Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Z Wikipedii

Twierdzenie Cayleya–Hamiltona (nazwa od matemtyków Artura Cayleya i Williama Hamiltona) mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego.

Dokładniej; jeżeli A jest macierzą n×n oraz I_n  jest macierzą identycznościową n×n to wielomian charakterystyczny A jest zdefiniowany jako:

gdzie "det" jest wyznacznikiem. Twierdzenie Cayleya–Hamiltona mówi, że podstawienie A do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie zero (wyznacznik macierzy zerowej):

Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya–Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.

[edytuj] Przykład

Rozważmy macierz

Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że

A² − 5A − 2I₂ = 0

co można łatwo sprawdzić.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.

Biorąc powyższe wyniki

A² − 5A − 2I₂ = 0

A² = 5A + 2I₂.

policzmy A⁴:

A³ = (5A + 2I₂)A = 5A² + 2A = 5(5A + 2I₂) + 2A = 27A + 10I₂

A⁴ = A³A = (27A + 10I₂)A = 27A² + 10A = 27(5A + 2I₂) + 10A

A⁴ = 145A + 54I₂.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.