Lemat Fatou

Z Wikipedii

Pierre Fatou

Lemat Fatou – lemat w analizie i teorii miary podający ograniczenie górne na wartość całki funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Nazwa lematu została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Pierre'a Fatou.

[edytuj] Lemat

Załóżmy że:

(a) $(X,\mathcal{F},\mu)$ jest przestrzenią mierzalną z miarą,

(b) dla $n\in {\mathbb N}$ , $f_n:X\longrightarrow [0,\infty]$ jest nieujemną funkcją całkowalną,

(d) funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}\cup\{\infty\}$ jest zdefiniowana przez

$f(x)=\liminf\limits_{n \to \infty} f_n(x)$ dla $x\in X$ .

Wówczas funkcja f jest całkowalna oraz

$\int f\ d\mu\leq \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ .

Czasami powyższy lemat formułuje się przy założeniu że funkcje $f n$ są jedynie mierzalne oraz bez zakładania warunku (c), a z tezą postulującą jedynie mierzalność funkcji f i nierówność $\int f\ d\mu\leq \liminf\limits_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu$ . (Zauważmy że dla mierzalnej nieujemnej funkcji g, niecałkowalność jest równoważna ze stwierdzeniem że $\int g\ d\mu=\infty$ .)

[edytuj] Szkic dowodu

Załóżmy że są spełnione warunki (a)-(d). Dla liczby naturalnej $k\in {\mathbb N}$ i punktu $x\in X\$ połóżmy $g_k(x)=\inf\{f_\ell(x):\ell\geq k\}$ , definiując w ten sposób funkcję $g_k:X\longrightarrow [0,\infty]$ . Zauważmy, że $g k$ jest nieujemną funkcją mierzalną oraz $g_k\leq f_k\$ (dla wszystkich k). Wobec całkowalności funkcji $f k$ możemy stwierdzić, że $g k$ jest całkowalna oraz $\int g_k\ d\mu\leq \int f_k\ d\mu$ . Ponadto $g_k\leq g_{k+1}$ (dla każdego k) oraz

$\lim\limits_{k\to\infty} g_k(x)=\liminf\limits_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ dla wszystkich $x\in X$ .

Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej możemy teraz stwierdzić, że funkcja f jest całkowalna oraz $\int f\ d\mu = \lim\limits_{k \to \infty} \int g_k\ d\mu$ . Ponieważ $\int g_k\ d\mu\leq \int f_k\ d\mu$ (dla każdego k), to mamy też $\lim\limits_{k \to \infty} \int g_k\ d\mu\leq \liminf\limits_{k \to \infty} \int f_k\ d\mu$ , co kończy dowód.