Własność Baire'a

Z Wikipedii

W topologii i teorii mnogości, własność Baire'a jest własnością podzbiorów przestrzeni mówiącą, że w pewnym sensie rozważany zbiór jest regularny.

Spis treści 1 Definicja 2 Przykłady 3 Własności 4 Własność Baire'a a mierzalność w sensie Lebesgue'a 5 Bibliografia 6 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech (X,τ) będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór ma własność Baire'a jeśli można go przedstawić jako różnicę symetryczną dwóch zbiorów: otwartego i pierwszej kategorii. Tak więc ma własność Baire'a wtedy i tylko wtedy gdy istnieją zbiory U,P takie, że , P jest pierwszej kategorii oraz .

Nazwa tej własności została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka René-Louisa Baire'a.

[edytuj] Przykłady

• Każdy zbiór borelowski ma własność Baire'a.
• Każdy zbiór pierwszej kategorii ma własność Baire'a.
• W przestrzeniach polskich, każdy zbiór analityczny ma własność Baire'a.
• Zarówno zbiory Vitalego jak i zbiory Bernsteina nie mają własności Baire'a. Do konstrukcji tych zbiorów niezbędny jest aksjomat wyboru.

[edytuj] Własności

• W dowolnej przestrzeni topologicznej, zbiory o własności Baire'a tworzą σ-ciało podzbiorów tej przestrzeni. Jest to najmniejsze σ-ciało zawierające zarówno zbiory otwarte jak i zbiory pierwszej karegorii.
• Jeśli podzbiór Z przestrzeni polskiej X ma własność Baire'a, to odpowiednia gra Banacha-Mazura jest zdeterminowana.
• Polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus wykazali, że aksjomat determinacji implikuje że wszystkie podzbiory prostej mają własność Baire'a^[1]

[edytuj] Własność Baire'a a mierzalność w sensie Lebesgue'a

Własność Baire jest najczęściej rozważana dla podziorów przestrzeni polskich czy wręcz podzbiorów prostej rzeczywistej. W tym kontekście jest ona często porównywana do mierzalności w sense Lebesgue'a. Matematycy pracujący w teorii mnogości, topologii czy też teorii miary są często zinteresowani odkrywaniem podobieństw jak i przeciwieństw między tymi własnościami.^[2][3]

• Twierdzenie Kuratowskiego-Ulama mówi, że^[4]

jeśli X,Y są przestrzeniami polskimi i jest zbiorem o własności Baire'a,

to A jest zbiorem pierwszej kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór

nie jest pierwszej kategorii w

jest pierwszej kategorii w X.

Powyższe twierdzenie jest uważane za topologiczny odpowiednik twierdzenia Fubiniego dla miary.

• Niech X będzie przestrzenią polską i . Wówczas można znaleźć zbiór mający własność Baire'a i taki, że

jeśli ma własność Baire'a, to C jest pierwszej kategorii.

Ten wynik jest często podawany jako topologiczny odpowiednik miary zewnętrznej.

• W 1970, Robert M. Solovay udowodnił, że zakładając istnienie liczby nieosiągalnej, istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a i mają własność Baire'a ^[5].
• W 1984, Saharon Shelah wykazał, że^[6]

• model w który wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a może być otrzymany bez użycia liczb nieosiągalnych, ale
• mierzalność zbiorów rzutowych implikuje, że ω₁ jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Gödla).

Ten wynik Shelaha był jednym z pierwszych istotnych przykładów asymetrii pomiędzy własnością Baire'a a mierzalnością w sensie Lebesgue'a.

• Randall Dougherty and Matthew Foreman^[7] udowodnili, że jest możliwy paradoksalny rozkład kuli na kawałki które mają własność Baire'a. (Części rozkładu paradoksalnego muszą być niemierzalne.)

[edytuj] Bibliografia

1. ↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, H. A mathematical axiom contradicting the axiom of choice. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 10 (1962) 1-3
2. ↑ Oxtoby, John C. Measure and category. A survey of the analogies between topological and measure spaces. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 2. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1980. x+106 pp. ISBN 0-387-90508-1
3. ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. xii+546 pp. ISBN 1-56881-044-X
4. ↑ Kuratowski, Kazimierz; Ulam, Stanisław. Quelques propriétés topologiques du produit combinatoire, "Fundamenta Mathematicae" 19 (1932) 247-251
5. ↑ Solovay, Robert M. A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. Ann. of Math. 92 (1970) 1-56
6. ↑ Shelah, Saharon. Can you take Solovay's inaccessible away? Israel J. Math. 48 (1984) 1-47
7. ↑ Dougherty, Randall; Foreman, Matthew. Banach-Tarski decompositions using sets with the property of Baire. J. Amer. Math. Soc. 7 (1994), no. 1, 75-124

[edytuj] Zobacz też

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
• przestrzeń topologiczna,
• ciało zbiorów.