p$ . Brak lokalnej wypukłości ma zaskakującą konsekwencję:

Niech $Y$ będzie dowolną lokalnie wypukłą przestrzenią liniowo-topologiczną i niech $\mathcal{B}$ będzie jej wypukłą lokalną bazą otoczeń. Jeśli $\Lambda\colon L^p\to Y$ jest przekształceniem liniowym i ciągłym oraz $W\in \mathcal{B}$ , to $Λ - 1 (W)$ jest niepustym, otwartym i wypukłym podzbiorem $L p$ . Zatem $Λ - 1 (W) = L p$ . W konsekwencji $\Lambda(L^p)\subseteq W$ dla każdego $W\in \mathcal{B}$ , czyli $Λ f = 0$ dla każdego $f\in L^p$ .

[edytuj] Nierówności Höldera i Minkowskiego

Dla przestrzeni $L^p,\; 0<p<1$ można sformułować odpowiedniki nierówności Höldera i Minkowskiego.

Nierówność Höldera: Niech $0 < p < 1$ oraz $p^\prime=\tfrac{p}{p-1}<0$ . Jeśli $f\in L^p,\; g\in L^{p^\prime}$ oraz $0<\Delta_{p^\prime}(g)<\infty$ , to

$\int\limits_E|f(t)g(t)|dt\leqslant \left(\int\limits_E|f(t)|^pdt\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int\limits_E|g(t)|^{p^\prime}dt\right)^{\frac{1}{p^\prime}}$ .

Nierówność Minkowskiego: Jeśli $0 < p < 1$ oraz $f,g\in L^p$ , to

$\Delta_p(|f|+|g|)^{\frac{1}{p}}\leqslant \Delta_p(f)^{\frac{1}{p}}+\Delta_{p}(g)^{\frac{1}{p}}$ .

[edytuj] Przestrzenie L^p dla p≥1

W przypadku, gdy $p\in [1,\infty)$ funkcjonał

$\|f\|_{L^p(\Omega)}=\left( \int\limits_\Omega |f(x)|^p dx\right)^{\frac{1}{p}}$

jest normą w przestrzeni $L p (Ω)$ .

Dodatkowo, definiujemy przestrzeń $L^{\infty}(\Omega)$ funkcji prawie wszędzie ograniczonych, tj. takich, że

${\mbox{ess sup}}\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\}:=\inf\{\sup\{|f(x)|\colon\, x\in \Omega\setminus A\}\colon\, A\subseteq \Omega, A\in \mathcal{L}_M, l_M(A)=0\}<\infty$ ,

gdzie $\mathcal{L}_M$ oznaczaj σ-ciało zbiorów mierzalnych względem $M$ -wymiarowej miary Lebesgue'a $l M$ .

Przypisy

↑ W przestrzeni skończenie wymiarowej istnieje dokładnie jedna liniowa topologia, która ponadto jest normowalna w sposób zupełny
↑ w przypadku $\scriptstyle{p=1}$ obwiązuje umowa taka, jak przy wypowiedzi nierówności Höldera
↑ W wielu zagadnieniach wystarczy założenie mierzalności zbioru $\scriptstyle{\Omega}$ jednak z punktu widzenia zastosowań przestrzeni $\scriptstyle{L^p(\Omega)}$ założenie otwartości i spójności nie wydaje się wygórowane (ma ono wpływ na istnienie gęstych podzbiorów przestrzeni o specjalnych własnościach, co ma znaczenie np. dla równań różniczkowych. Domyślnie, pominięte zostało założenie ograniczoności zbioru $\scriptstyle{\Omega}$ (ma ono wpływ na ośrodkowość)
↑ Formalnie, w zbiorze funkcji spełniających ten warunek, wprowadzamy relację $\scriptstyle{ f\sim g \iff f(x)=g(x) }$ dla prawie wszystkich $\scriptstyle{ x\in \Omega }$ . Jest to relacja równoważności, można zatem mówić o przestrzeni ilorazowej. Konstruowana przestrzeń jest de facto przestrzenią ilorazową $\scriptstyle{L^p/_\sim}$ - w praktyce jednak pomijamy ten symbol.
↑ Metrykę $\scriptstyle{\varrho}$ w przestrzeni liniowej $\scriptstyle{X}$ nazywamy niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli dla dowolnych elementów $\scriptstyle{x,y,z\in X}$ spełniony jest warunek $\scriptstyle{\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)}.$