Kumulanta

Z Wikipedii

Kumulanta to pojęcie z zakresu teorii prawdopodobieństwa i statystyki.

Kumulantami κ_n rozkładu prawdopodobieństwa nazywamy wielkości spełniające własność:

gdzie X jest zmienną losową, dla rozkładu prawdopodobieństwa której obliczane są kumulanty. Innymi słowy, jest n-tym współczynnikiem w rozwinięciu w szereg potęgowy logarytmu funkcji generującej momenty. Logarytm funkcji generującej momenty nazywany jest funkcją generującą kumulanty.

Problem kumulant to próba uzyskania funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa z jego ciągu kumulant. W niektórych przypadkach rozwiązanie problemu nie istnieje, w niektórych istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, w niektórych więcej niż jedno rozwiązanie.

Spis treści 1 Niektóre własności kumulant 1.1 Niezmienniczość 1.2 Homogeniczność 1.3 Addytywność 1.4 Kumulanty i momenty 1.5 Kumulanty i podział zbioru 2 Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

[edytuj] Niektóre własności kumulant

[edytuj] Niezmienniczość

Zachodzą następujące własności:

• 
• dla n ≥ 2

gdzie c jest stałą.

Oznacza to, że stałą dodajemy tylko do pierwszej kumulanty, wyższe kumulanty pozostają niezmienione.

[edytuj] Homogeniczność

Kumulanty są homogeniczne stopnia n, to znaczy:

[edytuj] Addytywność

Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, zachodzi:

[edytuj] Kumulanty i momenty

Kumulanty są powiązane z momentami następującą zależnością:

n-ty moment zwykły m_n jest wielomianem n-tego stopnia w pierwszych n kumulantach, zatem:

Aby uzyskać wzory na zależność kumulant od momentów centralnych, należy we wszystkich wzorach opuścić składniki, gdzie κ₁ występuje jako czynnik.

[edytuj] Kumulanty i podział zbioru

Kumulanty mają ciekawą interpretację kombinatoryczną: współczynniki definiują określone podziały zbioru. Ogólna postać tych wielomianów to:

gdzie:

• π przebiega przez wszystkie podziały zbioru n-elementowego
• "" jest jednym z bloków, na które zbiór jest podzielony
• |B| jest liczebnością zbioru B

Każdy jednomian to stała pomnożona przez iloczyn kumulant, w których suma indeksów wynosi n (np. dla κ₃ κ₂² κ₁, suma indeksów wynosi 3 + 2 + 2 + 1 = 8, pojawia się ona w wielomianie, który wyraża ósmą kumulantę za pomocą ośmiu pierwszych kumulant). Podziałowi liczby całkowitej n odpowiadają poszczególne składniki. Współczynniki w każdym składniku to liczba podziałów n-elementowego zbioru, które łączą się w podziały n kiedy elementy zbioru stają się nierozróżnialne.

[edytuj] Kumulanty niektórych rozkładów prawdopodobieństwa

• Kumulanty rozkładu normalnego o średniej μ i odchyleniu standardowym σ wynoszą κ₁ = μ, κ₂ = σ² i κ_n = 0 dla n > 2.

• Wszystkie kumulanty rozkładu Poissona są równe wartości oczekiwanej tego rozkładu.

• Rozkład z danymi kumulantami może być przybliżony ciągiem Grama-Charliera lub ciągiem Edgewortha.

Zobacz też: moment zwykły, moment centralny, funkcja gęstości, funkcja charakterystyczna, przegląd zagadnień z zakresu statystyki