Grupa czwórkowa Kleina

Z Wikipedii

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa abelowa. Jej nazwa pochodzi od nazwiska Felixa Kleina, niemieckiego matematyka, który jako pierwszy opisał jej własności w wydanej w roku 1884 książce Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o iksoaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”).

[edytuj] Własności

Grupa Kleina, oznaczana zwykle symbolem V₄, jest jedną z dwóch grup czteroelementowych (drugą jest addytywna grupa klas reszt ). Każdy nietrywialny element jest rzędu dwa. Jest ona podgrupą normalną grupy alternującej A₄ (a zarazem grupie permutacji Σ₄). Z teorii Galois wynika, że właśnie istnienie grupy Kleina zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki.

[edytuj] Izomofizm

Grupa czwórkowa Kleina jest izomorficzna z

• iloczynem prostym ,
• grupą symetrii rombu (lub prostokąta) na płaszczyźnie D₄, której elementami są identyczność, symetria względem osi pionowej, symetria względem osi poziomej i obrót o ,
• zgodnie z twierdzeniem Cayleya istnieje w Σ₄ podgrupa z nią izomorficzna, jest nią

  .

[edytuj] Tabela działań

Oznaczmy przez a i b generatory grupy (obrót i symetria).

	1	a	b	ab
1	1	a	b	ab
a	a	1	ab	b
b	b	ab	1	a
ab	ab	b	a	1

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki