Szereg funkcyjny

Z Wikipedii

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje.

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Motywacja
2 Zbieżność szeregu funkcyjnego
- 2.1 Zbieżność punktowa
- 2.2 Zbieżność jednostajna szeregu
3 Własności i przykłady
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Szeregiem funkcyjnym nazywamy szereg postaci

$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ ,

gdzie $f_n:X\longrightarrow Y$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ) są funkcjami określonymi w tej samej dziedzinie $X\;$ o wartościach w pewnej przestrzeni wektorowej unormowanej $Y\;$ .

W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcji zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych. Często też wyrazy szeregu, czyli funkcje $f n (x)$ , mają specjalną postać: są funkcjami trygonometrycznymi, potęgowymi itp.

[edytuj] Motywacja

Pojęcie to w naturalny sposób pojawia się, gdy rozpatrujemy szereg geometryczny:

$\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1} = a + aq + aq^2 + aq^3 + \dots$ ( $a\neq 0$ )

Szereg ten jest zbieżny dla dowolnego $q\in (-1,1)$ , a jego suma jest równa

$s(q)=\frac{a}{1-q}$

Jeżeli spojrzeć na wyrazy tego szeregu jak na funkcje $f_0(q)=a,\,f_1(q)=aq,\,f_2(q)=aq^2,\,f_3(q)=aq^3\dots$ określone w przedziale (-1,1), to mamy przykład szeregu funkcyjnego.

[edytuj] Zbieżność szeregu funkcyjnego

Najczęściej pod pojęciem zbieżności szeregu rozumiemy zdefiniowaną niżej zbieżność punktową, ale w pewnych sytuacjach autorzy mogą mieć na myśli zbieżność jednostajną lub nawet inny rodzaj granicy.

Niech $Y\;$ będzie przestrzenią liniową unormowaną z normą $\|\cdot\|$ oraz niech $f_n\colon X\longrightarrow Y$ (dla $n\in {\mathbb N}$ ).

[edytuj] Zbieżność punktowa

Szereg

$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$

jest zbieżny punktowo w zbiorze $X$ , gdy dla każdego $x_0\in X$ odpowiedni szereg

$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x_0)$

jest zbieżny (tzn jeśli ciąg sum częściowych $\Big(\sum_{n=1}^Nf_n(x_0)\Big)_N$ jest zbieżny w przestrzeni $Y\;$ ). Określona w ten sposób funkcja $x\mapsto\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)$ nazywa się sumą szeregu.

[edytuj] Zbieżność jednostajna szeregu

Dla zastosowań ważny jest związek między własnościami wyrazów szeregu, a własnościami jego sumy – okazuje się, że jeżeli wszystkie wyrazy szeregu są funkcjami ciągłymi, to jego suma nie musi być funkcją ciągłą. Jeżeli jednak badany szereg jest jednostajnie zbieżny, wiele ważnych własności jego wyrazów przenosi się na sumę.

Szereg

$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$

jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $X$ do funkcji $f (x)$ , gdy dla dowolnej liczby $\varepsilon$ istnieje taka liczba naturalna $n_{\varepsilon}$ , że dla wszystkich $k > n_{\varepsilon}$ i dla wszystkich $x\in X$ zachodzi nierówność:

$\|\sum_{n=1}^{k}f_n(x)-f(x))\|<\varepsilon$ .

Tak więc szereg $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy gdy ciąg sum częściowych $\Big(\sum_{n=1}^Nf_n\Big)_N$ jest zbieżny jednostajnie (jako ciąg funkcyjny).

[edytuj] Własności i przykłady

Załóżmy, że szereg jest zbieżny jednostajnie na odcinku (a,b) do sumyf(x). Wówczas:
- Jeżeli wyrazy szeregu są funkcjami ciągłymi, to jego suma też jest funkcją ciągłą.
- Jeżeli wyrazy szeregu są funkcjami różniczkowalnymi, to jego suma też jest funkcją różniczkowalną. Co więcej, jej pochodna jest równa sumie szeregu utworzonego z pochodnych wyrazów – mówimy, że szereg można różniczkować wyraz po wyrazie.
- Jeżeli wyrazy szeregu są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, to jego suma też jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Ponadto, jej całka jest równa sumie szeregu utworzonego z całek wyrazów – szereg można całkować wyraz po wyrazie.

Szereg $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}=x+x^2+x^3+x^4\dots$ jest w przedziale $(-1,\,1)$ zbieżny punktowo do funkcji $f(x)=\frac{x}{1-x}$ , nie jest to jednak zbieżność jednostajna. Mimo to, suma szeregu jest funkcją ciągłą i różniczkowalną w przedziale $(-1,\,1)$ .