Podłoga i sufit
Z Wikipedii
Podłoga i sufit – w matematyce funkcje zaokrąglające liczby rzeczywiste do liczb całkowitych odpowiednio w dół i w górę.
Spis treści |
[edytuj] Definicja
Podłoga (część całkowita, cecha, entier) liczby rzeczywistej x, oznaczana , [x], lub to największa liczba całkowita nie większa od x. Symbolicznie:
Natomiast sufit (powała) liczby rzeczywistej x to najmniejsza liczba całkowita nie mniejsza od x. Liczbę tę oznaczamy symbolem . Symbolicznie:
Częścią ułamkową (mantysą) liczby rzeczywistej x nazywa się liczbę . Oznacza się ją {x}
[edytuj] Przykłady
- .
- .
- .
[edytuj] Nazwy
Pierwotnie używano terminów: część całkowita oraz część ułamkowa, których nazwa odpowiada intuicyjnemu rozumieniu tych pojęć dla nieujemnych liczb rzeczywistych. Obie te nazwy przeczą jednak intuicji dla liczb ujemnych i wprowadzają przez to pewne zamieszanie. Mimo wszystko są one nadal używane w matematyce. Z kolei nazwa entier pochodzi od francuskiego słowa oznaczającego „całość” i bywa często używana w analizie w kontekście funkcji. Terminy cecha i mantysa używane są przede wszystkim podczas opisu własności logarytmów. Pojęcia te obrazowane są tradycyjnie za pomocą oznaczeń .
Nazwy przytoczone w tym artykule zostały wprowadzone przez Donalda Knutha, który zaproponował oznaczenie dla części całkowitej, którą nazwał podłogą, w opozycji do powały oznaczanej . Pojęcia te są dosłownymi tłumaczeniami angielskich nazw, odpowiednio: floor dla podłogi oraz ceiling dla sufitu. Pojęcia te stosowane są szczególnie w informatyce, gdzie pierwsza z nich skracana jest zwykle do flor
, druga zaś do ceil
tak, aby zachować czteroliterowe oznaczenia.
[edytuj] Własności
[edytuj] Podłoga i sufit
Podłoga i sufit spełniają następujące nierówności:
Ponadto
przy czym równość zachodzi wyłącznie dla całkowitych x. W pozostałych przypadkach obie nierówności są ostre i mamy:
Przyporządkowując każdej liczbie rzeczywistej jej podłogę lub sufit otrzymujemy funkcje ze zbioru liczb rzeczywistych w zbiór liczb całkowitych.
Funkcje podłoga i sufit są niemalejące:
- ,
- .
Ponadto:
- ,
- dla dowolnego .
[edytuj] Część ułamkowa
Część ułamkowa należy zawsze do przedziału :
.
Czasami część ułamkową liczby zapisuje się jako , gdzie jest resztą z dzielenia uogólnioną na liczby rzeczywiste.
Część ułamkowa jest funkcją okresową o okresie zasadniczym t0 = 1.
Jeżeli liczba a jest niewymierna, wtedy liczby postaci {k·a}, dla k przebiegającego zbiór liczb naturalnych, równomiernie pokrywają przedział otwarty (0,1). Formalnie stwierdzenie to można zapisać jako:
o ile funkcja f jest funkcją ograniczoną i prawie wszędzie ciągłą.
Fakt ten został odkryty i udowodniony niezależnie przez P. Bohla, Wacława Sierpińskiego i Hermanna Weyla około roku 1909.
[edytuj] Cecha i mantysa logarytmu (dziesiętnego)
Cechę logarytmu (dziesiętnego) liczby można odczytać z jej zapisu dziesiętnego:
- Cecha logarytmu liczby rzeczywistej większej od 1 jest o 1 mniejsza od liczby cyfr jej części całkowitej, np. cecha logarytmu liczby 34 456,92 wynosi 4, c.l. 234 = 2.
- Cecha logarytmu liczby rzeczywistej mniejszej od 1 jest ujemna i równa minus liczba wszystkich zer przed pierwszą cyfrą znaczącą tej liczby. Na przykład cecha logarytmu liczby 0,000 802 wynosi –4, c.l. 0,054 = –2, c.l. 0,24 = –1.
Jeżeli cecha logarytmu jest ujemna, to zapisujemy ją w specjalny sposób: bez znaku "–", lecz z nadkreśleniem u góry. Zatem cechę logarytmu liczby 0,000 802 zapiszemy jako .
- Przykłady
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Mantysa logarytmów liczb wynosi 0, np.:
- lg 10 000 = 4,000 00
- lg 1 000 = 3,000 00
- lg 100 = 2,000 00
- lg 10 = 1,000 00
- lg 1 = 0,000 00
- lg 0,1 = ,000 00
- lg 0,01 = ,000 00
- lg 0,001 = ,000 00
Wszystkie liczby różniące się tylko położeniem przecinka dziesiętnego lub liczbą zer na początku lub końcu liczb, mają logarytm z jednakową mantysą, np.:
- lg 4 028 000 = 6,605 09
- lg 4 028 = 3,605 09
- lg 40,28 = 1,605 09
- lg 4,028 = 0,605 09
- lg 0,4028 = ,605 09
- lg 0,040 28 = ,605 09
- lg 0,004 028 = ,605 09