Twierdzenie Hahna-Banacha
Z Wikipedii
Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.
Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.
Spis treści |
[edytuj] Twierdzenie
[edytuj] Sformułowanie
Przypuśćmy, że
- (a) X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych ,
- (b) jest funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
- dla wszystkich ,
- p(αx) = αp(x) dla wszystkich oraz ,
- (c) M jest podprzestrzenią liniową przestrzeni X,
- (d) jest odwzorowaniem liniowym takim, że
- dla wszystkich .
Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że
- dla
oraz
- dla .
[edytuj] Uwagi o dowodzie
- Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 były właśnie indukcyjne).
- Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
- Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.
[edytuj] Wnioski
- Jeżeli X jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy , że f(x0) = p(x0) oraz dla .
- Załóżmy, że
-
- (a) X jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych bądź zespolonych, a jest półnormą,
- (b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
- dla wszystkich .
- Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz
-
- dla wszystkich .
-
- Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, M jest jej podprzestrzenią liniową oraz , to istnieje taki, że
-
- y * | M = x * oraz .
- Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli X jest niezdegenrowaną przestrzenią unormowaną oraz , to dla pewnego takiego, że . Ponadto
-
- .
- Jeśli X jest przestrzenią unormowaną, M jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz , to istnieje taki, że
-
- oraz .
- Twierdzenia o oddzielaniu.
- Stosując twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.
[edytuj] Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha
Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:
[edytuj] Twierdzenie Kreina
Niech P będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej X o niepustym wnętrzu. Jeżeli M jest podprzestrznią liniową przestrzeni X oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
- ,
to istnieje funkcjonał liniowy taki, że
oraz
- .
[edytuj] Bibliografia
- William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems. [1]
- Mark Aronovich Naimark, Normed Rings. Wolters–Noordhoff, Groningen, 1970, s. 63
- Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.
Przypisy
- ↑ Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. Fundamenta Mathematicae 138 (1991)