Kategoria (teoria kategorii)

Z Wikipedii

Kategoria składa się z:

klasy obiektów,
dla każdych dwóch obiektów A i B klasy Mor(A,B) morfizmów z A do B. Jeżeli f należy do Mor(A,B), to wówczas piszemy f : A → B,
dla każdych trzech obiektów A, B oraz C określona jest operacja Mor(A,B) × Mor(B,C) → Mor(A,C) nazywana złożeniem morfizmów

taka że:

składanie jest łączne; jeżeli f : A → B, g : B → C oraz h : C → D to wówczas h o (g o f) = (h o g) o f, oraz
dla każdego obiektu X istnieje morfizm tożsamościowy id_X : X → X nazywany morfizmem identycznościowym dla X, taki że dla każdego morfizmu f : A → B mamy id_B o f = f = f o id_A
klasy Mor(A₁,B₁) i Mor(A₂, B₂) są rozłączne, chyba że A₁=A₂ i B₁ = B₂

Złożenie f : A → B z g : B → C zapisujemy jako g o f lub gf.

Z aksjomatów tych wynika że dla każdego obiektu istnieje dokładnie jeden morfizm identycznościowy.

Jeżeli $f \in \operatorname{Mor}(A,B)$ to piszemy $A=\operatorname{dom}(f)$ i $B = \operatorname{cod}(f)$ . Zbiór $\operatorname{Mor}(A,B)$ zapisuje się również $\operatorname{Hom}(A,B)$ .

Jeżeli rozpatrywane klasy obiektów i klasy morfizmów są zbiorami, to wówczas kategorię nazywamy małą. Istnieje wiele ważnych kategorii które nie są małe.

Jeżeli dla każdych obiektów $A, B$ klasa $\operatorname{Mor}(A,B)$ jest zbiorem, to wówczas kategorię nazywamy lokalnie małą.

[edytuj] Przykłady

Każda kategoria jest określana przez jej obiekty i morfizmy pomiędzy nimi.

Kategoria Set wszystkich zbiorów wraz z funkcjami pomiędzy nimi (w niektórych źródłach oznaczana jako Ens, od francuskiego ensamble).
Kategoria Gr (niekiedy Grp) składająca się z grup wraz z homomorfizmami.
Kategoria Ab składająca się z grup abelowych wraz z ich homomorfizmami.
Kategoria Vect_K przestrzeni wektorowych nad ciałem K wraz ze wszystkimi odwzorowaniami K-liniowymi.
Kategoria Metr przestrzeni metrycznych wraz ze wszystkimi odwzorowaniami nierozszerzającymi.
Kategoria Top przestrzeni topologicznych wraz ze wszystkimi przekształceniami ciągłymi.
Kategoria Cat małych kategorii wraz ze wszystkimi funktorami.
Ważnym przykładem kategorii, który jednocześnie pokazuje, że morfizmami nie zawsze muszą być przekształcenia, jest poset. Obiektom kategorii odpowiadają tu elementy posetu. Ponatdo dla każdych dwóch obiektów (tj. elementów danego posetu) x, y istnieje morfizm z x do y wtedy i tylko wtedy gdy $x \leq y$ . Łatwo można sprawdzić, że ze zwrotności relacji częściowego porządku wynika istnienie morfizmu identycznościowego dla każdego obiektu x, a z przechodniości wynika możliwość składania morfizmów.
Dla dowolnej kategorii C możemy rozpatrywać kategorię, która składa się z obiektów kategorii C i w której zbiór morfizmów składa się z morfizmów odwrotnych do morfizmów z C. Taka nowa kategoria nazywana jest kategorią dualną do C i oznaczana jest jako C^op.