Szereg harmoniczny

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy matematyki. Zobacz też: artykuł dotyczący muzyki.

Szereg harmoniczny – szereg liczbowy postaci

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\dots$

Jego nazwa wzięła się stąd, że długości fal kolejnych półtonów drgającej struny są proporcjonalne do 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... Każdy wyraz szeregu od drugiego włącznie jest średnią harmoniczną dwóch wyrazów bezpośrednio z nim sąsiadujących.

Spis treści

1 Rozbieżność szeregu harmonicznego
- 1.1 Uogólnienia
- 1.2 Liczby harmoniczne
2 Szeregi harmoniczne wyższych rzędów
3 Zobacz też
4 Przypisy

[edytuj] Rozbieżność szeregu harmonicznego

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do nieskończoności – poniższy dowód tego faktu pochodzi od Mikołaja z Oresme i jest jednym z ważnych osiągnięć średniowiecznej matematyki.

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\dots= 1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\dots>$

$1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) +\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right) +\dots=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\right)+\dots$

Ponieważ suma liczb w każdym nawiasie wynosi 1/2, ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy skończonej.

[edytuj] Uogólnienia

Tak zwany uogólniony szereg harmoniczny

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{an+b}$

jest rozbieżny przy dowolnych wartościach $a \ne 0, b\in \mathbb{R}$

Można też dowieść, choć jest to trudniejsze^[1], że rozbieżny jest również szereg odwrotności kolejnych liczb pierwszych.

[edytuj] Liczby harmoniczne

Kolejne sumy częściowe szeregu harmonicznego

$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k},$

tak zwane liczby harmoniczne, rosną jednak bardzo powoli. Mamy bowiem następującą równość:

$\lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma$

gdzie γ jest tzw. stałą Eulera. Oznacza to, że szereg harmoniczny rośnie tak szybko jak funkcja logarytm naturalny.

[edytuj] Szeregi harmoniczne wyższych rzędów

Szeregiem harmonicznym rzędu α nazywamy szereg postaci:

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}=1+\frac{1}{2^{\alpha}}+\frac{1}{3^{\alpha}}+\frac{1}{4^{\alpha}}+\dots$

Szereg ten jest zbieżny dla α>1 i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Jeżeli dopuścimy, by α przyjmowało wartości zespolone i każdej liczbie α, dla której szereg jest zbieżny, przypiszemy jego sumę, to tak utworzona funkcja nosi nazę funkcji dzeta ς Riemanna:

$\zeta(\alpha) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$