Paradoks Banacha-Tarskiego

Z Wikipedii

Paradoks Banacha–Tarskiego: Kula może być pocięta na skończenie wiele kawałków z których można złożyć dwie kule identyczne z kulą wyjściową

Paradoks Banacha–Tarskiego (Hausdorffa–Banacha–Tarskiego) – słynne paradoksalne twierdzenie teorii mnogości sformułowane i udowodnione przez polskich matematyków Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924.

Pozorny paradoks polega na tym, że korzystając z pewnika wyboru można zwykłą trójwymiarową kulę "rozciąć" na skończoną liczbę części, a następnie używając wyłącznie obrotów i translacji złożyć dwie kule o takich samych promieniach jak promień kuli wyjściowej. Nie jest to jednak istotna sprzeczność, jako że części tego podziału nie są mierzalne w sensie Lebesgue'a, więc naturalna argumentacja oparta na pojęciu miary (czy też objętości) nie ma tu zastosowania.

Podobnie nieintuicyjnym wydaje się wariant twierdzenia Banacha-Tarskiego z którego wynika, że ziarnko grochu może być podzielone na skończenie wiele części, z których (przez izometrie) można złożyć kulę wielkości Słońca. I tutaj nie ma żadnej sprzeczności – kawałki podziału są niemierzalne. (Należy zauważyć, że podział fizycznego ziarnka grochu na niemierzalne części jest niemożliwy w świecie rzeczywistym.)

Twierdzenie Banacha-Tarskiego i pokrewne wyniki mają duże znaczenie we współczesnej matematyce, jako że wskazują one ograniczenia na możliwe rozszerzenia miary Lebesgue'a niezmiennicze na pewne przekształcenia przestrzeni euklidesowych.^[1]

[edytuj] Rys historyczny

1905: Giuseppe Vitali podaje przykład zbioru niemierzalnego na okręgu jednostkowym, który to zbiór jest podstawą rozkładu σ-paradoksalnego okręgu^[2]. (Zobacz sekcja poniżej.)
1914: polscy matematycy Stefan Mazurkiewicz i Wacław Sierpiński publikują przykład paradoksalnego podzbioru płaszczyzny ${\mathbb R}^2$ ^[3].
1915: Felix Hausdorff publikuje twierdzenie, że po usunięciu przeliczalnie wielu punktów ze sfery jednostkowej można otrzymać zbiór który jest paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S O 3$ ^[4].
1924: praca Banacha i Tarskiego przedstawiająca dowód ich twierdzenia ukazuje się w druku^[5].
1991: wrocławski matematyk Janusz Pawlikowski wykazuje, że zakładając ZF i twierdzenie Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego^[6].
1994: Randall Dougherty i Matthew Foreman dowodzą, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a^[7].

[edytuj] Wstępne przykłady

W zasadzie już Galileusz^[8] zauważył, że zbiór liczb naturalnych ${\mathbb N}=\{0,1,2,3,4,5,\ldots\}$ może być podzielony na dwie części z których każda może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na cały zbiór ${\mathbb N}$ . Rozważmy na przykład zbiór liczb parzystych $P=\{0,2,4,6,\ldots\}$ i jego dopełnienie czyli zbiór liczb nieparzystych $N=\{1,3,5,\ldots\}$ . Funkcja $f_P:P\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto k/2$ jest bijekcją z P na ${\mathbb N}$ oraz funkcja $f_N:N\longrightarrow {\mathbb N}:k\mapsto (k-1)/2$ jest bijekcją z N na ${\mathbb N}$ .

Każde dwa nietrywialne odcinki na prostej rzeczywistej są równoliczne (w ZF) i funkcja ustalająca równoliczność jest bardzo porządna (np w przypadku dwóch przedziałów otwartych może być to funkcja liniowa). Zatem każdy nietrywialny odcinek może być podzielony na dwie rozłączne części (odcinki) i każda z tych części może być odwzorowana w sposób wzajemnie jednoznaczny na odcinek wyjściowy. Podobna obserwacja ma miejsce w odniesieniu do prostokątów, prostopadłościanów i wielu innych figur geometrycznych.

Rozważmy zbiór Vitalego na okręgu jednostkowym. Najwygodniej jest ten zbiór opisać jeśli zinterpretujemy punkty płaszczyzny jako liczby zespolone. Nasz okrąg to zbiór $O=\{e^{2\pi ri}:r\in {\mathbb R}\}=\{e^{2\pi ri}:r\in [0,1)\}$ . Określmy na tym zbiorze relację równoważności $\cong$ przez warunek

$e^{2\pi ri}\cong e^{2\pi si}$ wtedy i tylko wtedy gdy

r - s

jest liczbą wymierną.

Zakładając aksjomat wyboru, możemy znaleźć zbiór $M\subseteq O$ który jest selektorem z klas abstrakcji relacji $\cong$ . Zatem zbiór M spełnia następujące dwa warunki:

(a) $(\forall s,t\in M)(s\neq t\ \Rightarrow\ s\not\cong t)$ oraz

(b) $(\forall s\in O)(\exists t\in M)(s\cong t)$ .

Przedstawmy zbiór liczb wymiernych w przedziale

[0,1)

jako sumę ${\mathbb Q}\cap [0,1)=A\cup B$ dwóch zbiorów nieskończonych. Wówczas każdy ze zbiorów A,B jest równoliczny ze zbiorem ${\mathbb Q}\cap [0,1)$ , a więc możemy wybrać funkcje wzajemnie jednoznaczne $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i $f_B:B\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ . Rozważmy zbiory

$M_A=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in A\}$ i $M_B=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\ \wedge\ q\in B\}$ .

Wówczas $O=M_A\cup M_B$ , $M_A\cap M_B=\emptyset$ oraz funkcje

$\varphi_A:M_A\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_A(q)i}\cdot t$ i

$\varphi_B:M_B\longrightarrow O:e^{2\pi qi}\cdot t\mapsto e^{2\pi f_B(q)i}\cdot t$

są bijekcjami.

W powyższych przykładach użyte funkcje wzajemnie jednoznaczne, nawet jeśli są bardzo porządne, to nie zachowują odległości punktów (czyli nie są izometriami). Zatem przykłady te nie wzbudzają żadnego zdziwienia: odpowiednie zbiory są powiększone/rozdmuchane przez odpowiadające im funkcje. Można jednak zapytać, czy podobne rozkłady istnieją z dodatkową własnością taką, że funkcje ustalające równoliczność kawałków z wyjściowym zbiorem są izometriami (ze względu na naturalne metryki).

Zbiór Vitalego dyskutowany wcześniej pozwala zbudować przykład podziału na przeliczalnie wiele części, tak że z dowolnych nieskończenie wielu kawałków można złożyć wyjściowy okrąg używając obrotów tylko. Niech zbiór M będzie wybrany jak powyżej. Dla $q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)$ połóżmy $M^q=\{e^{2\pi qi}\cdot t:t\in M\}$ . Wówczas $\{M^q:q\in {\mathbb Q}\cap [0,1)\}$ jest przeliczalną rodziną parami rozłącznych podzbiorów okręgu O. Przypuśćmy, że $A\subseteq {\mathbb Q}\cap [0,1)$ jest zbiorem nieskończonym. Ustalmy bijekcję $f_A:A\longrightarrow {\mathbb Q}\cap [0,1)$ i zauważmy że

$O=\bigcup\limits_{q\in A} F_q[M^q]$ gdzie $F_q:O\longrightarrow O:e^{2\pi ri}\mapsto e^{2\pi(r+f_A(q)-q)i}$ jest obrotem o kąt $(f_A(q)-q)\cdot 2\pi$ .

Mazurkiewicz i Sierpiński podali w 1914 następujący przykład paradoksalnego (ze względu na izometrie) podzbioru płaszczyzny. Jak wcześniej, utożsamiamy płaszczyznę ze zbiorem liczb zespolonych. Niech

$Z=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$ ,

$Z_0=\{a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\setminus\{0\} \wedge\ a_1,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\}$ ,

$Z_+=\{a_0+a_1e^i+a_2e^{2i}+\ldots+a_ke^{ki}:k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0,\ldots,a_k\in {\mathbb N}\ \wedge\ a_0>0\}$ .

Można łatwo sprawdzić, że $Z=Z_0\cup Z_+$ , $Z_0\cap Z_+=\emptyset$ (przypomnijmy, że

e i

jest liczbą przestępną) oraz

F 0 [Z 0] = Z

gdzie $F_0:z\mapsto e^{-i}\cdot z$ jest obrotem, a

F + [Z +] = Z

gdzie $F_+:z\mapsto z-1$ jest przesunięciem.

[edytuj] Rozkłady paradoksalne

[edytuj] Definicje

Przypuśćmy, że grupa G działa na zbiorze X.

Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,\ldots,B_n,C_0,\ldots,C_m\subseteq A$ (gdzie $n,m\in {\mathbb N}$ ) oraz elementy $g_0,\ldots,g_n,h_0,\ldots,h_m$ grupy G takie, że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^n g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^m h_j[C_j]$ .

Intuicyjnie, można powiedzieć że A jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można podzielić zbiór A na skończenie wiele kawałków z których można złożyć dwie kopie zbioru A używając bijekcji wyznaczonych przez elementy grupy G.

Zbiór $A\subseteq X$ jest σ-paradoksalny ze względu na działanie grupy G jeśli można znaleźć parami rozłączne zbiory $B_0,B_1\ldots,C_0,C_1\ldots\subseteq A$ oraz elementy $g_0,g_1,\ldots,h_0,h_1\ldots$ grupy G takie, że

$A=\bigcup\limits_{i=0}^\infty g_i[B_i]$ oraz $A=\bigcup\limits_{j=0}^\infty h_j[C_j]$ .

Niech $A,B\subseteq X$ . Powiemy, że zbiory A i B są kawałkami $G$ -równoważne jeśli można wybrać $A_0,A_1,\ldots, A_n\subseteq A$ , $B_0,B_1,\ldots, B_n\subseteq B$ , $n\in {\mathbb N}$ , oraz $g_0,g_1,\ldots,g_n\in G$ tak że

(a) $A_i\cap A_j=\emptyset=B_i\cap B_j$ dla $i<j\leq n$ ,

(b) $A = \bigcup_{i=0}^n A_i$ , $B= \bigcup_{i=0}^n B_i$

(c)

g i (A i) = B i

dla każdego $i\leq n$ .

[edytuj] Przykłady

Zakładając aksjomat wyboru, okrąg jednostkowy jest σ-paradoksalny ze względu na grupę obrotów $S O 2$ okręgu. (Zobacz dyskusję zbioru Vitalego wcześniej.)
Zbiór Z podany przez Mazurkiewicza i Sierpińskiego (dyskutowany wcześniej) jest paradoksalny ze względu na grupę izometrii płaszczyzny.

Zbiory S(a^-1) i aS(a^-1) zaznaczone na grafie Cayleya grupy wolnej F₂

Rozważmy grupę wolną $F 2$ o dwóch generatorach a i b działającą na sobie przez mnożenie z lewej strony. (Tak więc elementowi $g\in F_2$ odpowiada bijekcja $F_2\ni h\mapsto g h\in F_2$ .) Dla $x\in \{a,a^{-1},b,b^{-1}\}$ niech $S (x)$ będzie zbiorem wszystkich elementów grupy $F 2$ (słów w formie nieskracalnej) które zaczynają się od x. Zauważmy, że

$F_2=\{e\}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})$ i zbiory występujące w tej sumie są rozłączne, oraz

$F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)$ i $F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)$ .

Zatem

F 2

jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy

F 2

[edytuj] Twierdzenia

W poniższych stwierdzeniach zakładamy aksjomat wyboru (tzn. są to twierdzenia ZFC).

Przypuśćmy, że

(a) grupa G działa na zbiorze X w taki sposób że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in G$ ),

(b) G jest zbiorem paradoksalnym ze względu na działanie grupy G (przez mnożenie z lewej strony).

Wówczas zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy G.

Z powyższego twierdzenia wynika, że jeśli grupa wolna $F 2$ działa na zbiorze X w taki sposób, że żadne z odwzorowań $X\ni x\mapsto g(x)\in X$ nie ma punktów stałych (dla $g\in F_2$ ), to zbiór X jest paradoksalny ze względu na działanie grupy $F 2$ .
Istnieje przeliczalny podzbiór D sfery jednostkowej $S 2$ taki, że zbiór $S_2\setminus D$ jest paradoksalny ze względu na działanie grupy obrotów $S O 3$ .
Jeśli $D\subseteq S_2$ jest przeliczalny, to zbiory $S 2$ i $S_2\setminus D$ kawałkami $S O 3$ -równoważne.

Bezpośrednio z dwóch powyższych twierdzeń możemy wywnioskować twierdzenie Banacha-Tarskiego:

Sfera jednostkowa $S 2$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy obrotów $S O 3$ .

Kolejne wyniki są wnioskami z powyższego twierdzenia. Niech $I 3$ będzie grupą izometrii przestrzeni ${\mathbb R}^3$ .

Każda kula w ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie grupy $I 3$ . Również sama przestrzeń ${\mathbb R}^3$ jest paradoksalna ze względu na działanie tej grupy.
Jeśli $A,B\subseteq {\mathbb R}^3$ są zbiorami ograniczonymi o niepustych wnętrzach, to zbiory A, B są kawałkami $I 3$ -równoważne.

[edytuj] Bibliografia

↑ Wagon, Stan: The Banach-Tarski paradox. "Encyclopedia of Mathematics and its Applications", 24. Cambridge University Press, Cambridge, 1985. ISBN 0-521-30244-7.
↑ Vitali, Giuseppe: Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta. Bologna: Gamberini e Parmeggiani, 1905.
↑ Mazurkiewicz, Stefan; Sierpiński, Wacław: Sur un ensemble superposable avec chacune de ses deux parties. "C. R. Acad. Sci. Paris."158 (1914), s. 618-619.
↑ Hausdorff, Felix: Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. "Math. Ann." 75 (1915), s. 428-433.
↑ Banach, Stefan; Tarski, Alfred: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes, "Fundamenta Mathematicae" 6 (1924), s. 244-277. Dostępna w formacie pdf tutaj.
↑ Pawlikowski, Janusz: The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. "Fundamenta Mathematicae" 138 (1991), s. 21-22.
↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. "J. Amer. Math. Soc." 7 (1994), s. 75-124.
↑ Galileo Galilei. Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno à due nuove scienze, 1638

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

(en) Artykuł o paradoksie na PlanetMath

Kategorie: Paradoksy • Teoria mnogości • Teoria miary

We provide Linux to the World

Paradoks Banacha-Tarskiego

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Wstępne przykłady

[edytuj] Rozkłady paradoksalne

[edytuj] Definicje

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Twierdzenia

[edytuj] Bibliografia

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach