Miara (matematyka)

Z Wikipedii

Nieformalnie miara przypisuje zbiorom nieujemne liczby rzeczywiste tak, by większym zbiorom odpowiadały większe liczby.

Miara – rozważana w matematyce funkcja służąca określeniu „wielkości” zbiorów poprzez przypisanie im pewnej nieujemnej liczby.

Pojęcie to wyrosło z potrzeby bardziej usystematyzowanego spojrzenia na zagadnienia długości, pola powierzchni czy objętości w pracach Lebesgue'a nad jego miarą. Nie wszystkie zastosowania miar muszą mieć związek z wielkościami fizycznymi. Nieformalnie, dla danego zbioru, „miara” jest dowolnym spójnym przypisaniem „wielkości” (pewnym) podzbiorom tego zbioru.

W zależności od zastosowań „wielkość” podzbioru może oznaczać jego liczność, ilość elementów posiadających pewną cechę lub prawdopodobieństwo wystąpienia pewnego zdarzenia losowego. Głównym zastosowaniem miar jest definicja ogólnego pojęcia całki na zbiorach o bardziej skomplikowanej strukturze niż przedziały prostej rzeczywistej. Całki tego typu wykorzystuje się najczęściej w teorii prawdopodobieństwa i wielu działach analizy matematycznej.

Często niemożliwym lub niepożądanym jest przypisywanie miary wszystkim podzbiorom danego zbioru, dlatego też nie wymaga się tego w jej definicji. Istnieją jednak pewne warunki spójności rządzące typami kombinacji podzbiorów, którym można przypisać wielkość za pomocą miary; zawierają się one w dodatkowym pojęciu przestrzeni mierzalnej.

Teoria miary (lub czasami ogólniej: teoria miary i całki) jest gałęzią analizy rzeczywistej, która bada σ-algebry, miary, funkcje mierzalne oraz całki.

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Przestrzenie topologiczne
2 Własności
3 Przykłady
4 Zbiory niemierzalne
5 Uogólnienia
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Definicja formalna

Miarą nazywamy przeliczalnie addytywną funkcję określoną na σ-ciele podzbiorów danego zbioru w nieujemną półoś rozszerzonej prostej rzeczywistej przypisującą zero zbiorowi pustemu.

Formalnie, niech $(X, \mathfrak M)$ będzie przestrzenią mierzalną, gdzie $X$ jest dowolnym niepustym zbiorem, zaś $\mathfrak M$ dowolnym σ-ciałem określonym na $X$ . Funkcję $\mu\colon \mathfrak M \to [0, \infty]$ spełniającą następujące dwa warunki:

zbiór pusty ma miarę równą zero,

$\mu(\varnothing) = 0$ ;
miara sumy przeliczalnie wielu zbiorów parami rozłącznych jest równa ich sumie miar,

$\forall_{A_1, A_2, \dots \in \mathfrak M}\; \left((i \ne j\implies A_i \cap A_j = \varnothing)\implies\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty~A_n \right) = \sum_{n=1}^\infty~\mu(A_n)\right)$

nazywamy miarą na przestrzeni $(X, \mathfrak M).$

Wówczas trójkę $(X, \mathfrak M, \mu)$ nazywa się przestrzenią z miarą, a elementy $\mathfrak M$ – zbiorami mierzalnymi.

Miarą probabilistyczną (lub po prostu prawdopodobieństwem) nazywa się miarę, która całej przestrzeni przypisuje jedynkę, czyli $μ(X) = 1$ ; przestrzeń probabilistyczna jest przestrzenią mierzalną wraz miarą prawdopodobieństwa.

[edytuj] Przestrzenie topologiczne

W przestrzeniach mierzalnych będących zarazem przestrzeniami topologicznymi można zadać wiele różnych warunków zgodności miary i topologii. Większość miar spotykanych w praktyce analizy (a także niejednokrotnie teorii prawdopodobieństwa) są miarami Radona. Miary Radona posiadają alternatywną definicję wyrażoną w języku funkcjonałów liniowych na lokalnie zwartych przestrzeniach funkcji ciągłych o zwartym nośniku. To podejście stosowane jest w pracach Bourbakiego (2004) oraz innych autorów.

[edytuj] Własności

Kilka następujących własności wynika wprost z definicji przeliczalnie addytywnej miary.

Monotoniczność: $μ$ jest monotoniczna: jeżeli $E 1$ oraz $E 2$ są zbiorami mierzalnymi takimi, że $E_1\subseteq E_2$ to $\mu(E_1) \leqslant \mu(E_2)$ .

Miary nieskończonej liczby sum zbiorów mierzalnych

μ

jest podaddytywna: jeśli $E_1, E_2, \dots$ jest przeliczalnym ciągiem zbiorów należących do $\mathfrak M$ , niekoniecznie rozłącznych, to

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty~E_i\right) \leqslant \sum_{i=1}^\infty~\mu(E_i)$ .

μ

jest ciągła z dołu: jeżeli $E_1, E_2, \dots$ jest przeliczalnym ciągiem wstępującym zbiorów mierzalnych (

E n

jest podzbiorem

E n + 1

dla każdego

n

), to suma zbiorów

E n

jest mierzalna oraz

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty~E_i\right) = \lim_{i \to \infty}~\mu(E_i)$ .

Miary nieskończonej liczby iloczynów zbiorów mierzalnych

μ

jest ciągła z góry: jeżeli $E_1, E_2, \dots$ jest przeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów mierzalnych (

E n + 1

jest podzbiorem

E n

dla każdego

n

), to iloczyn zbiorów

E n

jest mierzalny; jeżeli przynajmniej jeden ze zbiorów

E n

jest skończonej miary, to

$\mu\left(\bigcap_{i=1}^\infty~E_i\right) = \lim_{i \to \infty}~\mu(E_i)$ .

Powyższa własność jest fałszywa bez założenia o skończoności miary przynajmniej jednego zbioru

E n

, gdyż przykładowo dla każdego $n \in \mathbb N$ niech

$E_n = [n, \infty) \subseteq \mathbb R$ ,

które wszystkie mają miarę nieskończoną, ale ich przecięcie jest puste.

[edytuj] Miary półskończone

Zobacz więcej w osobnych artykułach: miara skończona, miara półskończona.

Przestrzeń z miarą $(X, \mathfrak M, \mu)$ nazywa się skończoną, jeżeli $\mu(X) < \infty$ . Przestrzeń tę nazywa się półskończoną (σ-skończoną), jeżeli można rozłożyć $X$ na przeliczalną sumę zbiorów mierzalnych skończonej miary. Zbiór przestrzeni mierzalnej ma półskończoną (σ-skończoną) miarę, jeżeli jest sumą zbiorów o skończonej mierze.

Przykładowo, przestrzeń liczb rzeczywistych wraz ze standardową miarą Lebesgue'a jest półskończona, ale nie skończona. Rozważmy przedziały domknięte $[k, k + 1]$ dla wszystkich liczb całkowitych $k$ ; istnieje przeliczalnie wiele takich przedziałów, każdy o mierze równej $1$ , suma wszystkich pokrywa zaś całą prostą rzeczywistą. Możemy również rozważyć przestrzeń liczb rzeczywistych z miarą liczącą, która przypisuje każdemu skończonemu zbiorowi rzeczywistemu liczbę punktów tego zbioru. Miara ta nie jest półskończona, ponieważ każdy podzbiór o skończonej mierze zawiera tylko skończenie wiele punktów, a należałoby wziąć nieprzeliczalnie wiele takich zbiorów, aby pokryć całą prostą rzeczywistą. Przestrzenie z miarami półskończonymi mają kilka bardzo dogodnych własności; ze względu na nie półskończoność może być porównywana z ośrodkowością przestrzeni topologicznych.

[edytuj] Zupełność

Zobacz więcej w osobnym artykule: miara zupełna.

Zbiór mierzalny $X$ nazywa się zbiorem miary zero, jeżeli $μ(X) = 0$ . Podzbiór zbioru miary zero nazywa się zaniedbywalnym. Zbiór zaniedbywalny nie musi być mierzalny, ale każdy mierzalny zbiór zaniedbywalny jest automatycznie miary zero. Miarę nazywa się zupełną, jeżeli każdy zbiór zaniedbywalny jest mierzalny.

Miara może być uzupełniona (rozszerzona tak, aby była zupełna) przez rozważanie σ-algebry podzbiorów $Y$ , które różnią się od zbioru mierzalnego $X$ o zbiór zaniedbywalny, tj. tak, że różnica symetryczna $X$ oraz $Y$ jest zawarta w zbiorze miary zero. Definiuje się wówczas $μ(Y) = μ(X)$ .

[edytuj] Rodzaje

Poza powyższymi dwoma rozpatruje się też inne własności, wyróżnia się m.in. miary:

bezatomowe,
ciasne,
regularne,
unormowane (probabilistyczne, prawdopodobieństwa).

[edytuj] Przykłady

Poniżej znajduje się kilka ważnych miar:

miara licząca zdefiniowana jako $μ(A) =$ liczba elementów $A$ ,
miara Lebesgue'a jednoznacznie określona miara zupełna niezmiennicza ze względu na przesunięcia na σ-algebrze zawierającej przedziały $\mathbb R$ taka, że $μ([0,1]) = 1$ ,
miara kątów okręgu jest niezmiennicza ze względu na obroty,
miara Haara dla lokalnie zwartej grupy topologicznej będąca uogólnieniem miary Lebesgue'a i mająca podobną własność jednoznaczności,
miara Hausdorffa, która jest udoskonaleniem miary Lebesgue'a o niektóre zbiory fraktali.
na każdej przestrzeni prawdopodobieństwa można wyróżnić miarę, która przyjmuje wartość $1$ dla całej przestrzeni (i w ten sposób wszystkie jej wartości zawierają się w przedziale jednostkowym $[0,1]$ ). Takie miary nazywa się miarami prawdopodobieństwa, probabilistycznymi lub po prostu prawdopodobieństwami (ogólnie nazywa się je unormowanymi). Zobacz aksjomaty Kołmogorowa,
miara Diraca $μ a$ (zobacz funkcję delta Diraca) jest dana przez $μ a (S) = χ S (a)$ , gdzie $χ S$ jest funkcją charakterystyczną $S$ . Miara zbioru jest równa $1$ , jeśli zawiera punkt $a$ oraz $0$ w przeciwnym przypadku.

Do innych ważnych przykładów zalicza się miary: borelowską, Jordana, ergodyczną, Eulera, Gaussa, Baire'a oraz Radona.

[edytuj] Zbiory niemierzalne

Zobacz więcej w osobnym artykule: zbiór niemierzalny.

Nie wszystkie podzbiory przestrzeni euklidesowej są mierzalne w sensie Lebesgue'a; do przykładów takich zbiorów należą zbiór Vitalego i niemierzalne zbiory postulowane przez paradoks Hausdorffa oraz paradoks Banacha-Tarskiego.

[edytuj] Uogólnienia

Użyteczne jest czasami posiadanie „miary”, której wartości nie są ograniczone do nieujemnych liczb rzeczywistych i nieskończoności. Dla przykładu przeliczalnie addytywna funkcja w cały zbiór liczb rzeczywistych jest nazywana miarą ze znakiem, z kolei taką funkcję o wartościach w liczbach zespolonych nazywa się miarą zespoloną. Uważnie badano miary przyjmujące wartości w przestrzeniach Banacha. Miara, która przyjmuje wartości w zbiorze samosprzężonych rzutów na przestrzeń Hilberta nazywana jest miarą spektralną; są one używane głównie w twierdzeniu spektralnym analizy funkcjonalnej. Jeżeli zachodzi potrzeba odróżnienia zwykłej miary przyjmującej wartości nieujemne od jednego z jej uogólnień, to używa się zwykle pojęcia „miara dodatnia”.

Innym uogólnieniem jest miara skończenie addytywna. Jest ona tym samym co zwykła miara z wyjątkiem wymagania tylko skończonej zamiast przeliczalnej addytywności. Chronologicznie definicja ta pojawiła się pierwsza, ale szybko stwierdzono, że jest ona mało użyteczna. Okazuje się jednak, że skończenie addytywne miary są powiązane z pojęciami takimi jak: granice Banacha, przestrzeń dualna do L^∞ oraz uzwarcenie Čecha-Stone'a. Wszystkie wspomniane pojęcia są zaś powiązane w pewien sposób z aksjomatem wyboru.

Ważny wynik geometrii całkowej, znany jako twierdzenie Hadwigera mówi, że przestrzeń funkcji niezmienniczych ze względu na przesunięcia, skończenie addytywnych, niekoniecznie nieujemnych zbiorów określona na skończonej sumie zwartych zbiorów wypukłych w $\mathbb R^n$ składa się (z dokładnością do mnożenia skalarnego) z jednej „miary”, która jest „jednorodna stopnia $k$ ” dla każdego $k = 0, 1, 2, \dots, n$ i kombinacji liniowych tych „miar”. „Jednorodna stopnia $k$ ” oznacza, że skalowanie dowolnego zbioru przez dowolny współczynnik $c > 0$ mnoży „miarę” zbioru przez $c k$ . Jednorodną stopnia $n$ jest zwykła $n$ -wymiarowa objętość, jednorodną stopnia $n - 1$ jest „objętość powierzchni”, jednorodną stopnia $1$ jest tajemnicza funkcja nazywana „błędną szerokością” (przekorna nazwa), jednorodną stopnia zero jest charakterystyka Eulera.

[edytuj] Bibliografia

R. M. Dudley, 2002. Real Analysis and Probability. Cambridge University Press.
D. H. Fremlin, 2000. Measure Theory. Torres Fremlin.
Paul Halmos, 1950. Measure theory. Van Nostrand and Co.
R. Duncan Luce i Louis Narens (1987). „measurement, theory of,” The New Palgrave: A Dictionary of Economics, t. 3, s. 428-32.
M. E. Munroe, 1953. Introduction to Measure and Integration. Addison Wesley.
Shilov, G. E. i Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, tł. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8. Akcentuje całkę Daniella.
Pewne użyteczne notatki Tripos Cambridge na temat prawdopodobieństwa i teorii miary link
A. Birkholc, „Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych”, PWN, Warszawa 1986.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
miara zewnętrzna,
miara wewnętrzna,
miara produktowa,
miara Lebesgue'a,
miara wektorowa,
całka Lebesgue'a,
twierdzenie o rozszerzeniu miary,
funkcja mierzalna,
twierdzenie Steinhausa,
teoria miary geometrycznej.

Kategoria: Miary (teoria miary)

We provide Linux to the World