Liczby całkowite Gaussa

Z Wikipedii

Na płaszczyźnie liczb zespolonych liczby całkowite Gaussa leżą w punktach przecięcia przerywanych linii.

Liczby całkowite Gaussa (liczby całkowite zespolone) to liczby zespolone, których części rzeczywiste i części urojone są liczbami całkowitymi. Wraz z zwykłym dodawaniem i mnożeniem liczb zespolonych, liczby całkowite Gaussa tworzą dziedzinę całkowitości, a nawet pierścień Euklidesa, zazwyczaj oznaczany przez . nie jest natomiast pierścieniem uporządkowanym.

Formalnie, zbiór liczb całkowitych Gaussa definiuje się jako .

Elementami odwracalnymi pierścienia są: 1, − 1,i, − i.

Elementy pierwsze pierścienia są czasem nazywane liczbami pierwszymi Gaussa. Nie każda liczba pierwsza jest liczbą pierwszą Gaussa. Przykładowo: 2=(1+i)(1-i), ale 2 nie dzieli (1+i) ani (1-i). Każda liczba pierwsza przystająca do 3 (mod 4) jest liczbą pierwszą Gaussa, natomiast każda liczba pierwsza przystająca do 1 (mod 4) nie jest liczbą pierwszą Gaussa.

Jeżeli z = a + bi jest liczbą całkowitą Gaussa oraz a² + b² (czyli kwadrat modułu liczby z) jest liczbą pierwszą, to z jest liczbą pierwszą Gaussa. Przykładowo, 2 + 3i jest liczbą pierwszą Gaussa, ponieważ jest liczbą całkowitą Gaussa oraz 2² + 3² = 4 + 9 = 13 jest liczbą pierwszą.

[edytuj] Zobacz też

• liczby całkowite Eisensteina.