Przestrzeń sprzężona

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicje
2 Druga dualna
3 Własności
4 Zobacz też

Przestrzeń (algebraicznie) sprzężona (także przestrzeń dualna) – przestrzeń funkcyjna funkcjonałów liniowych.

[edytuj] Definicje

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem $K$ . Przestrzenią (algebraicznie) sprzężoną (lub dualną) do $V$ nazywamy przestrzeń wszystkich funkcjonałów liniowych określonych na przestrzeni $V$ i oznaczamy przez $V *$ .

Przestrzeń dualna $V *$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ ze względu na dodawanie funkcjonałów i mnożenie funkcjonałów przez skalar z ciała $K$ określonych punktowo:

$(f + g)(x)\; =\; f(x) + g(x)$
$(\alpha\cdot f)(x)\; =\; \alpha\cdot f(x)$

dla dowolnych $f, g \in V^*,\; \alpha \in K,\; x \in V$ .

Gdy $G : V \rightarrow W$ jest odwzorowaniem liniowym przestrzeni liniowych nad $K$ , to odwzorowanie sprzężone (dualne) $G^* : W^* \rightarrow V^*$ zdefiniowany jest wzorem:

$G^*(h)\; :=\; h \circ G$

dla dowolnego $h \in W^*$ . Jest ono liniowe. Co więcej, niech $Id_V : V \rightarrow V$ będzie odwzorowaniem identycznościowy ( $Id_V(x) :=\; x$ dla każdego $x \in V$ ), oraz niech $F : U \rightarrow V$ będzie jeszcze jednym przekształceniem liniowym. Wtedy:

$(Id_V)^* = Id_{V^*}$ ;
$(G \circ F)^* = F^* \circ G^*$ .

Powyższe równości oznaczają, że sprzężoność jest funktorem kontrawariantnym kategorii przestrzeni liniowych w siebie.

[edytuj] Druga dualna

Zdefiniujmy przestrzeń drugą dualną do $V$ jako

$V^{**} :=\; (V^*)^*$

Podobnie definiujemy drugie sprzężenie odwzorowania liniowego:

$G^{**} :=\; (G^*)^*$

Otrzymaliśmy drugi funktor sprzężoności, jako złożenie (iterację) funktora sprzężoności ze sobą.

Zdefiniujmy ponadto odwzorowanie $d_V : V \rightarrow V^{**}$ wzorem:

$(d_V(x))(f)\; := \; f(x)$

dla każdego $x \in V$ oraz $f \in V^*$ . Odwzorowanie $d_V\;$ jest liniowe, a nawet jest zanurzeniem (jest różnowartościowe): gdy $x \ne 0$ , to istnieje funkcjonał $f \in V^*$ taki, że $f(x) \ne 0$ ; zatem $(d_V(x))(f)\; = \;f(x) \ne 0$ , więc $d_V(x) \ne 0$ .

Zanurzenie liniowe $d_V\;$ jest naturalne w następującym sensie:

Twierdzenie Niech $L : V \rightarrow W$ będzie odwzorowaniem liniowym przestrzeni liniowych nad ciałem K. Wtedy:

$L^{**} \circ\; d_V \;=\; d_W \circ L$

Dowód Niech $x \in V$ oraz $g \in W^{**}$ . Wtedy:

$((L^{**} \circ\; d_V)(x))(g) \ =\ (L^{**}(d_V(x)))(g) \ =\ (d_V(x) \circ L^*)(g)$

$\ =\ (L^*(g))(x) \ =\ (g \circ L)(x) \ =\ (d_W(L(x))(g)$

$=\ ((d_W \circ L)(x))(g)$

Koniec dowodu.

W teorii kategorii oznacza to, że podporządkowanie przestrzeni V zanurzenia d_V (dla każdej przestrzeni liniowej nad K) jest przekształceniem naturalnym funktora identycznościowego kategorii przestrzeni liniowych nad K w funktor drugiego sprzężenia. Podobne przekształcenie naturalne ma miejsce także w wielu innych kategoriach.

[edytuj] Własności

Jeżeli przestrzeń $V$ jest skończeniewymiarowa i ma wymiar $\dim V = n$ , to również $V *$ ma wymiar $\dim V^* = n$ . Zatem przestrzenie $V$ oraz $V *$ są izomorficzne; ale nie są izomorficzne w sposób kanoniczny. Natomiast $d_V : V \rightarrow V^{**}$ jest dla przestrzeni skończenie wymiarowych $V$ izomorfizmem kanonicznym (naturalnym).
Jeżeli $\mathcal B = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ jest uporządkowaną bazą przestrzeni $V$ , to bazę $\mathcal B^* = (x^*_1, x^*_2, \dots, x^*_n)$ przestrzeni $V *$ , gdzie

$x^*_i(x_j) = \begin{cases} 1 & \mbox{dla } i = j \\ 0 & \mbox{dla } i \ne j \end{cases} \quad \mbox{dla } i, j = 1, \dots, n$