Pierścień z dzieleniem
Z Wikipedii
Spis treści |
Pierścień z dzieleniem – pierścień spełniający wszystkie aksjomaty ciała poza aksjomatem przemienności mnożenia. Mimo, że iloczyn w niżej opisanych pierścieniach i algebrach jest łączny, rozważa się także niełączne algebry z dzieleniem, np. algebrę oktonionów.
[edytuj] Nazwa
Historycznie pierwszym przykładem pierścienia z dzieleniem nie będącego ciałem były kwaterniony odkryte w 1853 roku przez Hamiltona. Ze względu na podobieństwo definicji strukturę tę nazywano niegdyś ciałem nieprzemiennym[1], ponieważ samo ciało definiowane jest jako przemienne[2], pojęcie to nie zadomowiło się w języku matematycznym. Innym pomysłem było uogólnienie definicji ciała poprzez rezygnację z jego przemienności i nazywanie ciałem przemiennym tego, co określane jest dzisiaj terminem „ciało”[3], lecz ten pomysł również się nie przyjął. Z kolei pojęcie pierścienia z dzieleniem jest używane we współczesnej literaturze matematycznej[4], dlatego niepolecane jest stosowanie kalek z języków angielskiego i niemieckiego takich jak „ciało skośne” (od ang. skew field oraz niem. Schiefkörper).
[edytuj] Definicja
Nietrywialny pierścień R nazywamy pierścieniem z dzieleniem, gdy każdy niezerowy element 
ma element odwrotny ze względu na mnożenie, tzn.
.
Innymi słowy, pierścień R jest pierścieniem z dzieleniem wtedy i tylko wtedy, gdy 
, tj. grupa elementów odwracalnych składa się z wszystkich niezerowych elementów.
W teoriokategoryjnym sensie jest to równoważne temu, aby wszystkie niezerowe morfizmy pierścieni były izomorfizmami.
Pierścień z dzieleniem jest zatem trójką uporządkowaną 
taką, że:
- (R, + ) jest grupą abelowa z elementem neutralnym 0,
,
,
,
.
Dla ustalonego element b taki jak w 5. oznaczamy a − 1.
[edytuj] Własności
Można określić sporą część algebry liniowej opartej na modułach nad pierścieniami z dzieleniem zamiast na przestrzeniach liniowych nad ciałami i nadal pozostaje ona spójna oraz niesprzeczna. Każdy moduł nad pierścieniem z dzieleniem ma bazę, przekształcenia liniowe między skończeniewymiarowymi modułami nad pierścieniami z dzieleniem mogą być opisywane za pomocą macierzy i można stosować algorytm eliminacji Gaussa.
Centrum pierścienia z dzieleniem jest przemienne, zatem jest ciałem. Każdy pierścień z dzieleniem jest więc algebrą z dzieleniem nad swoim centrum. Pierścienie z dzieleniem mogą być ogólnie klasyfikowane według tego, czy są skończenie- czy też nieskończeniewymiarowe nad swoim centrami. W pierwszym przypadku nazywa się je centralnie skończonymi, w drugim centralnie nieskończonymi. Każde ciało jest oczywiście jednowymiarowe nad swoim centrum.
[edytuj] Przykłady
- Dowolne ciało jest pierścieniem z dzieleniem, w którym mnożenie jest przemienne.
- Kwaterniony
(uogólnienie liczb zespolonych) są nieprzemiennym pierścieniem z dzieleniem. Pierścień kwaternionów jest czterowymiarową algebrą nad swoim centrum, które jest izomorficzne z liczbami rzeczywistymi. - Jeśli zamiast liczb rzeczywistych użyjemy do konstrukcji kwaternionów liczb wymiernych otrzymamy jeszcze inny przykład pierścienia z dzieleniem.
- Ogólnie, jeżeli S jest modułem prostym nad pierścieniem R, to pierścień endomorfizmów S jest pierścieniem z dzieleniem; co więcej: dowolny pierścień z dzieleniem jest określony w ten sposób nad pewnym modułem prostym.
[edytuj] Twierdzenia
- Twierdzenie (małe) Wedderburna
- Wszystkie skończone pierścienie z dzieleniem są przemienne, zatem są ciałami skończonymi (istnieje prosty dowód dany przez Ernsta Witta).
- Twierdzenie Frobeniusa
- Każda łączna algebra z dzieleniem nad ciałem liczb rzeczywistych jest izomorficzna albo z ciałem liczb rzeczywistych, albo z ciałem liczb zespolonych, albo z algebrą kwaternionów.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Linki zewnętrzne
Przypisy
- ↑ G. Birkhoff, S. Mac Lane Przegląd algebry współczesnej, PWN 1966, tł. A. Ehrenfeucht, A. Wł. Mostowski, VIII§10 (str. 256): „Twierdzenie 20. Kwaterniony tworzą ciało nieprzemienne”. Dzisiaj na niekorzyść stosowanej w tym podręczniku terminologii przemawia użycie archaiczne stosowanie pojęć, np. użycie terminu „struktura” w znaczeniu „krata”.
- ↑ Już w najstarszych podręcznikach, np. W. Sierpiński Zasady algebry, PWN 1946, napisany jeszcze przed wojną; A. Mostowski, M. Stark Algebra wyższa, t. 1-3 PWN 1953-1954, nie omawia się tam nawet pierścieni nieprzemiennych
- ↑ A. G. Kurosz, Algebra ogólna, PWN 1965, rozdz. II2.10., tł. polskie W. Holsztyńskiego, który próbował rozwiązać opozycję tielo – polie (pierścień z dzieleniem – ciało) obecną w rosyjskiej terminologii matematycznej.
- ↑ A. Białynicki-Birula Zarys algebry, PWN 1987, I§14, str. 56-57
