La relatividad especial

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La relatividad especial (SR) (también conocido como la teoría especial de la relatividad o STR) es el teoría física de la medición en marcos de referencia inerciales propuestos en 1905 por Albert Einstein (después de contribuciones considerables de Hendrik Lorentz y Henri Poincaré) en el documento " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ". Generaliza Principio de relatividad de Galileo - que todos movimiento uniforme es relativo, y que no existe un estado absoluto y bien definida de reposo (sin marcos de referencia privilegiados) - desde mecánica a toda la leyes de la física, incluyendo tanto las leyes de la mecánica y de electrodinámica, sean los que sean. Además, la relatividad especial incorpora el principio de que la velocidad de la luz es la misma para todos inercial observadores, independientemente del estado de movimiento de la fuente.

Esta teoría tiene una amplia gama de consecuencias que han sido verificadas experimentalmente. La relatividad especial derroca nociones newtonianos de espacio y tiempo absolutos al afirmar que el tiempo y espacio se perciben de manera diferente por los observadores en diferentes estados de movimiento. Cede la equivalencia de la materia y la energía , como se expresa en el fórmula de equivalencia masa-energía E = mc ^2, donde c es la velocidad de la luz en el vacío. Las predicciones de la relatividad especial concuerdan bien con la mecánica de Newton en su ámbito de aplicación común, específicamente en experimentos en los que todas las velocidades son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz.

La teoría se denomina "especial" porque se aplica la principio de relatividad sólo sistemas inerciales. Einstein desarrolló la relatividad general de aplicar el principio general, es decir, a cualquier marco, y que la teoría incluye los efectos de la gravedad . Estrictamente, la relatividad especial no se puede aplicar en la aceleración de cuadros o en los campos gravitatorios.

La relatividad especial revela que c no es sólo la velocidad de un determinado fenómeno, es decir, la propagación de la radiación electromagnética (luz), pero más bien una característica fundamental del espacio forma y el tiempo se unifican como espacio tiempo. Una consecuencia de esto es que es imposible para cualquier partícula que tiene masa a ser acelerado a la velocidad de la luz.

Para la historia y la motivación, ver el artículo: Historia de la relatividad especial

Postulados

En sus apuntes autobiográficos publicados en noviembre de 1949 Einstein describió cómo había llegado a los dos postulados fundamentales sobre los que se basa la teoría especial de la relatividad. Después de describir en detalle el estado de ambas mecánica y la electrodinámica al principio del siglo 20, escribió

"Reflexiones de este tipo dejó claro a mí hace, siempre y cuando poco después de 1900, es decir, poco después del trabajo pionero de Planck, que ni la mecánica ni la electrodinámica podía (excepto en casos límite) afirman validez exacta. Poco a poco me desesperaba de la posibilidad de descubrir las verdaderas leyes por medio de esfuerzos constructivos basados en hechos conocidos. El más largo y el más desesperadamente intentaba, más que llegué a la convicción de que sólo el descubrimiento de un principio universal formal podría llevarnos a resultados asegurados ... ¿Cómo, entonces , se pudo encontrar tal principio universal? "

Él discernirse dos proposiciones fundamentales que parecían ser el más seguro, independientemente de la validez exacta de cualquiera de las leyes (continuación) conocidas de la mecánica o la electrodinámica. Estas proposiciones fueron (1) la constancia de la velocidad de la luz, y (2) la independencia de las leyes físicas (especialmente la constancia de la velocidad de la luz) de la elección del sistema inercial. En su presentación inicial de la relatividad especial en 1905 expresó estos postulados como:

El Principio de la Relatividad - Las leyes por las que los estados de los sistemas físicos se someten a cambio no se ven afectados, ya sea ser referidos a uno u otro de los dos sistemas de coordenadas inerciales en movimiento de traslación uniforme estos cambios de estado.
El Principio de la invariante Velocidad de la Luz - Luz en el vacío se propaga con la velocidad c (una constante fija) en términos de cualquier sistema de coordenadas inerciales, sin importar el estado de movimiento de la fuente de luz.

Cabe señalar que la derivación de la relatividad especial depende no sólo de estos dos postulados explícitos, sino también en varias suposiciones tácitas (que se hacen en casi todas las teorías de la física), incluyendo la isotropía y homogeneidad del espacio y la independencia de varillas y relojes de su historia pasada.

Tras la presentación inicial de Einstein de la relatividad especial, en 1905, se han propuesto muchos conjuntos diferentes de postulados en varias derivaciones alternativas. Sin embargo, el conjunto más común de postulados mantiene las empleadas por Einstein en su artículo original. Estos postulados se refieren a la base axiomática de la Transformación de Lorentz, que es el núcleo esencial de la relatividad especial. En todos los artículos de Einstein en la que presentó derivaciones de la transformación de Lorentz, se basa en estos dos principios.

Además de los documentos mencionados anteriormente, que dan derivaciones de la transformación de Lorentz y describen las bases de la relatividad especial de Einstein-también escribió al menos cuatro documentos que dan argumentos heurísticos para la equivalencia (y transmutabilidad) de masa y energía. (Cabe señalar que esta equivalencia no se sigue de las premisas básicas de la relatividad especial. El primero de ellos fue "¿La inercia de un cuerpo depende de su contenido de energía?", En 1905. En este y en cada uno de sus tres trabajos posteriores sobre este tema, Einstein aumentado los dos principios fundamentales postulando las relaciones que implican movimiento y la energía de las ondas electromagnéticas implícitos en las ecuaciones de Maxwell (el supuesto de que, por supuesto, implica entre otras cosas la asunción de la constancia de la velocidad de la luz). Reconoció en su papel encuesta 1907 sobre la relatividad especial que era problemático que confiar en las ecuaciones de Maxwell para el argumento de la masa-energía heurística, y es por eso que constantemente basa la derivación de la invariancia de Lorentz (el núcleo esencial de la relatividad especial) sólo en el dos principios básicos de la relatividad y la invariancia velocidad de la luz. Él escribió

"La idea fundamental de la teoría especial de la relatividad es la siguiente: La relatividad supuestos y invariancia velocidad de la luz son compatibles si las relaciones de nuevo tipo (" transformación de Lorentz ") se postulan para la conversión de coordenadas y horarios de los eventos ... Lo universal principio de la teoría especial de la relatividad está contenida en el postulado:. Las leyes de la física son invariantes respecto a las transformaciones de Lorentz (para la transición de un sistema inercial a otro sistema inercial elegido arbitrariamente) Este es un principio restrictivo de las leyes naturales. .. "

Así, muchos tratamientos modernos de base de la relatividad especial en el único postulado de covarianza de Lorentz universal o, de manera equivalente, en el único postulado de espaciotiempo de Minkowski.

Consecuencias

Einstein ha dicho que todas las consecuencias de la relatividad especial se pueden derivar de examen de la Transformaciones de Lorentz.

Estas transformaciones, y por lo tanto la relatividad especial, el plomo a diferentes predicciones físicas que la mecánica de Newton cuando las velocidades relativas se convierten comparable a la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es mucho más grande que cualquier cosa que los seres humanos se encuentran con que algunos de los efectos predichos por la relatividad son inicialmente contrario a la intuición:

La dilatación del tiempo - el tiempo transcurrido entre dos eventos no es invariante de un observador a otro, sino que depende de las velocidades relativas de los marcos de referencia de los observadores (por ejemplo, la doble paradoja que se refiere a un gemelo que sale volando en una nave espacial que viaja cerca de la velocidad de la luz y vuelve a descubrir que su hermano gemelo ha envejecido mucho más).
La relatividad de la simultaneidad - dos acontecimientos que suceden en dos lugares diferentes que se producen simultáneamente a un observador, puede ocurrir en diferentes momentos para otro observador (falta de simultaneidad absoluta).
Lorentz contracción - las dimensiones (por ejemplo, la longitud) de un objeto, medida por un observador puede ser menor que los resultados de las mediciones de un mismo objeto realizadas por otro observador (por ejemplo, la paradoja escalera implica una larga escalera que viajan cerca de la velocidad de la luz y que está contenido dentro de un garaje más pequeño).
Composición de las velocidades - velocidades (y velocidades) no simplemente 'agregar', por ejemplo, si un cohete se mueve a la velocidad de ⅔ relativa luz a un observador, y el cohete se dispara un misil a ⅔ de la velocidad de la luz con respecto a la cohete, el misil no exceda de la velocidad de la luz con respecto al observador. (En este ejemplo, el observador vería el recorrido del misil con una velocidad de 12/13 la velocidad de la luz).
La inercia y el impulso - como la velocidad de un objeto se aproxima a la velocidad de la luz desde el punto de vista de un observador, su masa parece aumentar con ello por lo que es cada vez más difícil para acelerar desde dentro del marco del observador de referencia.
La equivalencia de masa y energía , E = mc ² - El contenido de energía de un objeto en reposo con la masa m es igual $m c ^ {2}$ . Conservación de la energía implica que en cualquier reacción una disminución de la suma de las masas de las partículas debe estar acompañado por un aumento de las energías cinéticas de las partículas después de la reacción. Del mismo modo, la masa de un objeto puede ser mayor si se toman en energías cinéticas.

Simultaneidad

Evento B es simultáneo con A en el marco de referencia verde, pero se produjo antes en el marco azul, y ocurrirá más adelante en el cuadro rojo.

De la primera ecuación de la transformación de Lorentz en términos de coordinar diferencias

$\ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - \ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}} \ right)$

está claro que dos eventos que son simultáneos en el sistema S (satisfaciendo $\ Delta t = 0 \,$ ), No son simultáneos necesariamente en otro sistema inercial S '(satisfaciendo $\ Delta t '= 0 \,$ ). Sólo si estos eventos son colocal en el sistema S (satisfaciendo $\ Delta x = 0 \,$ ), Van a ser simultánea en otro marco S '.

La dilatación del tiempo y la contracción de la longitud

Escritura de la transformación de Lorentz y su inversa en términos de coordinar las diferencias que obtenemos

$\ Begin {casos} \ Delta t '= \ gamma \ left (\ Delta t - \ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}} \ right) \\ \ Delta x' = \ gamma (\ Delta x - v \, \ Delta t) \, \ end {casos}$

$\ Begin {casos} \ Delta t = \ gamma \ left (\ Delta t '+ \ frac {v \, \ Delta x'} {c ^ {2}} \ right) \\ \ Delta x = \ gamma (\ Delta x '+ v \, \ Delta t') \, \ end {casos}$

Supongamos que tenemos un reloj en reposo en el sistema sin imprimación S. Dos garrapatas consecutivos de este reloj se caracterizaron por $\ Delta x = 0$ . Si queremos conocer la relación entre los tiempos entre estas garrapatas, medido en ambos sistemas, podemos utilizar la primera ecuación y encontrar:

$\ Delta t '= \ gamma \, \ Delta t \ qquad (\,$ para eventos que satisfacen $\ Delta x = 0) \,$

Esto muestra que el tiempo de $\ Delta t '$ entre los dos garrapatas como se ve en el 'movimiento' S 'es mayor que el tiempo $\ Delta t$ entre estas garrapatas, medido en el marco de reposo del reloj. Este fenómeno se llama la dilatación del tiempo.

Del mismo modo, supongamos que tenemos un vara de medir en reposo en el sistema sin imprimación. En este sistema, la longitud de esta barra se escribe como $\ Delta x$ . Si queremos encontrar la longitud de esta barra de medida en el 'movimiento' sistema S ', debemos asegurarnos de medir las distancias $x '$ a los puntos de extremo de la varilla de forma simultánea en el marco imprimada S '. En otras palabras, la medición se caracteriza por $\ Delta t '= 0$ , Que podemos combinar con la cuarta ecuación para hallar la relación entre las longitudes $\ Delta x$ y $\ Delta x '$ :

$\ Delta x '= \ frac {\ Delta x} {\ gamma} \ qquad (\,$ para eventos que satisfacen $\ Delta t '= 0) \,$

Esto muestra que la longitud $\ Delta x '$ de la varilla de medida en el 'movimiento' S 'es menor que la longitud $\ Delta x$ en su propio sistema de reposo. Este fenómeno se llama contracción de la longitud o la contracción de Lorentz.

Estos efectos no son más que las apariencias; se relacionan de manera explícita a nuestra forma de medir intervalos de tiempo entre los eventos que ocurren en el mismo lugar en un sistema dado de coordenadas (llamado eventos "co-locales"). Estos intervalos de tiempo serán diferentes en otro sistema de coordenadas se mueve con respecto a la primera, a menos que los eventos también son simultáneos. Del mismo modo, estos efectos también se relacionan con nuestras distancias medidas entre eventos separados pero simultáneos en un sistema de elección dada de coordenadas. Si estos eventos no son co-local, pero están separados por la distancia (espacio), no se producen a la misma distancia espacial entre sí cuando se ve desde otro sistema de coordenadas en movimiento.

Ver también el paradoja de los gemelos.

La causalidad y la prohibición de movimiento rápido que la luz

Diagrama 2. cono de luz

En el diagrama 2 el intervalo AB es "tiempo-como '; es decir, hay un marco de referencia en el que el evento A y el evento B se producen en la misma ubicación en el espacio, separados sólo por que ocurren en momentos diferentes. Si A precede B en ese marco, entonces A precede B en todos los marcos. Es hipotéticamente posible para la materia (o información) viajar de A a B, por lo que puede ser una relación causal (con A la causa y el efecto B).

El intervalo de AC en el diagrama es "espacio-like '; es decir, hay un marco de referencia en el que el evento A y el evento C ocurren simultáneamente, separados sólo en el espacio. Sin embargo, hay también enmarca en la que A precede C (como se muestra) y los marcos en los que C precede a A. Si fuera posible para que exista una relación de causa-efecto entre los eventos A y C, a continuación, paradojas de la causalidad resultaría. Por ejemplo, si A era la causa, y C el efecto, entonces no habría marcos de referencia en el que el efecto precedió a la causa. Aunque esto en sí mismo no dará lugar a una paradoja, se puede demostrar que más rápido que las señales de luz se pueden enviar de nuevo en el propio pasado. Una paradoja causal puede entonces ser construido mediante el envío de la señal si y sólo si no hay señal fue recibida previamente.

Por lo tanto, una de las consecuencias de la relatividad especial es que (asumiendo causalidad debe ser preservada), no objeto de información o material puede viajar más rápido que la luz. Por otro lado, la situación lógica no es tan claro en el caso de la relatividad general, por lo que es una pregunta abierta si hay alguna principio fundamental de que conserva la causalidad (y, por tanto, impide el movimiento más rápido que la luz) en la relatividad general.

Incluso sin consideraciones de causalidad, existen otras razones de peso para viajes más rápido que la luz está prohibido por la relatividad especial. Por ejemplo, si una fuerza constante se aplica a un objeto para una cantidad ilimitada de tiempo, entonces la integración de F = dp / dt da un impulso que crece sin límite, pero esto es simplemente porque $p = m \ gamma v$ tiende a infinito como v se aproxima a c. Para un observador que no se está acelerando, parece como si la inercia del objeto está aumentando, a fin de producir una aceleración más pequeño en respuesta a la misma fuerza. Este comportamiento es, de hecho, observó en aceleradores de partículas.

Ver también el Taquiónico Antitelephone.

Composición de las velocidades

Si el observador en S ve un objeto que se mueve a lo largo del eje x con velocidad w, entonces el observador en el sistema S ', un marco de referencia que se mueve a una velocidad v en la dirección x con respecto a S, verán el objeto que se mueve con velocidad w 'donde

$w '= \ frac {w-v} {1-wv / c ^ 2}.$

Esta ecuación se puede derivar de espacio y tiempo transformaciones anteriores. Tenga en cuenta que si el objeto se mueve a la velocidad de la luz en el sistema S (es decir, $w = c$ ), Entonces también se mueve a la velocidad de la luz en el sistema S '. Además, si tanto w y v son pequeños con respecto a la velocidad de la luz, vamos a recuperar la transformación de Galileo intuitiva de velocidades: $w '\ aprox w-v$ .

Masa, movimiento y energía

Además de modificar las nociones de espacio y tiempo, las fuerzas de la relatividad especial de uno a reconsiderar los conceptos de masa , momentum y energía , todos los cuales son construcciones importantes de la mecánica newtoniana . Programas especiales de la relatividad, de hecho, que estos conceptos son aspectos diferentes de la misma cantidad física de la misma manera que se nota el espacio y el tiempo para estar interrelacionados.

Hay un par de (equivalente) maneras de definir el impulso y la energía en SR. Uno utiliza el método leyes de conservación. Si estas leyes son siendo válida la SR deben ser cierto en todos los marcos de referencia posible. Sin embargo, si uno hace algunos simples pensado experimentos utilizando las definiciones de Newton de movimiento y la energía que uno ve que estas cantidades no se conservan en SR. Uno puede rescatar la idea de conservación, haciendo unas pequeñas modificaciones en las definiciones para tener en cuenta las velocidades relativistas. Son estas nuevas definiciones que se toman como los adecuados para el impulso y la energía en SR.

Dado un objeto de invariante masa m que viaja a la velocidad v de la energía y el momento se dan (y aún por definir) por

$E = \ gamma m c ^ 2 \, \!$

$\ Vec p = \ gamma m \ vec v \, \!$

donde γ (la Factor de Lorentz) viene dada por

$\ Gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1 - \ beta ^ 2}}$

donde $\ Beta = \ frac {v} {c}$ es la relación de la velocidad y la velocidad de la luz. El término γ se produce con frecuencia en la relatividad, y viene de la Ecuaciones de transformación de Lorentz.

Energía relativista y el impulso pueden relacionarse a través de la fórmula

$E ^ 2 - (p c) ^ 2 = (m c ^ 2) ^ 2 \, \!$

que se conoce como la ecuación de energía-momento relativista. Es interesante observar que mientras que la energía $E \,$ y el impulso $p \,$ dependen del observador (variar de cuadro a cuadro) la cantidad $E ^ 2 - (p c) ^ 2 = (m c ^ 2) ^ 2 \, \!$ es observador independiente.

Para velocidades mucho más pequeñas que las de la luz, γ se puede aproximar utilizando una expansión en serie de Taylor y se encuentra que

$E \ aprox mc ^ 2 + \ begin {matriz} \ frac {1} {2} \ end {matriz} mv ^ 2 \, \!$

$\ Vec p \ aprox m \ vec v \, \!$

Salvo el primer término de la expresión de la energía (véase más adelante), estas fórmulas coinciden exactamente con las definiciones estándar de Newton la energía cinética y el momento. Esto es como debe ser, por la relatividad especial debe estar de acuerdo con la mecánica newtoniana a velocidades bajas.

En cuanto a las fórmulas anteriores para la energía, se ve que cuando un objeto está en reposo (v = 0 y γ = 1) hay una energía distinta de cero restante:

$E_ {resto} = m c ^ 2 \, \!$

Esta energía se refiere a la energía como el descanso. La energía en reposo no causa ningún conflicto con la teoría newtoniana porque es una constante y, en la medida que se refiere a la energía cinética, es sólo diferencias en la energía que son significativos.

Tomando esta fórmula a su valor nominal, vemos que en la relatividad, la masa no es más que otra forma de energía. En 1927 Einstein comentó sobre la relatividad especial:

Bajo esta masa teoría no es una magnitud inalterable, pero una magnitud depende de (y, de hecho, idéntica a) la cantidad de energía.

Esta fórmula se vuelve importante cuando uno mide las masas de los diferentes núcleos atómicos. Al observar la diferencia de masas, se puede predecir que los núcleos se han almacenado adicional de energía que puede ser liberada por reacciones nucleares, que proporciona información importante que era útil en el desarrollo de la energía nuclear y, en consecuencia, la bomba nuclear . Las implicaciones de esta fórmula en la vida del siglo 20 han hecho que sea una de las ecuaciones más famosas de toda la ciencia.

Masa relativista

Asignatura de Física General y algunos libros de texto de más edad en la relatividad especial a veces definen un masa relativista que aumenta a medida que la velocidad de un cuerpo aumenta. De acuerdo con la interpretación geométrica de la relatividad especial, esto es a menudo obsoleto y el término "masa" está reservado a significar masa invariante y por tanto es independiente del sistema inercial, es decir, invariante.

Usando la definición de masa relativista, la masa de un objeto puede variar dependiendo de marco inercial del observador de la misma manera que otras propiedades tales como su longitud puede hacerlo. Definición de una cantidad tan a veces puede ser útil, ya que al hacerlo se simplifica el cálculo restringiéndola a un fotograma específico. Por ejemplo, considere un cuerpo con una masa invariante m que se mueve en algún velocidad relativa al sistema de referencia del observador. Ese observador define la masa relativista de ese cuerpo como:

$M = \ gamma m \!$

"Masa relativista" no debe confundirse con las y definiciones "longitudinales", "masa transversal" que se han utilizado alrededor de 1900 y que se basaban en una aplicación inconsistente de las leyes de Newton: las utilizadas f = ma para una masa variables, mientras relativista masa corresponde a la masa dinámica de Newton en la que

$p = Mv \!$

$f = dp / dt \!$ .

Tenga en cuenta también que el cuerpo no tiene realmente ser más masivo en su propia forma, ya que la masa relativista es sólo diferente para un observador en un sistema diferente. La única masa que es independiente del marco es el masa invariante. Cuando se utiliza la masa relativista, el marco de referencia aplicable debe especificarse si no lo está ya evidente o implícita. También, sobra decir que el aumento de masa relativista no proviene de un aumento del número de átomos en el objeto. En cambio, la masa relativista de cada partícula atómica y subatómica ha aumentado.

Los libros de texto de física a veces usan la masa relativista ya que permite a los estudiantes a utilizar su conocimiento de la física newtoniana para ganar algo de comprensión intuitiva de la relatividad en su marco de elección (por lo general su propio!). "Masa relativista" también es consistente con los conceptos " la dilatación del tiempo "y" contracción de la longitud ".

Fuerza

La definición clásica de ordinario fuerza f está dada por la segunda ley de Newton en su forma original:

$\ Vec f = d \ vec p / dt$

y esto es válido en la relatividad.

Muchos libros de texto modernos reescribir la Segunda Ley de Newton como

$\ Vec f = M \ vec un$

Este formulario no es válido en la relatividad o en otras situaciones en las que la masa relativista M está variando.

Esta fórmula puede ser reemplazado en el caso relativista por

$\ Vec f = \ gamma m \ vec a + \ gamma ^ 3 m \ frac {\ vec v \ cdot \ vec a} {c ^ 2} \ vec v$

Como se desprende de la ecuación, los vectores de fuerza y aceleración ordinarios no son necesariamente paralelas en la relatividad.

Sin embargo la expresión de cuatro vector relativa cuatro vigor $F ^ \ mu \,$ a invariante masa my Cuadriaceleración $A ^ \ mu \,$ restaura la misma forma de ecuación

$F ^ \ mu = mA ^ \ mu \,$

La geometría del espacio-tiempo

SR utiliza un espacio de Minkowski 4-dimensional "plana", que es un ejemplo de una espacio tiempo. Este espacio, sin embargo, es muy similar a la dimensional estándar 3 el espacio euclidiano , y afortunadamente por ese hecho, muy fácil de trabajar.

La diferencial de la distancia (ds) en el espacio 3D cartesiano se define como:

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2$

donde $(Dx_1, dx_2, dx_3)$ son los diferenciales de las tres dimensiones espaciales. En la geometría de la relatividad especial, se añade una cuarta dimensión, derivada de tiempo, de modo que la ecuación para el diferencial de la distancia se convierte en:

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

Si quisiéramos hacer la coordenada temporal mirada como el espacio de coordenadas, podríamos tratar el tiempo como imaginario: x ₄ = icto. En este caso, la ecuación anterior se convierte en simétrica:

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 + dx_4 ^ 2$

Esto sugiere que es de hecho una profunda comprensión teórica, ya que muestra que la relatividad especial es simplemente una simetría rotacional de nuestra espacio-tiempo, muy similar a la simetría de rotación del espacio euclidiano . Del mismo modo que utiliza un espacio euclidiano Métrica euclidiana, por lo espacio-tiempo utiliza un Métrica de Minkowski. Básicamente, SR puede afirmar en términos de la invariancia de intervalo espacio-tiempo (entre dos eventos) como se ve desde cualquier sistema de referencia inercial. Todas las ecuaciones y los efectos de la relatividad especial se pueden derivar de esta simetría rotacional (la Grupo de Poincaré) de Minkowski espacio-tiempo. Según Misner (1971 § 2.3), en última instancia, la comprensión más profunda de la relatividad especial y general que vendrá a partir del estudio de la métrica de Minkowski (descrito más adelante) en lugar de una "encubierta" euclidiana métricas que utilizan las TIC como el tiempo de coordenadas.

Si reducimos las dimensiones espaciales a 2, por lo que podemos representar la física en un espacio 3-D

$ds ^ 2 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

Vemos que la nulo geodésicas se encuentran a lo largo de un doble cono:

definida por la ecuación

$ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

$dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2$

Que es la ecuación de un círculo con r = c × dt. Si extendemos esto a tres dimensiones espaciales, las geodésicas nulas son el cono de 4 dimensiones:

Espacio esférico Null (relatividad especial) .jpg

$ds ^ 2 = 0 = dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 - c ^ 2 dt ^ 2$

$dx_1 ^ 2 + dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 = c ^ 2 dt ^ 2$

Este doble cono nulo representa la "línea de visión" de un punto en el espacio. Es decir, cuando miramos las estrellas y decimos "La luz de esa estrella que estoy recibiendo es X años de edad", estamos buscando por esta línea de visión: una geodésica nula. Estamos ante un evento $d = \ sqrt {x 1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2}$ metros y d / c segundos en el pasado. Por esta razón, el doble cono nulo también se conoce como el "cono de luz '. (El punto en la parte inferior izquierda de la imagen de abajo representa la estrella, el origen representa el observador, y la línea representa la "línea de visión" geodésica nula.)

El cono en la región -t es la información que el punto es "recibir", mientras que el cono en la sección t + es la información que el punto está "mandando".

La geometría del espacio de Minkowski se puede representar usando Diagramas de Minkowski, que también son útiles para entender muchos de los experimentos mentales en la relatividad especial.

Física en el espacio-tiempo

Aquí, vemos cómo escribir las ecuaciones de la relatividad especial en un manifiestamente Lorentz forma covariante. La posición de un evento en el espacio-tiempo está dada por una contravariante cuatro vectores cuyos componentes son:

$x ^ \ nu = \ left (t, x, y, z \ right)$

Esto es, $x ^ 0 = t$ y $x ^ 1 = x$ y $x ^ 2 = y$ y $x ^ 3 = z$ . Superíndices son los contravariantes de esta sección en lugar de exponentes excepto cuando indican una plaza. Los subíndices son índices covariantes que también van de cero a tres como con el gradiente espacio-tiempo de un campo φ:

$\ Partial_0 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ t parcial}, \ quad \ partial_1 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ x parcial}, \ quad \ partial_2 \ phi = \ frac { \ partial \ phi} {\ y parcial}, \ quad \ partial_3 \ phi = \ frac {\ partial \ phi} {\ z parcial}.$

Métricas y transformaciones de coordenadas

Habiendo reconocido la naturaleza de cuatro dimensiones del espacio-tiempo, nos impulsa a emplear la métrica de Minkowski, η, dada en componentes (válida en cualquier marco de referencia inercial) como:

$\ Eta _ {\ alpha \ beta} = \ begin {pmatrix} -c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}$

Su recíproco es:

$\ Eta ^ {\ alpha \ beta} = \ begin {pmatrix} -1 / c ^ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 y 0 & 1 \ end {pmatrix}$

Entonces reconocemos que coordinan transformaciones entre sistemas de referencia inerciales son dados por el Transformación de Lorentz tensor Λ. Para el caso especial de movimiento a lo largo del eje x, tenemos:

$\ Lambda ^ {\ mu '} {} _ \ nu = \ begin {pmatrix} \ gamma y - \ beta \ gamma / cy 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma c & \ gamma y 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}$

que no es más que la matriz de un impulso (como una rotación) entre las coordenadas x y t. Donde μ 'indica la fila y ν indica la columna. Además, β y γ se definen como:

$\ Beta = \ frac {v} {c}, \ \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ 2}}.$

De manera más general, una transformación de un sistema inercial (ignorando traducciones para simplificar) a otro debe satisfacer:

$\ Eta _ {\ alpha \ beta} = \ eta _ {\ mu '\ nu'} \ lambda ^ {\ mu '} {} _ \ alpha \ Lambda ^ {\ nu'} {} _ \ beta \!$

donde hay una sumatoria implícita de $\ Mu '\!$ y $\ Nu '\!$ de 0 a 3 en el lado derecho de acuerdo con la Einstein convención suma. La Grupo de Poincaré es el grupo más general de las transformaciones que conserva la Métrica de Minkowski y esta es la simetría física subyacente a la relatividad especial.

Todas las cantidades físicas apropiadas se dan mediante tensores. Así que para transformar de un cuadro a otro, se utiliza el bien conocido la ley de transformación tensor

$T ^ {\ left [i_1 ', i_2', \ dots, i_p '\ right]} _ {\ left [j_1', J_2 ', \ dots, j_q' \ right]} = \ lambda ^ {i_1 "} { } _ {i_1} \ Lambda ^ {i_2 '} {} _ {i_2} \ cdots \ Lambda ^ {i_p'} {} _ {i_p} \ {lambda_ j_1 '} {} ^ {j_1} \ {lambda_ J_2' } {} ^ {J_2} \ cdots \ lambda_ {j_q '} {} ^ {j_q} T ^ {\ left [i_1, i_2, \ dots, i_p \ derecha]} _ {\ left [j_1, J_2, \ dots , j_q \ right]}$

Donde $\ Lambda_ {j_k '} {} ^ {j_k} \!$ es la matriz recíproca de $\ Lambda ^ {j_k '} {} _ {j_k} \!$ .

Para ver cómo esto es útil, transformamos la posición de un evento de un sistema de coordenadas sin imprimación S a un sistema con prima S ', calculamos

$\ Begin {pmatrix} t '\\ x' \\ y '\\ z' \ end {pmatrix} = x ^ {\ mu '} = \ lambda ^ {\ mu'} {} _ \ nu x ^ \ nu = \ begin {pmatrix} \ gamma y - \ beta \ gamma / cy 0 & 0 \\ - \ beta \ gamma c & \ gamma y 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} \ gamma t- \ gamma \ beta x / c \\ \ gamma x - \ beta \ gamma ct \\ y \\ z \ end {pmatrix}$

que es la transformación de Lorentz dado anteriormente. Todos los tensores se transforman por la misma regla.

La longitud al cuadrado de la diferencia de la posición de cuatro vector $dx ^ \ mu \!$ construido utilizando

$\ Mathbf {dx} ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} \, dx ^ \ mu \, dx ^ \ nu = - (c \ cdot dt) ^ 2 + (dx) ^ 2 + (dy) ^ 2 + (dz) ^ 2 \,$

es un invariante. Ser invariante significa que toma el mismo valor en todos los sistemas inerciales, ya que es un escalar (0 rango tensor), y así no Λ aparece en su transformación trivial. Tenga en cuenta que cuando el elemento de línea $\ Mathbf {dx} ^ 2$ es negativo que $d \ tau = \ sqrt {- \ mathbf {dx} ^ 2} / c$ es el diferencial de tiempo apropiado, mientras que cuando $\ Mathbf {dx} ^ 2$ es positivo, $\ Sqrt {\ mathbf {dx} ^ 2}$ es diferencial de la distancia adecuada.

El principal valor de expresar las ecuaciones de la física en una forma tensor es que son entonces manifiestamente invariante bajo el grupo de Poincaré, por lo que no tenemos que hacer un cálculo especial y tedioso para comprobar este hecho. También en la construcción de este tipo de ecuaciones a menudo encontramos que las ecuaciones que anteriormente se consideraban sin relación son, de hecho, estrechamente conectados formando parte de la misma ecuación tensorial.

La velocidad y la aceleración en 4D

Reconociendo otras cantidades físicas como tensores también simplifica sus leyes de transformación. Primera nota de que el velocidad de cuatro vector U ^μ está dada por

$T ^ \ mu = \ frac {dx ^ \ mu} {d \ tau} = \ begin {pmatrix} \ gamma \\ \ gamma v_x \\ \ gamma v_y \\ \ gamma V_Z \ end {pmatrix}$

Reconociendo esto, podemos convertir la ley en busca incómoda acerca de la composición de las velocidades en una simple declaración sobre la transformación de la velocidad de cuatro vectores de una partícula de un cuadro a otro U ^μ también tiene una forma invariante.:

${\ Mathbf U} ^ 2 = \ eta _ {\ nu \ mu} T ^ \ nu T ^ \ mu = -c ^ 2.$

Así que todos los de velocidad de cuatro vectores tienen una magnitud de c. Esta es una expresión del hecho de que no hay tal cosa como estar en la coordenada resto de la relatividad: al menos, siempre se está moviendo hacia adelante a través del tiempo. La aceleración 4-vector está dada por $A ^ \ mu = d {\ mathbf T ^ \ mu} / d \ tau$ . Ante esto, la diferenciación de la ecuación anterior por τ produce

$2 \ eta _ {\ mu \ nu} A ^ \ mu U ^ \ nu = 0. \!$

Así que en la relatividad, la aceleración de cuatro vectores y la velocidad de cuatro vectores son ortogonales.

Momentum en 4D

El impulso y la energía se combinan en una covariante 4-vector:

$p_ \ nu = m \ cdot \ eta _ {\ nu \ mu} T ^ \ mu = \ begin {pmatrix} -E \\ \\ P_X p_y \\ p_z \ end {pmatrix}.$

donde m es el masa invariante.

La magnitud de la invariante impulso 4-vector es:

$\ Mathbf {p} ^ 2 = \ eta ^ {\ mu \ nu} p_ \ mu p_ \ nu = - (E / c) ^ 2 + p ^ 2.$

Podemos trabajar lo que esto es invariante con el argumento de que la primera, ya que es un escalar, no importa que sistema de referencia lo calculamos, y luego mediante la transformación a un marco en el que el momento total es cero.

$\ Mathbf {p} ^ 2 = - (E_ {resto} / c) ^ 2 = - (m \ cdot c) ^ 2.$

Vemos que la energía en reposo es un invariante independiente. Una energía en reposo puede calcularse incluso para partículas y sistemas en movimiento, mediante la traducción de un marco en el que el impulso es cero.

La energía en reposo se relaciona con la masa de acuerdo con la famosa ecuación discutido anteriormente:

$E_ {resto} = m c ^ 2 \,$

Tenga en cuenta que la masa de los sistemas de medición en su centro del marco impulso (donde momento total es cero) viene dada por la energía total del sistema en este marco. Puede que no sea igual a la suma de las masas individuales del sistema medidos en otros marcos.

Fuerza en 4D

Para utilizar la tercera ley de Newton del movimiento , ambas fuerzas deben definirse como la tasa de cambio del momento en relación con el mismo tiempo de coordenadas. Es decir, se requiere la fuerza 3D definido anteriormente. Desafortunadamente, no hay tensor en 4D que contiene los componentes de la fuerza vector 3D entre sus componentes.

Si una partícula no está viajando en c , se puede transformar la fuerza en 3D del sistema de referencia co-movimiento de la partícula en el marco de referencia del observador. Esto produce una 4-vector llamado de cuatro fuerza. Es la tasa de cambio de la energía por encima de impulso de cuatro vector con respecto al tiempo apropiado. La versión covariante de los cuatro-fuerza es:

$F_\nu = \frac{d p_{\nu}}{d \tau} = \begin{pmatrix} -{d E}/{d \tau} \\ {d p_x}/{d \tau} \\ {d p_y}/{d \tau} \\ {d p_z}/{d \tau} \end{pmatrix}$

donde $\tau \,$ es el momento adecuado.

En el marco de reposo del objeto, la componente de tiempo de los cuatro fuerza es cero a menos que el " masa invariante "del objeto está cambiando en cuyo caso es el negativo de esa tasa de cambio vecesc ². En general, sin embargo, los componentes de las cuatro fuerzas no son iguales a los componentes de las tres de la fuerza, porque los tres vigor se define por la velocidad de cambio de impulso con respecto a coordinar el tiempo, es decir, $\frac{d p}{d t}$ mientras que los cuatro fuerza se define por la tasa de cambio del momento con respecto al tiempo adecuado, es decir, $\frac{d p} {d \tau}$ .

En un medio continuo, el 3D densidad de la fuerza se combina con la densidad de potencia para formar una covariante 4-vector. La parte espacial es el resultado de dividir la fuerza sobre una célula pequeña (en 3-espacio) por el volumen de esa célula. El componente de tiempo es el negativo de la potencia transferida a la célula dividida por el volumen de la célula. Esto será utilizado más adelante en la sección sobre el electromagnetismo.

Relatividad y el electromagnetismo unificador

Investigación teórica en electromagnetismo clásico condujo al descubrimiento de propagación de la onda. Ecuaciones generalizar los efectos electromagnéticos encontraron que finita velocidad de propagación de los campos E y B requiere ciertas conductas sobre las partículas cargadas. El estudio general de cargas en movimiento forma el potencial de Liénard-Wiechert, que es un paso hacia la relatividad especial.

La transformación de Lorentz del campo eléctrico de una carga en movimiento en resultados del marco de referencia de un observador que no se mueve en la aparición de un término matemático comúnmente llamado el campo magnético. contrario, la magnética campo generado por una carga en movimiento desaparece y se convierte en un puramente electrostática campo en un comóvil marco de referencia. Las ecuaciones de Maxwell son, pues, simplemente un ajuste empírico de los efectos relativistas especiales en un modelo clásico del Universo. Como los campos eléctricos y magnéticos son marco de referencia dependiente y por lo tanto entrelazada, se habla de electromagnéticos campos. La relatividad especial proporciona las reglas de transformación de cómo un campo electromagnético en un sistema inercial aparece en otro sistema inercial.

Electromagnetismo en 4D

Las ecuaciones de Maxwell en forma 3D ya son consistentes con el contenido físico de la relatividad especial. Pero hay que volver a escribir ellos para hacerlos manifiestamente invariante.

La densidad de carga $\rho \!$ y densidad de corriente $[J_x,J_y,J_z] \!$ se unifican en lacorriente de carga 4-vector:

$J^\mu = \begin{pmatrix} \rho \\ J_x\\ J_y\\ J_z\end{pmatrix}.$

La ley de cargar conservación, $\frac{\partial \rho} {\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{J} = 0$ , se convierte en:

$\partial_\mu J^\mu = 0. \!$

Elcampo eléctrico $[E_x,E_y,E_z] \!$ y la de inducción magnética $[B_x,B_y,B_z] \!$ ahora se unificó en el (rango 2 covariante antisimétrica)tensor de campo electromagnético:

$F_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & B_z & -B_y \\ E_y & -B_z & 0 & B_x \\ E_z & B_y & -B_x & 0 \end{pmatrix}.$

La densidad, $f_\mu \!$ , de lafuerza de Lorentz, $\mathbf{f} = \rho \mathbf{E} + \mathbf{J} \times \mathbf{B}$ , ejercida sobre la materia por el campo electromagnético se convierte en:

$f_\mu = F_{\mu\nu}J^\nu .\!$

Ley de Faraday, $\ Nabla \ times \ mathbf {E} = - \ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ t parcial}$ Y La ley de Gauss para el magnetismo, $\ Nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0$ , Se combinan para formar:

$\partial_\lambda F_{\mu\nu}+ \partial _\mu F_{\nu \lambda}+ \partial_\nu F_{\lambda \mu} = 0. \!$

Aunque parece que hay 64 ecuaciones aquí, lo que realmente se reduce a sólo cuatro ecuaciones independientes. Utilizando la antisimetría del campo electromagnético se puede o bien reducir a una identidad (0 = 0) o hacer redundantes todas las ecuaciones excepto para aquellos con λ, μ, ν = 1,2,3 o 2,3,0 ya sea o 3, 0,1 o 0,1,2.

La desplazamiento eléctrico $[D_x,D_y,D_z] \!$ y la campo magnético $[H_x,H_y,H_z] \!$ están ahora unificados en el (rango 2 contravariante antisimétrica) tensor de desplazamiento electromagnética:

$\mathcal{D}^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 0 & D_x & D_y & D_z \\ -D_x & 0 & H_z & -H_y \\ -D_y & -H_z & 0 & H_x \\ -D_z & H_y & -H_x & 0 \end{pmatrix}.$

La ley de Ampère, $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J} + \frac{\partial \mathbf{D}} {\partial t}$ yla ley de Gauss, $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho$ , se combinan para formar:

$\partial_\nu \mathcal{D}^{\mu \nu} = J^{\mu}. \!$

En el vacío, lasecuaciones constitutivas son:

$\mu_0 \mathcal{D}^{\mu\nu} = \eta^{\mu\alpha} \eta^{\nu\beta} F_{\alpha\beta}.$

Antisimetría reduce estas 16 ecuaciones para sólo seis ecuaciones independientes.

La densidad de energía del campo electromagnético se combina con el vector de Poynting y el tensor de tensiones de Maxwell para formar el 4D tensor de tensión-energía electromagnética. Es el flujo (densidad) de el impulso 4-vector y como un rango de 2 tensor mixto que es:

$T_\alpha^\pi = F_{\alpha\beta} \mathcal{D}^{\pi\beta} - \frac{1}{4} \delta_\alpha^\pi F_{\mu\nu} \mathcal{D}^{\mu\nu}$

donde $\delta_\alpha^\pi$ es el Delta Kronecker.Cuando índice superior se baja con η, se vuelve simétrica y es parte de la fuente del campo gravitacional.

La conservación del momento lineal y la energía por el campo electromagnético se expresa a través de:

$f_\mu + \partial_\nu T_\mu^\nu = 0\!$

donde $f_\mu \!$ es de nuevo la densidad de la Fuerza de Lorentz.Esta ecuación se deduce de las ecuaciones anteriores (con considerable esfuerzo).

Estado

La relatividad especial es exacta sólo cuando potencial gravitacional es mucho menor que c ² ; en un campo gravitatorio fuerte hay que utilizar la relatividad general (que se convierte en la relatividad especial en el límite del campo débil). A escalas muy pequeñas, como en la longitud de Planck y por debajo, los efectos cuánticos se deben tomar en consideración lo que resulta en la gravedad cuántica. Sin embargo, a escalas macroscópicas y en ausencia de fuertes campos gravitacionales, la relatividad especial se probó experimentalmente a extremadamente alto grado de precisión (10 ^-20 ) y por lo tanto aceptada por la comunidad de la física. Los resultados experimentales que parecen contradecir no son reproducibles y por lo tanto son ampliamente cree que es debido a errores experimentales.

A causa de la libertad que uno tiene que seleccionar cómo uno define unidades de longitud y el tiempo en la física, es posible hacer que uno de los dos postulados de la relatividad unaconsecuencia tautológica de las definiciones, pero no se puede hacer esto por tanto postula al mismo tiempo, como cuando combinado que tienen consecuencias que son independientes de la elección de la definición de la longitud y el tiempo de uno.

La relatividad especial es matemáticamente auto-consistente, y es una parte orgánica de todas las teorías físicas modernas, sobre todola teoría cuántica de campo,la teoría de cuerdas, y la relatividad general (en el caso límite de campos gravitatorios insignificantes).

Mecánica newtoniana sigue matemáticamente de la relatividad especial a pequeñas velocidades (en comparación con la velocidad de la luz) - por lo tanto la mecánica newtoniana se puedan considerar como la relatividad especial de los cuerpos en movimiento lento. Ver Estado de la relatividad especial para una discusión más detallada.

Unos experimentos clave se pueden mencionar que llevó a la relatividad especial:

La Trouton-Noble experimento demostró que el par en un condensador es independiente de la posición y el marco de referencia inercial - tales experimentos condujeron al primer postulado
Los famosos Michelson-Morley dio más apoyo al postulado de que la detección de una velocidad de referencia absoluta no era alcanzable. Cabe señalar aquí que, contrariamente a muchas pretensiones subsidiarias, que poco se habla de la invariancia de la velocidad de la luz con respecto a la fuente y la velocidad del observador, ya que tanto la fuente y observador viajaban juntos a la misma velocidad en todo momento.

Una serie de experimentos se han realizado para poner a prueba la relatividad especial contra las teorías rivales. Éstas incluyen:

Experimentos Kaufmann-Bucherer-Neumann - deflexión de electrones de acuerdo con la predicción aproximada de Lorentz-Einstein.
Fizeau experimento - velocidad de la luz en medios en movimiento, de acuerdo con la suma de velocidades relativistas
Kennedy-Thorndike experimento - la dilatación del tiempo, de acuerdo con las transformaciones de Lorentz
Rossi-Hall experimento - efectos relativistas sobre la vida media de una partícula en movimiento rápido
Los experimentos para poner a pruebala teoría emisor demostraron que la velocidad de la luz es independiente de la velocidad del emisor.
Hammar experimento - no "obstrucción del flujo del éter"

Además, los aceleradores de partículas se aceleran de forma rutinaria y medir las propiedades de las partículas que se mueven a casi la velocidad de la luz, donde su comportamiento es completamente consistente con la teoría de la relatividad e incompatible con los anteriores la mecánica newtoniana . Estas máquinas simplemente no funcionarían si no fueron diseñados de acuerdo a los principios relativistas.

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