Formalizm (matematyka)

Z Wikipedii

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Zajrzyj na stronę dyskusji, by dowiedzieć się, jakie informacje budzą wątpliwości.

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: Źle zacytowane tw Goedla; sugerowane wzmocnienia wydają się nie mieć nic do rzeczy; doniesienia o końcu programu Hilberta chyba są jednk przesadzone.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Formalizm to kierunek w filozofii matematyki, będący formą rozwojową logicyzmu, który postuluje, że matematyka jest pewnym systemem formalnym (porównaj teoria aksjomatyczna), który zawiera określone aksjomaty (współcześnie rolę tę pełnią aksjomaty teorii mnogości), pewien zespół definicji oraz wyprowadza swoje wnioski w oparciu o te pojęcia korzystając z rachunku logicznego zdań.

Pogląd taki implikuje w szczególności kształt teorii dowodu matematycznego, wedle której prawdziwość twierdzenia matematycznego może być określona przez wyprowadzenie go w procesie rachunku logicznego zdań z przyjętych aksjomatów. W szczególności filozoficznym aspektem formalizmu w matematyce jest twierdzenie, że prawdy matematyczne nie niosą w sobie żadnej treści poza tą związaną z wykonanym w taki mechaniczny sposób kalkulacją. Innymi słowy prawdziwość twierdzeń matematycznych jest wedle tych poglądów oceniana z pominięciem ich treści (z pominięciem semantyki, a wyłącznie przy użyciu mechanicznej kalkulacji). Dowolne twierdzenie matematyki możliwe jest do wyprodukowania w procesie mechanicznej generacji zdań systemu formalnego.

Wielki program formalizacji matematyki zapostulował David Hilbert, zaś w jego realizacji wzięło udział wielu wybitnych matematyków jak Bertrand Russell, Alfred North Whitehead, matematycy z grupy Bourbaki i inni.

Wielkimi nadziejami pokładanymi w takim rozumieniu podstaw matematyki zachwiał Kurt Gödel dowodząc twierdzenia o niezupełności systemów formalnych zawierających arytmetykę liczb naturalnych. Wynika z niego, że w każdym systemie formalnym, który zawiera arytmetykę liczb naturalnych i jest niesprzeczny istnieją zdania, których nie uda się na gruncie tego systemu dowieść ani obalić. Rezultat Gödla został wzmocniony pod koniec lat siedemdziesiątych ubiegłego wieku przez podanie zdań nierozstrzygalnych w sformalizowanym systemie arytmetyki liczb naturalnych. Oznaczało to koniec programu Hilberta w pierwotnej postaci.

Współcześnie formalizm należy rozumieć głównie jako technikę budowania teorii matematycznych, choć można także uważać go za formę paradygmatu matematyki o ile będziemy pamiętali o znanych już współcześnie jego ograniczeniach.

Przeciwieństwem formalizmu jest platonizm, wedle którego obiekty matematyczne istnieją niezależnie od uprawiającego matematykę umysłu.