Funkcja homograficzna

Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, jakie informacje budzą wątpliwości.

Funkcje matematyczne

dziedzina • obraz • przeciwobraz

Funkcje elementarne

Funkcje algebraiczne:
wymierna • wielomian
stała • liniowa • kwadratowa
homograficzna

Funkcje przestępne:
trygonometryczne • cyklometryczne
hiperboliczne • area
wykładnicza • logarytmiczna
potęgowa

Funkcje specjalne

błędu • Γ • Β (beta) • η • W Lamberta Bessela • ζ

Funkcje teorioliczbowe

Möbiusa • φ • π • λ

Własności

Przebieg zmienności:
parzystość • monotoniczność ograniczoność • okresowość różnowartościowość • suriektywność • wzajemna jednoznaczność

ciągłość • różniczkowalność
całkowalność

Funkcja homograficzna (homografia) – funkcja postaci $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \ne 0$ oraz $ad - bc \ne 0$ . Liczby $a, b, c, d$ mogą być liczbami rzeczywistymi, lub ogólniej - zespolonymi.

Założenie, że $c \ne 0$ oraz $ad-bc \ne 0$ implikuje że funkcja ta nie jest funkcją liniową.

Spis treści

1 Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej
2 Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej
3 Zobacz też

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej rzeczywistej

Rozważając homografie jako funkcje zmiennej rzeczywistej wymagamy, aby współczynniki $a, b, c, d$ były liczbami rzeczywistymi.

[edytuj] Dziedzina i wykres

Dziedziną funkcji homograficznej $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ jest zbiór

$D_f= \mathbb{R} \setminus \left\{ \begin{matrix}- \frac{d}{c} \end{matrix}\right\}$ ,

a zbiór wartości to zbiór

$\mathbb{R} \setminus \left \{\begin{matrix}\frac{a}{c}\end{matrix} \right \}$ .

Rysunek pokazuje wykres typowej homografii. Szare linie symbolizują asymptoty wykresu.

Wykres funkcji homograficznej jest przesunięciem równoległym pewnej hiperboli; posiada on dwie asymptoty:

pionową $x= \frac{- d}{c}$ i poziomą $y= \frac{a}{c}$ .

Punkt $S= \left(\frac{-d}{c} ; \frac{a}{c}\right)$ to środek symetrii tego wykresu. Funkcja homograficzna jest monotoniczna na każdym z przedziałów $(-\infty,-\frac{d}{c})$ oraz $(-\frac{d}{c},\infty)$ . Jest ona

przedziałami malejąca gdy $a d - b c < 0$ oraz
przedziałami rosnąca $a d - b c > 0$ .

[edytuj] Przesunięcie wykresu hiperboli

Wykażmy, że wykres funkcji homograficznej $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ , gdzie $c \neq 0$ oraz $ad - bc \neq 0$ powstaje w wyniku przesunięcia równoległego wykresu pewnej hiperboli o pewien wektor. Zauważmy w tym celu, że dla wszystkich $x$ mamy

$\frac{ax+b}{cx+d} =\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c^2x+cd} = \frac{bc-ad}{c^2(x+\frac{d}{c})}+\frac{a}{c}$ .

Zatem wykres funkcji $f$ powstaje w wyniku translacji hiperboli o równaniu

$y=\frac{bc-ad}{c^2x}$

o wektor $\vec{u}=[-\frac{d}{c}, \frac{a}{c}]$

[edytuj] Zastosowania

Funkcje homograficzne, mimo swojej prostoty, pojawiają się w wielu zagadnieniach ekonomicznych.

[edytuj] Homografia jako funkcja zmiennej zespolonej

Dla liczb zespolonych $a, b, c, d$ takich, że $c \ne 0$ oraz $ad - bc \ne 0$ rozważamy funkcję zmiennej zespolonej $z$ daną przez

$f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ .

Funkcję tę nazywamy homografią albo odwzorowaniem Möbiusa. (Ta druga nazwa jest wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Augusta Möbiusa.)