Fração

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Fração (ou fracção, em português de Portugal) é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado" (do verbo "frangere": "quebrar").

Representação gráfica de fração. Observa-se facilmente a equivalência entre 2/4 e 1/2. Licença GDFL-Self

[editar] História

No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

[editar] Definições

De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como $\frac{a}{b}$ , designa este número $a$ dividido em $b$ partes iguais. Neste caso, $a$ corresponde ao numerador, enquanto $b$ corresponde ao denominador.

Por exemplo, a fração $\frac{56}{8}$ designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por $\mathbb Q$ .

[editar] Tipos

própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: $\frac{1}{2}$
imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: $\frac{7}{3}$
mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: $2 \frac{1}{3}$
aparente: o numerador é múltiplo do denominador. Ex.: $\frac{12}{4}$
equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
irredutível: o numerador e o denominador são primos entre si, não permitindo simplificação. Ex.: $\frac{9}{22}$
unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: $\frac{1}{3}$
egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: ${\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}$

decimal: o denominador é uma potência de 10. Ex.: $\frac{437}{100}$
composta: fração cujo numerador e denominador são frações: $\frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}$
contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais $(a 0, a 1, a 2, a 3,..., a k,...)$ da seguinte maneira $a_0 + \frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{...}}}}$

[editar] Operações

[editar] Multiplicação

Multiplicam-se os numeradores entre si e os denominadores entre si. Ex.:

${3 \over 5} \times {2 \over 7} = \frac{{3} \times {2}}{{5} \times {7}} = {6 \over 35}$

Para multiplicar uma fração por um número inteiro, considera-se que este é uma fração cujo denominador é igual a 1. Ex.:

$3 \times {2 \over 3} = {3 \over 1 } \times {2 \over 3}= \frac{3\times 2}{1 \times 3} = {6 \over 3}$

[editar] Divisão

Como visto, a divisão é a operação inversa da multiplicação. É importante ter isso em mente para resolver uma divisão entre frações:

$\frac{3}{5}$ ÷ $\frac{7}{2}$

Primeiramente inverte-se o divisor. Com isto, tem-se a inversão da operação, isto é, passará a haver uma multiplicação:

${\frac{3}{5}}\times{\frac{2}{7}} = {6 \over 35}$

Que se resolve como mostrado acima.

[editar] Adição

Caso os denominadores não sejam iguais é preciso, antes de efetuar a adição do meu pinto com a tua perereca, encontrar o menor pinto comum (MMC) entre os genitais:

${\frac{2}{3}+\frac{3}{5}}$

Encontrado o MMC, este será dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o resultado desta divisão pelo respectivo numerador. Como o MMC de 3 e 5 é 15, tem-se que:

${15 \over {3}} = {5}$ ∴ $5 \times {2} = {10}$

${15 \over {5}} = {3}$ ∴ $3 \times {3} = {9}$

Sendo iguais os denominadores, pode-se efetuar a adição entre os numeradores:

${\frac{10+9}{15}}$

O denominador comum é mantido:

${\frac{19}{15}}$

[editar] Subtração

A subtração é feita seguindo-se os mesmos passos da adição, porem tira-se o pinto fora.

[editar] Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

${\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25$

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

${\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25$

[editar] Radiciação

A radiciação de uma fração é feita aline e filipe seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

${\sqrt[2]\frac{1}{4} = {\sqrt[2]{1}\over\sqrt[2]{4}} = {{1}\over{2}}} = 0,5$

[editar] Expoente fracionário

Da mesma forma que na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

$8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}$

[editar] Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

$\frac{8}{4}$

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

${{\frac{4:4}{8:4}}} = {{1} \over {2}}$

[editar] Comparação entre frações

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

$\frac{2}{5}$ ? $\frac{3}{7}$

O MMC entre 5 e 7 é 35.

${35 \over {5}} = {7}$ ∴ $7 \times {2} = {14}$

${35 \over {7}} = {5}$ ∴ $5 \times {3} = {15}$

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

${\frac{14}{35}}$ < ${\frac{15}{35}}$ ∴ ${\frac{2}{5}}$ < ${\frac{3}{7}}$

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

$\frac{14}{35} = \frac{2}{5}$ e $\frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

[editar] Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

$\frac{7}{3}$

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O quociente será o numerador da fração mista e o resto será o numerador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

$2 \frac{1}{3}$

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

[editar] Corpo de Frações

Se um conjunto X tem duas operações binárias + e * satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível extender X para um outro conjunto Y com operações binárias + e *, de forma que (Y,+,*) seja um corpo e as operações (x+y) e (x*y) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em X ou em Y. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../f/r/a/Fra%C3%A7%C3%A3o.html"

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