Funkcja całkowalna

Z Wikipedii

Funkcja całkowalna – funkcja, dla której istnieje całka w sensie danej teorii całki. Mamy na przykład funkcje całkowalne w sensie Riemanna, Lebesgue'a, Stieltjesa i in.

Każda funkcja całkowalna w sensie Riemanna jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, lecz nie na odwrót.

Podczas gdy teoria całek i funkcji całkowalnych (w różnych znaczeniach) jest bardzo rozbudowana, najczęściej całkowalność rozumie się w znaczeniu teorio-miarowym przedstawionym poniżej. To podejście jest w miarę bezpośrednim uogólnieniem idei francuskiego matematyka Henri Lebesgue'a, który wprowadził te pojęcia dla przypadku funkcji na przestrzeniach euklidesowych wyposażonych w naturalną miarę Lebesgue'a.

Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do klasycznej już książki Paula Hamosa^[1]

[edytuj] Definicje

Ustalmy przestrzeń mierzalną z miarą $(X,{\mathcal F},\mu)$ .

Funkcja prosta to funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ taka, że dla pewnych liczb rzeczywistych $c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}$ i parami rozłącznych zbiorów $A_1,A_2,\ldots,A_n\in {\mathcal F}$ mamy

$f(x) = \left \{ \begin{matrix} c_i &\ \ x\in A_i, \ i=1,\ldots,n\\ 0 &\ \ x\in X\setminus\bigcup\limits_{i=1}^n A_i \\ \end{matrix} \right .$

dla wszystkich $x\in X$ .

Jeśli dodatkowo wiemy, że $\mu(A_i)<\infty$ (dla $i=1,\ldots,n$ ) to powiemy, że funkcja f jest całkowalną funkcją prostą. Wówczas też definiujemy całkę z f względem miary $μ$ przez

$\int f\ d\mu=\sum\limits_{i=1} ^{n} c_i\mu(A_i)$ .

Zauważmy, że rodzina całkowalnych funkcji prostych jest zamknięta na kombinacje liniowe i branie wartości bezwzględnej. W szczególności, jeśli $f 1, f 2$ są całkowalnymi funkcjami prostymi, to $| f 1 - f 2 |$ też taka jest.
Niech $g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ będzie funkcją mierzalną (gdzie na ${\mathbb R}$ rozważamy σ-ciało zbiorów borelowskich). Powiemy, że funkcja g jest całkowalna w sensie miary $μ$ jeśli można znaleźć ciąg całkowalnych funkcji prostych $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ spełniający następujące dwa warunki:

(a) dla każdego dodatniego $\varepsilon>0$ istnieje $N\in {\mathbb N}$ takie że $\int |f_n-f_m|\ d\mu <\varepsilon$ dla wszystkich

n, m > N

oraz

(b) dla każdego dodatniego $\varepsilon>0$ ,

$\lim\limits_{n\to\infty} \mu\left(\left\{x\in X:|f_n(x)-g(x)|\geq\varepsilon\right\}\right)=0$ .

Wówczas też definiujemy całkę z g względem miary $μ$ przez

$\int g\ d\mu=\lim\limits_{n\to\infty} \int f_n\ d\mu$ .

Pokazuje się, że jeśli g jest całkowalna (względem miary $μ$ ), to $\int g\ d\mu$ jest poprawnie zdefiniowane, tzn. dla każdego ciągu całkowalnych funkcji prostych $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ spełniającego warunki (a) i (b) (sformułowane powyżej) wartość granicy $\lim\limits_{n\to\infty} \int f_n\ d\mu$ jest taka sama.

[edytuj] Uwagi

Należy zauważyć, że w literaturze istnieje kilka sposobów wprowadzania funkcji całkowalnych i ich całek (startując z przestrzeni z miarą i całkowalnych funkcji prostych). Zwykle różnice między tymi podejściami są tylko natury technicznej i dają one równoważne pojęcia.
Warunek (a) w naszej definicji funkcji całkowalnych mówi, że ciąg $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest w pewnym sensie ciągiem Cauchy'ego. Rozważmy bowiem funkcję ρ określoną na parach całkowalnych funkcji prostych przez warunek $\rho(g,g')=\int |g-g'|\ d\mu$ . Wówczas ρ jest symetryczna i spełnia nierówność trójkąta oraz $ρ(g, g) = 0$ . Nie jest to jednak metryka, bowiem $ρ(g, g')$ nie musi implikować, że $g = g'$ . (Zauważmy, że $ρ(g, g')$ implikuje że $g = g'$ μ-prawie wszędzie, jeśli więc utożsamiamy funkcje równe prawie wszędzie, to mamy do czynienia z metryką.)
Warunek (b) mówi, że ciąg $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest zbieżny w sensie miary do funkcji f.

[edytuj] Podstawowe własności

Ustalmy przestrzeń mierzalną z miarą $(X,{\mathcal F},\mu)$ .

Jeśli $f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne, to ich liniowe kombinacje $α f + β g$ (dla $\alpha,\beta\in {\mathbb R}$ ) oraz $| f |$ też są całkowalne.
Jeśli $f,g:X\longrightarrow {\mathbb R}$ , f jest mierzalna, g jest całkowalna oraz $\mu(\{x\in X:g(x)<|f(x)|\})=0$ , to f jest całkowalna (tzn. funkcja mierzalna której wartość bezwzględna jest zmajoryzowana prawie wszędzie przez funkcję całkowalną jest całkowalna). Co więcej

$-\int g\ d\mu\leq \int f\ d\mu\leq \int g\ d\mu$ .

Funkcja mierzalna f jest całkowalna wtedy i tylko wtedy jej wartość bezwzględna $| f |$ jest całkowalna.
Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności ograniczonej: Załóżmy, że

(a) $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest ciągiem funkcji całkowalnych zbieżnych prawie wszędzie do funkcji f oraz

(b) g jest funkcją całkowalną taką że $(\forall n\in {\mathbb N})(\forall x\in X)(|f_n(x)|\leq |g(x)|)$ .

Wówczas f jest funkcją całkowalną. Co więcej $\lim_n \int f_n d\mu = \int f d\mu$ .

Lemat Fatou: Jeśli $(f_n)_{n\in{\mathbb N}}$ jest ciągiem nieujemnych funkcji całkowalnych takim że $\liminf_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu<\infty$ , to funkcja $f:X\longrightarrow {\mathbb R}\cup\{\infty\}$ zdefiniowana przez