Grupa Poincarégo
Z Wikipedii
W fizyce i matematyce grupa Poincarégo jest to grupa izometrii czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest to 10-wymiarowa grupa Liego nazwana na cześć jednego z twórców matematycznych podstaw teorii względności. Abelowa grupa translacji w czasoprzestrzeni jest podgrupą normalną, podczas gdy grupa Lorentza jest podgrupą, czyli pełna grupa Poincaré jest iloczynem półprostym translacji i transformacji Lorentza. Innym sposobem wyprowadzenia grupy Poincaré jest rozszerzenie grupy Lorentza za pomocą jej reprezentacji wektorowej. Zgodnie z programem z Erlangen, geometria czasoprzestrzeni Minkowskiego jest zdefiniowana przez grupę Poincarégo. Wedle tego programu przestrzeń Minkowskiego jest przestrzenią jednorodną dla grupy Poincarégo.
Generatory algebry grupy Poincarégo, będące algebrą Liego tej grupy spełniają związki komutacyjne:
![[P_\mu, P_\nu] = 0\,](../../../../math/0/e/2/0e2d29720bdc47cab5c43ac422c3e02c.png)
![[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,](../../../../math/e/9/b/e9b1bfd832e25b550661faba4a6dd79b.png)
![[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,](../../../../math/e/9/3/e93f16efda2780559390ae5a887ba173.png)
gdzie Pμ jest infinitezymalnym generatorem translacji, a Mμν jest generatorem transformacji Lorentza. Konsekwencją symetrii Poincarégo jest istnienie dwóch niezmienników: masy i spinu.
Grupa Poincarégo jest grupą symetrii każdej relatywistycznej teorii pola. Z tego powodu wszystkie cząstki elementarne są opisane za pomocą reprezentacji tej grupy.
[edytuj] Symetria Poincaré
Symetria grupy Poincaré zawiera
- translacje - abelowa grupa Liego)
- obroty - trójwymiarowa nieabelowa grupa Liego
- pchnięcia (boosty) - transformacje wiążące dwa ciała poruszające się w jednym kierunku
Obroty i pchnięcia tworzą razem grupę Lorentza
