Operator rzutowy

Z Wikipedii

Operator rzutowy - liniowy i ciągły operator przestrzeni Hilberta, którego złożenie z samym sobą jest dalej nim samym oraz jego obraz jest dopełnieniem ortogonalnym jądra.

Spis treści

1 Definicja
2 Warunki równoważne
3 Własności
4 Przykłady
5 Źródło

[edytuj] Definicja

Niech $H$ będzie przestrzenią Hilberta. Liniowy i ciągły operator $T\colon H\to H$ nazywamy

operatorem idempotentnym wtedy i tylko wtedy, gdy $T 2 = T$ .
operatorem rzutowym wtedy i tylko wtedy, gdy jest operatorem idempotentnym oraz $\ker T=(\operatorname{im}\;T)^\perp$ .

[edytuj] Warunki równoważne

Jeśli $T\colon H\to H$ jest operatorem idempotentym oraz $T\neq 0$ , to następujące warunki są równoważne:

$T$ jest operatorem rzutowym,
$T$ jest operatorem samosprzężonym,
$T$ jest operatorem normalnym,
$T$ jest operatorem dodatnim,
$\|T\|=1$ .

Operator liniowy ciągły $T\colon H\to H$ jest rzutowy wtedy i tylko wtedy, gdy

T * T = T .

Często w mechanice kwantowej, operator rzutowy definiuje się jako operator idempotentny i samosprzężony (definicja równoważna). Spotyka się oznaczenia $p, \hat{p}, P, \hat{P}$ , a także

$\rho=\sum_{i} |\psi_i\rangle\langle\psi_i|$

co oznacza rzutowanie na przestrzeń liniową rozpiętą przez elementy $|\psi_i\rangle$ , tj. $\operatorname{lin}\{|\psi_i\rangle\colon\; i\in I\}$ .

[edytuj] Własności

Operator rzutowy jest operatorem dodatnim.
Widmo operatora rzutowego zawiera się w zbiorze ${0,1}$ .
Ślad operatora rzutowego jest równy wymiarowi przestrzeni, na którą on rzutuje.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $H$ jest przestrzenią Hilberta, to operator jednostkowy (identyczność) jest rzutowy.
Operator przestrzeni $\mathbb{R}^3$ , reprezentowany przez macierz $\operatorname{diag}(1,1,0)$ jest rzutowy.
Zaś operator przestrzeni $\mathbb{R}^2$ , zadany przez macierz