Funktor zdaniotwórczy
Z Wikipedii
Funktor zdaniotwórczy - wyrażenie, które wraz z innymi wyrażeniami, nazywanymi argumentami funktora, tworzy zdanie lub funkcję zdaniową.
Funktory zdaniotwórcze od argumentów nazwowych to predykaty (np. predykat "rozpadła się" w zdaniu "Jugosławia rozpadła się"). Funktory zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych to spójniki (spójniki zdaniowe, funktory zdaniowe, konektywy), przy czym jedynie spójniki dwuargumentowe odpowiadją etymologicznemu czy gramatycznemu znaczeniu słowa spójnik - utarło się jednak nazywać "spójnikami" wszystkie funktory zdaniotwórcze. Często, zwłaszcza w logice matematycznej, pod terminem funktor zdaniotwórczy rozumie się wyłącznie spójniki - predykaty szerszej omówione zostały w odrębnym artykule. W zależności od ilości argumentów istnieją tak spójniki, jak i predykaty jedno-, dwu- i więcej argumentowe.
[edytuj] Ekstensjonalność spójników
Funktory, które tworzą ze swoimi argumentami wyłącznie wyrażenia ekstensjonalne, tj. takie, że denotacja wyrażenia złożonego za pomocą dnego funktora zależy wyłącznie od denotacji wszystkich wyrażeń składowych tego wyrażenia, to funktory ekstensjonalne. Rodzajem funktorów ekstensjonalnych są funktory prawdziwościowe. Jeśli przez denotację zdania rozumie się jego warość logiczną i zarazem wartość logiczna zdania złożonego utworzonego za pomocą danego funktora zależy wyłącznie od wartości logicznej jego składników, a nie od ich treści, to funktor ten jest funktorem ekstensjonalnym - funktorami prawdziwościowymi są funktory ekstensjonalne spełniające tę charakterystykę, np. wszystkie spójniki klasycznego rachunku zdań. Niezależną od treści zdań składowych wartość logiczną zdań złożonych utworzonych za pomocą spójników prawdziwościowych przedstawiają matryce logiczne tych zdań. W praktyce terminów "funktor ekstensjonalny" i "funktor prawdziwościowy" używa się często wymiennie, co może jednak prowadzić do pewnych niejasności: istnieją bowiem takie funktory zdaniowe, które są funktorami esktensjonalnymi nie będąc funktorami prawdziwościowymi. Dzieje się tak, gdy denotacją zdania nie jest prawdziwość, ale jakiś zbiór, co ma miejsce np. w przypadku znaków działań takich jak znak mnożenia.
Ze względu na ekstensjonalność spójników za ich argumenty podstawiać można dowolne inne wyrażenia o tej samej denotacji bez zmiany wartości logicznej całości tworzonej przez spójnik i jego argumenty.
Ekstensjnalność jest własnością wszystkich spójników KRZ, ale nie wszystkich spójników języka naturalnego ani spójników wszyskich systemów dedukcyjnych. W języku naturalnym istnieje wiele spójników nieekstensjonalnych (intensjonalnych) - spośród funktorów jednoargumentowych np. "jest konieczne, że...", "wiadomo, że...", spośród dwuargumentowych np. "ponieważ...".
[edytuj] Spójniki klasycznego rachunku zdań
W klasycznym rachunku zdań nie występują predykaty, a jedynie spójniki jedno- lub dwuargumentowe. Należą one do stałych logicznych, nazwanych tak dla odróżnienia ich od reprezentujących argumenty zdaniowe zmiennych, oznaczanych p, q, r, s itd. Za zmienne zdaniowe można w KRZ podstawiać wyłącznie zdania w sensie logicznym, tj. takie zdania, które są prawdziwe lub fałszywe.
W KRZ występuje 20 stałych logicznych: 4 spójniki jednoargumentowe i 16 spójników dwuargumentowych. Nie wszystkie znich mają nazwy i przypisane im symbole. Najczęściej używa się tylko pięciu spójników: jednoargumentowego spójnika negacji i dwuargumentowych spójników równoważności, implikacji, koniunkcji i alternatywy. Poniższa tabela przedstawia niektóre spośród symboli, którymi oznacza się te funktory:
| Spójnik negacji | -a | Na | ā |  a lub ~a |
a' |
| Spójnik alternatywy | a∪b | Aab | a∨b | a∨b | a+b |
| Spójnik koniunkcji | a∩b | Kab | a&b | a b |
ab |
| Spójnik implikacji | a⇒b | Cab | a→b | a⊃b | a→b |
| Spójnik równoważności | a⇔b | Eab | a~b | a≡b | a≡b |
Symbolika w pierwszej kolumnie tabeli pochodzi z symboliki algebry zbiorów i teorii krat. Druga to notacja polska stworzona przez Jana Łukasiewicza. Trzecia to symbolika wprowadzona przez Davida Hilberta. Czwarta, pochodząca od Peano i Russela, stosowana jest obecnie najczęściej - przy czym zamiast znaku ⊃ używa się częściej → lub ⇒, znak ≡ wymiennie z ⇔ lub czasem ↔, koniunkcję zaś powszechnie oznacza się ∧. Piąta pochodzi od Schrödera i Peirce'a.
Złożone wyrażenia sensowne KRZ buduje się z występujących w nim spójników i zmiennych zdaniowych. Muszą one spełnić jeden z dwóch warunków:
- jeśli a jest wyrażeniem sensownym, to ~a jest wyrażeniem sensownym.
- jeśli a i b są wyrażeniami sensownymi, to
, 
, 
, 
są wyrażeniami sensownymi. Warunek ten można poszerzyć na inne niż 4 najczęściej spotykane spójniki dwuargumentowe.
Wszystkie spójniki KRZ są ekstensjonalne - wartość logiczna zdań utworzonych za ich pomocą z innych zdań zależy jedynie od wartości logicznej tych zdań, nie od ich sensu. KRZ jest logiką dwuwartościową, występują w nim tylko dwie wartości logiczne: prawda, oznaczana przez 1, i fałsz, oznaczany przez 0. Z dowolnego zdania a i dowolnego funktora ox zbudować można zdanie złożone, którego wartość logiczna v(oxa) można scharakteryzować za pomocą równości takich jak 
lub za pomocą matryc logicznych.
Istnieje tyle spójników jednoargumentowych KRZ, co funkcji 
, co przedtawia matryca:
| v(a) | v(o1a) | v(o2a) | v(o3a) | v(o4a) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
Istnieje tyle spójników dwuargumentowych KRZ, co funkcji 
, co przedstawia matryca:
| v(a) | v(b) | v(ao5b) | v(ao6b) | v(ao7b) | v(ao8b) | v(ao9b) | v(ao10b) | v(ao11b) | v(ao12b) | v(ao13b) | v(ao14b) | v(ao15b) | v(ao16b) | v(ao17b) | v(ao18b) | v(ao19b) | v(ao20b) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
- Spójnik o1 to rzadko używany spójnik afirmacji, zwany też verum.
- Spójnik o2 to rzadko używany spójnik asercji.
- Spójnik o3 to spójnik negacji.
- Spójnik o4 to rzadko używany spójnik zwany falsum.
- Spójnik o6 to spójnik koniunkcji.
- Spójnik o16 to spójnik alternatywy (nierozłącznej, zwykłej). W terminologiach obcojęzycznych zwie się go najczęściej dysjunkcją.
- Spójnik o13 to spójnik rzadziej spotykanej alternatywy rozłącznej.
- Spójnik o19 to spójnik dysjunkcji (dysjunkcji Sheffera, niewspółzachodzenia).
- Spójnik o12 to spójnik równoważności.
- Spójnik o18 to spójnik implikacji.
- Spójnik o9 to spójnik jednoczesnego zaprzeczenia (nazwa pochodzi od Jana Łukasiewicza), zwany też spójnikiem binegacji.
Na gruncie KRZ zdefiniować można funktory o dowolnej ilości argumentów, także trój- i więcej argumentowe. Samych spójników trójargumentowych zdefiniować można 256. Nie czyni się tego jedynie ze względu na brak takiej potrzeby praktycznej, podobnie jak nie używa się praktycznie wielu spójników dwu- czy nawet jednoargumentowych. W rzeczywistości do zapisu wszystkich twierdzeń KRZ wystarczyłby tylko jeden spójnik. Stosowanie zbyt małej lub zbyt dużej liczby funktorów czyniłoby zapis wyrażeń KRZ nadmiernie skomplikowanym (- zazwyczaj nie używa się także więcej niż kilku zmiennych zdaniowych). Ponadto KRZ jest systemem, którego intencją jet oddanie potocznego i naukowego systemu myślenia, i również z tego względu stosuje się w nim przede wszystkim spójniki prawdziwościowe odpowiadające spójnikom prawdziwościowym języka naturalnego.
[edytuj] Definiowanie spójników
Ekstensjonlność spójników sprawia, że zdanie złożone przeformułować można zwykle na zdanie logiczne równoważne z nim, lecz zawierające inne spójniki. Np. zdanie "Sokrates zostanie skazany lub zostanie uniewinniony" jest równoważne ze zdaniem "Jeśli Sokrates nie zostanie skazany, to zostanie uniewinniony". Z powyższego przykładu widać, że alternatywę można zdefiniować równoważnościowo jako za pomocą negacji i implikacji. Potwierdza to następująca matryca logiczna:
| p | q |  |
 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Z tabeli widać, że przy wszystkich możiwych wartościowaniach p i q zdania i są równoważne. W analogiczny sposób definiuje się pozostałe spójniki, np. spójnik równoważności za pomocą spójników implikacji i koniunkcji:
| p | q |  |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Dzięki której widać, że równoważność zdań p i q niezależnie od ich wartościowań jest równoważna zdaniu o schemacie .
Wszystkie funktory jedno- i dwuargumentowe można zdefiniować za pomocą jedynie alternatywy i negacji. Istnieją także dwa spójniki, za pomocą których zdefiniować można wszystkie pozostałe spójniki: są to spójnik dysjunkcji i spójnik niewspółzachodzenia. Tak np. negację zdania a zdefiniować można jako ao19a, a alternatywę o postaci jako (ao19a)o19(bo19b). Za pomocą spójnika jednoczesnego zaprzeczenia analogiczne definicje to ao9a i (ao9b)o9(ao9b). W 1925 Eustachy Żyliński udowodnił, że nie istnieje żaden inny niż dysjunkcja i niewspółzachodzenie funktor wystarczający do zdefiniowania wszystkich pozostałych funktorów jedno- i dwuargumentowych.
