Algebra centralna prosta

Z Wikipedii

Spis treści

1 Przykłady
2 Pojęcia
3 Własności
4 Zobacz też

Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem $K$ – w teorii pierścieni i powiązanych gałęziach matematyki skończeniewymiarowa prosta algebra łączna, której centrum jest $K$ . Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Richarda Brauera.

[edytuj] Przykłady

Liczby zespolone $\mathbb C$ tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb R$ (centrum $\mathbb C$ są wszystkie elementy $\mathbb C$ , a nie tylko $\mathbb R$ ).
Kwaterniony $\mathbb H$ są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad $\mathbb R$ .

[edytuj] Pojęcia

Zgodnie z twierdzeniem Artina–Wedderburna algebra prosta $A$ jest izomorfczna z algebrą macierzy $M (n, S)$ dla pewnego pierścienia z dzieleniem $S$ . Dane dwie algebry proste $A \simeq M(n, S)$ oraz $B \simeq M(m, T)$ nad tym samym ciałem $K$ nazywa się podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera), jeżeli ich pierścienie z dzieleniem $S$ oraz $T$ są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem $K$ , ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w działanie grupowe dane przez iloczyn tensorowy algebr. Otrzymana grupa nazywana jest grupą Brauera $\operatorname{Br}(K)$ nad ciałem $K$ .

[edytuj] Własności

Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema-Noether).
Jeżeli $S$ jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej $A$ , to $dim F S$ dzieli $dim F A$ .
Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem $K$ jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; faktycznie, jest to albo algebra macierzy wymiaru $2 \times 2$ albo algebra z dzieleniem.