Homotopia

Z Wikipedii

Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Działem matematyki w którym się je rozważa jest teoria homotopii, gałąź topologii algebraicznej.

Pojęcie homotopii prowadzi do homotopijnej równoważności, która pozwala na bardziej elastyczną niż relacja homeomorfizmu klasyfikację przestrzeni topologicznych zachowując przy tym ważne ich własności w obrębie jednej klasy równoważności (klasy homotopii).

Homotopia między kubkiem a obwarzankiem (torusem).

Spis treści

1 Definicja
2 Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii
3 Homotopijna równoważność
- 3.1 Przykłady
4 Źródła
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $f, g\colon X \to Y$ będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz $I = [0, 1] \subset \mathbb R$ będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie $H\colon X \times I \to Y$ takie, że $f (x) = H (x,0)$ oraz $g (x) = H (x,1)$ dla $x \in X$ , to nazywamy je homotopią przekształceń $f$ i $g$ i oznaczamy $f ˜ g$ , same przekształcenia określamy jako homotopijne.

[edytuj] Rodziny przekształceń

Homotopia $H\colon X \times I \to Y$ określa rodzinę przekształceń $f_t\colon X \to Y$ taką, że $f t (x) = H (x, t)$ ciągłą ze względu na każdy ze swoich argumentów, przy czym $f 0 = f$ oraz $f 1 = g$ .

Homotopia $H$ określa również rodzinę dróg $h_x\colon I \to Y,\; h_x(t) = H(x, t)$ łączących $f (x)$ z $g (x)$ dla $x \in X$ .

[edytuj] Ściągalność i gwiaździstość

Obszar $D\subseteq \mathbb{R}^n$ nazywamy ściągalnym różniczkowalnie do punktu $x_0\in D$ , jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe, klasy $\mathcal{C}^1$ , $D\times [0,1]\ni (x,t)\mapsto h(x,t)\in D$ takie, że dla każdego $x\in D$

$h(x,0)=x_0,\; h(x,1)=x$ .

Obszar $D\subseteq \mathbb{R}^n$ nazywamy gwiaździstym względem punktu $x_0\in D$ , jeśli dla każdego $x\in D$ odcinek łączący punkt $x$ z $x 0$ zawiera się w $D$ , tj. $\{y\colon\; y=x_0+t(x-x_0), t\in [0,1]\}\subseteq D$ .

Łatwo wykazać, że zbiór gwiaździsty względem punktu $x 0$ jest ściągalny do $x 0$ . Żądane odwzorowanie $h$ jest postaci $h (x, t): = x 0 + t (x - x 0)$ . Dla obszarów ściągalnych zachodzi lemat Poincarégo.

Przestrzeń $X$ nazywamy ściągalną do punktu $a \in X$ , jeżeli $\operatorname{id}_X$ jest homotopijna z przekształceniem stałym $\varepsilon_a(x) = a$ .

[edytuj] Relacja równoważności

Dla ustalonych przestrzeni topologicznych $X, Y$ relacja homotopii w przestrzeni funkcji ciągłych $C (X, Y)$ jest relacją równoważności. Jej klasy równoważności nazywa się klasami homotopii.

Zwrotność jest oczywista, symetria polega na odwróceniu przechodzenia po przedziale $I$ , przechodniość wynika ze składania odwzorowań: pierwsza połowa $I$ służy do przejścia po pierwszym odwzorowaniu, druga – po drugim, złożenie odwzorowań ciągłych jest ciągłe.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $Y = \mathbb R^m$ , to funkcje $f$ i $g$ są zawsze homotopijne między sobą. Wystarczy przyjąć $H(x,t) = f(x) + t\left(g(x) - f(x)\right)$ .
Jeśli $X = Y = \mathcal S^m$ – $m$ -wymiarowa sfera jednostkowa, to powyższe nie jest prawdą. Na przykład, identyczność i funkcja stała nie są homotopijne^[1].

[edytuj] Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii

Niech $X$ będzie przestrzenią normalną oraz $M$ jest domkniętą podprzestrzenią. Jeśli $f,g\colon M\to \mathcal{S}^m$ są homotopijne oraz $f$ jest przedłużalne na $X$ , to $g$ jest przedłużalne na $X$ oraz dla każdego przedłużenia $f$ można znaleźć przedłużenie $g$ z nim homotopijne.

Jest to twierdzenie sformułowane przez Karola Borsuka w 1937^[2]. Często, dla uproszczenia dowodu, zakłada się dodatkowo przeliczalną parazwartość przestrzeni $X$ .

[edytuj] Homotopijna równoważność

Przestrzenie $X$ oraz $Y$ są homotopijnie równoważne, jeżeli istnieją przekształcenia ciągłe $f\colon X \to Y$ oraz $g\colon Y \to X$ takie, że $g \circ f \sim \operatorname{id}_X$ oraz $f \circ g \sim \operatorname{id}_Y$ .

[edytuj] Przykłady

Przestrzeń ściągalna $X$ jest homotopijnie równoważna z przestrzenią jednopunktową $Y = {a}$ , ponieważ $\operatorname{id}_Y \circ \varepsilon_a = \varepsilon_a \sim \operatorname{id}_X$ oraz $\varepsilon_a \circ \operatorname{id}_Y = \operatorname{id}_Y$ dla $\varepsilon_a(x) = a$ dla dowolnego $x \in X$ .
Okrąg jednostkowy $\mathcal{S}^1$ jest homotopijnie równoważny z płaszczyzną bez punktu, $\mathbb R^2 \setminus \{0\}$ .

[edytuj] Źródła

S. Betley, J. Chaber, E. i R. Pol, Topologia I wykłady i zadania, skrypt 2005
Krzysztof Maurin: Analiza - Część I - Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

[edytuj] Bibliografia

↑ Kuratowski, Kazimierz Wstęp do teorii mnogości i topologii, s. 211; PWN, Warszawa, 1966.
↑ Borsuk, Karol Sur les prolongements des transformations continues, s. 99-110; Fund. Math. 28, Warszawa, 1937.

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Kategorie: Zalążki artykułów - matematyka • Topologia algebraiczna • Relacje równoważności

We provide Linux to the World

Homotopia

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Rodziny przekształceń

[edytuj] Ściągalność i gwiaździstość

[edytuj] Relacja równoważności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Twierdzenie Borsuka o przedłużaniu homotopii

[edytuj] Homotopijna równoważność

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Źródła

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach