Ciąg Cauchy'ego

Z Wikipedii

Wykres ciągu Cauchy'ego (x_n) oznaczono niebieskim kolorem (indeks na osi odciętych, wartość na osi rzędnych). Jeżeli przestrzeń zawierająca ciąg jest zupełna, to istnieje jego granica.

Ciąg, który nie jest Cauchy'ego. Elementy ciągu nie zbliżają się do siebie wraz z postępem ciągu.

Ciąg Cauchy'ego – ciąg elementów przestrzeni metrycznej (najczęściej zbioru liczb rzeczywistych) spełniających tzw. warunek Cauchy'ego. Nazwa pojęć pochodzi od nazwiska francuskiego matematyka, Augustina Cauchy'ego.

Warunek Cauchy'ego mówi oględnie, iż kolejne jego elementy zbliżają się do siebie. Dokładniej, zaniedbując wystarczającą (lecz nadal skończoną) liczbę elementów można ograniczyć odległości między pozostałymi elementami do odległości mniejszej niż jakakolwiek ustalona wcześniej wartość dodatnia.

Innymi słowy, wybierzmy ustaloną rzeczywistą liczbę dodatnią $\varepsilon$ . Jakkolwiek mała będzie wartość $\varepsilon$ , wyrugujemy z ciągu Cauchy'ego pewną skończoną liczbę elementów, po których dowolna para pozostałych wyrazów będzie w odległości mniejszej niż $\varepsilon$ .

Ponieważ do definicji ciągu Cauchy'ego wykorzystywane jest pojęcie odległości, pojęcie to w podanym sformułowaniu może być rozważane wyłącznie w przestrzeni metrycznej. Zostało ono jednak uogólnione na inne struktury matematyczne, m.in. na przestrzenie liniowo-topologiczne, przestrzenie jednostajne, czy też grupy.

Użyteczność ciągów Cauchy'ego polega przede wszystkim na tym, że w przestrzeni zupełnej (takiej, w której wszystkie takie ciągi są zbieżne do granicy), dają one użyteczne kryterium zbieżności zależne wyłącznie od wyrazów tego ciągu. Fakt ten wykorzystuje się często w algorytmach, zarówno teoretycznych jak i stosowanych, gdzie można łatwo pokazać zbieżność procesu iteracji poprzez wskazanie ciągu Cauchy'ego złożonego z poszczególnych iteracji.

Powyższe intuicje nie są tak obce, jak mogłyby wydawać się na pierwszy rzut oka. Zgoda na fakt, że każda liczba rzeczywista x ma rozwinięcie dziesiętne, jest przyznaniem, że pewien ciąg Cauchy'ego liczb wymiernych (którego wyrazy są kolejnymi obcięciami rozszerzenia dzięsiętnego x) ma granicę w liczbie rzeczywistej x. Na podobnej zasadzie ciągi Cauchy'ego posłużyły Georgowi Cantorowi do formalnej konstrukcji zbioru liczb rzeczywistych.

[edytuj] Warunek Cauchy'ego

Liczby rzeczywiste

Niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem liczbowym. Mówimy, że spełnia on warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q>n_0}|a_p-a_q|<\varepsilon$

Przestrzenie metryczne

Niech $(X,\varrho)$ będzie przestrzenią metryczną i niech $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem elementów tej przestrzeni. Mówimy, że spełnia on warunek Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb{N}}\bigwedge_{p,q>n_0}\varrho(a_p,a_q)<\varepsilon$

[edytuj] Własności

W dowolnej przestrzeni metrycznej prawdziwe są zdania:

każdy ciąg zbieżny spełnia warunek Cauchy'ego,
każdy ciąg Cauchy'ego jest ograniczony,
ciąg Cauchy'ego, zawierający podciąg zbieżny do pewnej liczby $g$ , jest zbieżny do $g$ .

W przestrzeniach euklidesowych $\mathbb{R}^k$ (w szczególności dla liczb rzeczywistych) dodatkowo zachodzą własności:

ciąg punktów $x_n=(x_1^{(n)}, \ldots, x_k^{(n)})$ jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z ciągów $x_1^{(n)},\ldots, x_k^{(n)}$ jest ciągiem Cauchy'ego;
ciąg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego.

[edytuj] Przykłady

Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym $a_n=\tfrac{1}{n}$ jest ciągiem Cauchy'ego, bo

$\left|\tfrac{1}{p}-\tfrac{1}{q}\right|\leq \tfrac{1}{p}+\tfrac{1}{q}\leq \tfrac{2}{q}$ dla $q\leq p$ . Wystarczy dla ustalonego $\varepsilon>0$ przyjąć $n_0>\tfrac{2}{\varepsilon}$ .
Ciąg liczbowy o wyrazie ogólnym $a n = n$ nie jest ciągiem Cauchy'ego, bo $|a_p-a_q|=|p-q|\geq 1$ dla $p\neq q$ ciąg ten jest nieograniczony, a na mocy drugiej własności ciąg Cauchy'ego jest ograniczony.

[edytuj] Zupełność

Zobacz więcej w osobnych artykułach: przestrzeń zupełna, przestrzeń Banacha, Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna).

Przestrzeń metryczną, w której każdy ciąg Cauchy'ego jest zbieżny nazywamy zupełną. Przestrzeń unormowaną, która jest zupełna (w sensie metryki generowanej przez normę), nazywamy przestrzenią Banacha.

W szczególności, przestrzeń $\mathbb{R}$ (z wartością bezwzględną) i przestrzeń $\mathbb{R}^k$ (z metryką euklidesową) są zupełne.

[edytuj] Inne postaci

[edytuj] Szeregi

Ponieważ szeregi z definicji są ciągami sum częściowych, można rozważać warunek Cauchy'ego również dla nich.

Niech $(E, \|\cdot\|)$ będzie przestrzenią Banacha, a $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ciągiem jej elementów. Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ spełnia warunek Cauchy'ego, jeżeli

$\bigwedge_{\varepsilon>0}\bigvee_{n_0\in\mathbb N}\bigwedge_{p>q>n_0}\left\|\sum_{n=q+1}^p~a_n\right\|<\varepsilon$ .

Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}~a_n$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego. W szczególności powyższa definicja obowiązuje dla $(\mathbb R^k, |\cdot|)$ .

[edytuj] Przestrzenie liniowo-topologiczne

Pojęcie ciągu Cauchy'ego można przenieść w naturalny sposób na przestrzenie liniowo-topologiczne bez uciekania się do pojęcia metryki.

Ciąg $(x_n)_{n\in\mathbb N}$ punktów przestrzeni liniowo-topologicznej $X$ nazywany jest ciągiem Cauchy'ego (w przestrzeni $X$ ) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje taka liczba naturalna $n 0$ , że dla $n, m > n 0$

$x_n-x_m\in U$ .

W przestrzeni liniowo-topologicznej:

każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego,
zbiór wyrazów ciągu Cauchy'ego jest ograniczony,
każdy ciąg Cauchy'ego mający podciąg zbieżny jest zbieżny.

Jeżeli topologia przestrzeni $X$ jest wyznaczona przez metrykę $\varrho$ , spełniającą warunek

$\varrho(x,y)=\varrho(x+z, y+z)$ dla $x,y,z\in X$ ,

to ciąg elementów tej przestrzeni jest ciągiem Cauchy'ego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek Cauchy'ego względem metryki $\varrho$ .

W szczególności, przestrzeń liniowo-topologiczna jest F-przestrzenią wtedy i tylko wtedy, gdy ma ona przeliczalną bazę lokalną i każdy ciąg Cauchy'ego punktów tej przestrzeni jest zbieżny.

[edytuj] Funkcje mierzalne

Zobacz więcej w osobnym artykule: warunek Cauchy'ego według miary.

[edytuj] Bibliografia

Kołodziej, Witold. Analiza matematyczna. Warszawa : PWN, 1979.
Leja, Franciszek. Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa : PWN, 1976.
Maurin, Krzysztof. Analiza - Część I - Elementy. Warszawa : PWN, 1976.
Musielakowie, Helena i Julian. Analiza matematyczna. Poznań : Wydawnictwo Naukowe UAM, 2000.
Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.

[edytuj] Zobacz też

Kategoria: Ciągi

We provide Linux to the World

Ciąg Cauchy'ego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Warunek Cauchy'ego

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zupełność

[edytuj] Inne postaci

[edytuj] Szeregi

[edytuj] Przestrzenie liniowo-topologiczne

[edytuj] Funkcje mierzalne

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach