Przeciwobraz

Z Wikipedii

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Przeciwobraz zbioru poprzez funkcję to zbiór tych elementów z dziedziny funkcji, które funkcja przeprowadza na elementy danego zbioru.

Formalnie: jeżeli $f:X \to Y$ oraz $A \subset Y$ to przeciwobrazem zbioru $A$ jest zbiór:

$f^{-1}(A)=\{x\in X\ :\ f(x)\in A\} \subset X$

[edytuj] Własności

Przeciwobraz zachowuje wszystkie działania na zbiorach, to znaczy dla dowolnych $A, B \subset Y$ oraz dowolnej rodziny $(A i)$ jego podzbiorów zachodzą równości:

$f^{-1}(\bigcup_{i\in I} A_i) = \bigcup_{i\in I} f^{-1}(A_i)$ ,
$f^{-1}(\bigcap_{i\in I} A_i) = \bigcap_{i\in I} f^{-1}(A_i)$ ,
$f - 1 (A c) = (f - 1 (A)) c$ ,

z których w oczywisty sposób wynikają:

$f^{-1}(A \cup B) = f^{-1}(A) \cup f^{-1}(B)$ ,
$f^{-1}(A \cap B) = f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ ,
$f^{-1}(A \setminus B) = f^{-1}(A) \setminus f^{-1}(B)$ .

Ponadto, dla dowolnego podzbioru $A \subset X$ jest

$A \subset f^{-1}(f(A))$

oraz złożenie funkcji $f: X \to Y,\; g : Y \to Z$ dane jest wzorem:

$(g \circ f)^{-1}(A) = (f^{-1} \circ g^{-1})(A)$ .

[edytuj] Przykłady

Niech $f: R \ni X \to Y \in R$ . Na rysunku obok przeciwobrazem zbioru czerwonego jest zbiór niebieski.

Przeciwobrazem zbioru $[1,4]$ przez funkcję $f (x) = x 2$ jest zbiór $[-2, -1] \cup [1, 2]$ , ponieważ kwadraty liczb z (wyłącznie) tego zbioru należą do zbioru $[1,4]$ .

Przeciwobrazem zbioru ${0}$ przez tę samą funkcję jest ${0}$ , przeciwobrazem zbioru ${1}$ jest ${1, - 1}$ , a przeciwobrazem zbioru ${ - 1}$ jest zbiór pusty – kwadrat żadnej liczby rzeczywistej nie jest równy $- 1$ .