PFA

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicje
- 1.1 Pojęcia wstępne
- 1.2 PFA i BPFA
2 Historia i niesprzeczność
3 Przykłady forsingów proper
4 Przykłady konsekwencji
5 Bibliografia
6 Zobacz też

PFA (z ang. proper forcing axiom) - jeden z aksjomatów forsingowych używanych w teorii mnogości, topologii i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest to zdanie postulujące szczególną własność pewnych porządków częściowych.

[edytuj] Definicje

[edytuj] Pojęcia wstępne

Niech ${\mathbb P}=({\mathbb P},\leq)$ będzie pojęciem forsingu.

Powiemy, że zbiór $G\subseteq {\mathbb P}$ jest filtrem w ${\mathbb P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \emptyset$ ,

(ii) jeśli $p,q\in {\mathbb P}$ , $q\leq p$ oraz $q\in G$ , to również $p\in G$ ,

(iii) jeśli $p,q\in G$ , to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leq p$ oraz $r\leq q$ .

Zbiór $I\subseteq {\mathbb P}$ jest gęstym podzbiorem ${\mathbb P}$ jeśli $(\forall p\in {\mathbb P})(\exists q\in I)(q\leq p)$ .
Niech $χ$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal H}(\chi)$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $χ$ . Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ takim, że ${\mathbb P}\in N$ . Powiemy, że warunek $q\in {\mathbb P}$ jest warunkiem $(N,{\mathbb P})$ -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq {\mathbb P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in A$ , jeśli

r, q

są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki

r, q

są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in {\mathbb P}$ silniejszy niż oba te warunki.)

Pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $χ$ istnieje $x\in {\mathcal H}(\chi)$ taki, że:

jeśli

N

jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal H}(\chi),\in)$ , ${\mathbb P},x\in N$ oraz $p\in {\mathbb P}\cap N$ ,

to istnieje warunek $q\leq p$ który jest $(N,{\mathbb P})$ -generyczny.

[edytuj] PFA i BPFA

PFA oznacza następujące zdanie:

jeśli pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, ${\mathcal I}$ jest rodziną gęstych podzbiorów ${\mathbb P}$ oraz $|{\mathcal I}|\leq\aleph_1$ ,

to istnieje filtr $G\subseteq {\mathbb P}$ który ma niepusty przekrój z każdym zbiorem z ${\mathcal I}$ (tzn $(\forall D\in {\mathcal I})(D\cap G\neq\emptyset)$ ).

BPFA jest następującym zdaniem:

jeśli pojęcie forsingu ${\mathbb P}$ jest proper, ${\mathcal A}$ jest rodziną maksymalnych antyłańcuchów w zupełnej algebrze Boole'a ${\rm RO}({\mathbb P})$ wyznaczonej przez to pojęcie forsingu oraz zarówno $|{\mathcal A}|\leq\aleph_1$ jak i każdy antyłańcuch w rodzinie ${\mathcal A}$ jest mocy co najwyżej $\aleph_1$ ,

to istnieje filtr $G\subseteq {\rm RO}({\mathbb P})$ który ma niepusty przekrój z każdym antyłańcuchem z ${\mathcal A}$ (tzn $(\forall A\in {\mathcal A})(A\cap G\neq\emptyset)$ ).

Nazwa BPFA jest skrótem angielskiego zwrotu Bounded Proper Forcing Axiom.

[edytuj] Historia i niesprzeczność

Idea forsingów proper i związanego z nimi aksjomatu forsingowego była stworzona przez izraelskiego matematyka Saharona Shelaha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. W 1978 w czasie wykładów w Berkeley przedstawił on po raz pierwszy ten koncept, w druku ukazał się on w 1980^[1].
W 1982, Shelah opublikował monografię^[2] przedstawiającą pierwsze sytematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.
W 1995, Martin Goldstern i Saharon Shelah wprowadzają BPFA^[3] który zyskał sporą popularność w ostatnich latach (ze względu na słabsze założenia potrzebne aby wykazać jego niesprzeczność).

Podstawą do wykazania niesprzeczności PFA (czy też BPFA) jest twierdzenie Shelaha mówiące, że iteracja z przeliczalnym nośnikiem forsingów proper jest forsingiem proper (a więc nie kolapsuje $ω 1$ )^[4]^[5]^[6] Niestety, w iteracjach tego typu liczby kardynalne powyżej $\aleph_1$ mogą być kolapsowane, jeśli więc chcemy przeiterować wszystkie możliwe forsingi proper to potrzebujemy dodatkowego narzędzia aby złapać swój własny ogon. Narzędziem tym jest zwykle diament Lavera związany z liczbą super-zwartą.

Twierdzenie [Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba super-zwarta" jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+PFA" jest niesprzeczna.

Aksjomat BPFA wymaga znacznie słabszych założeń:

Twierdzenie [Goldstern-Shelah]: Jeśli teoria "ZFC+istnieje liczba Mahlo" jest niesprzeczna, to również teoria "ZFC+BPFA" jest niesprzeczna.

(W tym ostatnim twierdzeniu trochę mniej niż istnienie liczby Mahlo jest wymagane; co więcej Goldstern i Shelah podali dokładną siłę niesprzeczności BPFA.)

[edytuj] Przykłady forsingów proper

Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.
Pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach są proper przy naturalnych warunkach^[7].

[edytuj] Przykłady konsekwencji

Załóżmy PFA. Wówczas:

$2^{\aleph_0}=2^{\aleph_1}=\aleph_2$ ,
MA,
SCH,
nie istnieją drzewa Kurepy,
suma $\aleph_1$ (s₀)-zbiorów Marczewskiego jest $(s 0)$ -zbiorem.

Aby przedstawić kolejną konsekwencję PFA musimy wprowadzić następującą definicję. Powiemy, że podzbiór $A\subseteq {\mathbb R}$ prostej rzeczywistej jest $\aleph_1$ -gęsty w ${\mathbb R}$ jeśli dla każdego niepustego przedziału otwartego $P\subseteq{\mathbb R}$ mamy, że $|A\cap P|=\aleph_1$ .

Zakładając PFA, każde dwa $\aleph_1$ -gęste podzbiory prostej są porządkowo izomorficzne^[8].

[edytuj] Bibliografia

↑ Shelah, Saharon: Independence results. "J. Symbolic Logic" 45 (1980), s. 563-573.
↑ Shelah, Saharon: Proper forcing. "Lecture Notes in Mathematics", 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ISBN 3-540-11593-5.
↑ Goldstern, Martin; Shelah, Saharon: The bounded proper forcing axiom. "J. Symbolic Logic" 60 (1995), s. 58-73.
↑ Shelah, Saharon: Proper and improper forcing. "Perspectives in Mathematical Logic". Springer-Verlag, Berlin, 1998. ISBN 3-540-51700-6.
↑ Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). "Israel Math. Conf. Proc.", 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305-360.
↑ Abraham, Uri: Proper forcing. w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
↑ Rosłanowski, Andrzej; Shelah, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. "Mem. Amer. Math. Soc." 141 (1999), no. 671, ISBN 0-8218-1180-0.
↑ Baumgartner, James: Applications of the proper forcing axiom, w: Handbook of set-theoretic topology, s. 913-959. North-Holland, Amsterdam, 1984.

[edytuj] Zobacz też

Kategorie: Forsing • Aksjomaty teorii mnogości

We provide Linux to the World

PFA

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicje

[edytuj] Pojęcia wstępne

[edytuj] PFA i BPFA

[edytuj] Historia i niesprzeczność

[edytuj] Przykłady forsingów proper

[edytuj] Przykłady konsekwencji

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach