Postać Jordana
Z Wikipedii
Postać Jordana macierzy – macierz w specjalnej, prawie przekątniowej, postaci związana z daną macierzą przez przejście odpowiadające zmianie bazy. Nazwa była wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Camille Jordana.
Postać Jordana kwadratowej macierzy A to przedstawienie
gdzie
- A – dana macierz,
- P – pewna macierz nieosobliwa której niektórymi kolumnami są wektory własne macierzy A,
- J – szukana macierz Jordana.
Żądamy, by macierz Jordana była w szczególnej postaci. Na diagonali miała klatki (zwane klatkami Jordana), czyli
.
Zaś każda klatka Jordana ma daną wartość własną na diagonali i liczbę 1 ponad nią.
Każdej klatce Jordana odpowiada dokładnie jeden wektor własny, ale może istnieć kilka klatek Jordana o tej samej wartości własnej.
Wymiar pojedynczej klatki jest z przedziału {1,2,...,N}, gdzie N to wymiar macierzy A.
Macierz Jordana to macierz trójkątna górna. Można równie dobrze umówić się, że macierze Jordana są dolnotrójkątne (jedynki są poniżej diagonali), jednak historycznie przyjęto używać macierzy górnotrójkątnych.
Spis treści |
[edytuj] Rozkład Jordana
Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy A w postaci iloczynu trzech macierzy
przy oznaczeniach jak z początku artykułu.
Twierdzenie Jordana mówi, że taki rozkład zawsze istnieje.
[edytuj] Zastosowania
[edytuj] Podobieństwo
Dwie macierze A i B są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy mają taką samą postać Jordana. Pokażemy implikację w jedną stronę.
co daje
[edytuj] Potęgowanie macierzy
Stosunkowo łatwo jest podnosić do potęgi macierz kwadratową rozkładowi Jordana.
[edytuj] Twierdzenie
Twierdzenie Jordana - twierdzenie algebry liniowej o istotnym znaczeniu w teorii równań różniczkowych. Sformułowane przez francuskiego matematyka Camille Jordana.
Załóżmy, że 
jest skończeniewymiarową przestrzenią liniową nad ciałem algebraicznie domkniętym F (w szczególności, ciałem liczb zespolonych) oraz 
jest endomorfizmem tej przestrzeni. Wówczas istnieje baza przestrzeni w której ma macierz w postaci macierzy klatkowej
![J=\left[\begin{array}{c c c c c c}
A_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & A_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & A_3 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & A_{k-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_k \\\end{array}\right]](../../../../math/3/f/4/3f4bc3bbe70db07b7f9a6bdc6f3fa6b5.png)
gdzie każda macierz Ai jest postaci
![A_i=\left[\begin{array}{c c c c c c}
\lambda_i & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \lambda_i & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \lambda_i & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda_i \\\end{array}\right],\quad \lambda_i\in F,\; i\in\{1,\ldots, k\}](../../../../math/1/b/9/1b9d5ad494793087cd1920bf94a374f5.png)
Macierz Ai nazywamy klatką Jordana. Elementy diagonalne λi są wartościami własnymi endomorfizmu . Liczba wystąpień danej liczby λ na przekątnej macierzy nazywana jest krotnością wartości własnej λ.
[edytuj] Zobacz też
[edytuj] Bibliografia
- Wykłady z algebry liniowej II: przestrzenie afiniczne i euklidesowe, T. Koźniewski, Uniwersytet Warszawski, Warszawa, 2006
