Fractal

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$O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.$

O conjunto de Mandelbrot é um exemplo famoso de fractal.

Fractais (do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

A geometria fractal é o ramo da matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador. As raízes conceituais dos fractais remontam a tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.

Um fractal (anteriormente conhecido como curva monstro) é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes, cada uma das quais semelhante ao objeto original. Diz-se que os fractais têm infinitos detalhes, são geralmente auto-similares e independem de escala. Em muitos casos um fractal pode ser gerado por um padrão repetido, tipicamente um processo recorrente ou iterativo.

O termo foi cunhado em 1975 por Benoît Mandelbrot, matemático francês nascido na Polónia, que descobriu a geometria fractal na década de 70 do século XX, a partir do adjetivo latino fractus, do verbo frangere, que significa quebrar.

Vários tipos de fractais foram originalmente estudados como objetos matemáticos.

Índice

1 História
2 Categorias de fractais
3 Definições
4 Exemplos
- 4.1 Montanhas fractais
- 4.2 Computação de um feto (ou samambaia)
5 Caos
6 Atractor de Lorenz
7 Ver também
8 Ligações externas

[editar] História

Floco de neve de Koch

Durante séculos, os objetos e os conceitos da filosofia e da geometria euclidiana foram considerados como os que melhor descreviam o mundo em que vivemos. A descoberta de geometrias não-euclidianas introduziu novos objetos que representam certos fenômenos do Universo, tal como se passou com os fractais. Assim, considera-se hoje que tais objetos retratam formas e fenômenos da Natureza.

A idéia dos fractais teve a sua origem no trabalho de alguns cientistas entre 1857 e 1913. Esse trabalho deu a conhecer alguns objetos, catalogados como "demônios", que se supunha não terem grande valor científico.

Em 1872, Karl Weierstrass encontrou o exemplo de uma função com a propriedade de ser contínua em todo seu domínio, mas em nenhuma parte diferenciável. O gráfico desta função é chamado atualmente de fractal. Em 1904, Helge von Koch, não satisfeito com a definição muito abstrata e analítica de Weierstrass, deu uma definição mais geométrica de uma função similar, atualmente conhecida como Koch snowflake (ou floco de neve de Koch), que é o resultado de infinitas adições de triângulos ao perímetro de um triângulo inicial. Cada vez que novos triângulos são adicionados, o perímetro cresce, e fatalmente se aproxima do infinito. Dessa maneira, o fractal abrange uma área finita dentro de um perímetro infinito.

Também houve muitos outros trabalhos relacionados a estas figuras, mas esta ciência só conseguiu se desenvolver plenamente a partir da década de 60, com o auxílio da computação. Um dos pioneiros a usar esta técnica foi Benoît Mandelbrot, um matemático que já vinha estudando tais figuras. Mandelbrot foi responsável por criar o termo fractal, e responsável pela descoberta de um dos fractais mais conhecidos, o conjunto de Mandelbrot.

[editar] Categorias de fractais

Aumento de 350 vezes do conjunto de Mandelbrot mostra os pequenos detalhes repetindo o conjunto inteiro.

Os fractais podem ser agrupados em três categorias principais. Estas categorias são determinadas pelo modo como o fractal é formado ou gerado:

Sistema de funções iteradas — Estas possuem uma regras fixa de substituição geométrica. Conjunto de Cantor, tapete de Sierpinski, Sierpinski gasket, curva de Peano, floco de neve de Koch, curva do dragão de Harter-Heighway, T-Square, esponga de Menger, são alguns exemplos deste tipo de fractal.
Fractais definidos por uma relação de recorrência em cada ponto do espaço (tal como o plano complexo). Exemplos deste tipo são o conjunto de Mandelbrot e o fractal de Lyapunov. Estes também são chamados de fractais de fuga do tempo.
Fractais aleatórios, gerados por processos estocásticos ao invés de determinísticos, por exemplo, terrenos fractais e o vôo de Lévy.

Ainda, também podem ser classificados de acordo com sua auto-similaridade. Existem três tipos de auto-similaridade encontrados em fractais:

Auto-similaridade exata: é a forma em que a auto-similaridade é mais marcante, evidente. O fractal é idêntico em diferentes escalas. Fractais gerados por sistemas de funções iterativas geralmente apresentam uma auto-similaridade exata.
Quase-auto-similaridade: é uma forma mais solta de auto-similaridade. O fractal aparenta ser aproximadamente (mas não exatamente) idêntico em escalas diferentes. Fractais quase-auto-similares contém pequenas cópias do fractal inteiro de maneira distorcida ou degenerada. Fractais definidos por relações de recorrência são geralmente quase-auto-similares, mas não exatamente auto-similares.
Auto-similaridade estatística: é a forma menos evidente de auto-similaridade. O fractal possui medidas númericas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas. As definições de fractais geralmente implicam em alguma forma de auto-similaridade estatística (mesmo a dimensão fractal é uma medida numérica preservada em diferentes escalas). Fractais aleatórios são exemplos de fractais que possuem auto-similaridade estatística, mas não são exatamente nem quase auto-similares.

Entretanto, nem todos os objetos auto-similares são considerados fractais. Uma linha real (uma linha reta Euclidiana), por exemplo, é exatamente auto-similar, mas o argumento de que objetos Euclidianos são fractais é defendido por poucos. Mandelbrot argumentava que a definição de fractal deveria incluir não apenas fractais "verdadeiros" mas também objetos Euclidianos tradicionais, pois números irracionais em uma linha real representam propriedades complexas e não repetitivas.

Pelo fato do fractal possuir uma granulometria infinita, nenhum objeto natural pode sê-lo. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado.

[editar] Definições

Fractal Julia Set

Os fractais podem ser definidos segundo algumas características intuitivas, pois se torna difícil a conversão da definição matemática para a linguagem ordinária devida falta de termos adequados à sua tradução.

Mandelbrot definiu fractal como "um sistema organizado para o qual a dimensão de Hausdorff-Besicovitch excede a estritamente a dimensão topológica (número inteiro que caracteriza a geometria de um objeto euclidiano – por exemplo: zero para um ponto, um para uma linha, etc.), onde fractais cujas estruturas sejam ego-semelhantes, ou a dimensão de Hausdorff é igual a dimensão de Minkowski-Bouligand.

Na definição de fractal, os problemas de linguagem incluem:

* Não há nenhum significado preciso para o termo "muito irregular".

* Quando se diz “dimensão”, pode haver dúvida na definição do conceito, pois o termo pode ter diversos significados (por exemplo: “tamanho”, “importância, -no sentido de valor-”, “ordem de matrizes na representação matricial de um grupo”, “grau”, “num espaço vetorial, o número de vetores de sua base”, “num espaço, o número mínimo de coordenadas necessárias à determinação unívoca de seus pontos”, etc.). Porém no caso dos fractais, dimensão significa estritamente o “número fracionário ou irracional que caracteriza a geometria de um fractal.”.

* Há muitos modos que um objeto pode ser ego-semelhante. Pode-se tentar explicar como uma espécie de fractais “irmãos gêmeos idênticos”, onde existe a igualdade na semelhança física, porém suas ‘personalidades’ são diferentes”. Isto ocorre quando inicialmente as curvas são alimentadas pelos mesmos dados, mas em determinado momento, há um desvio nos valores dos dados, por exemplo, quando observamos dois fractais numa escala 1:1, estes têm exatamente a mesma aparência, mas se os observarmos numa dimensão 1:1.000.000, as figuras observadas são completamente diferentes.

* Nem todo fractal possui repetitividade, dependendo dos dados inseridos (principalmente no domínio do tempo) este não terá em escalas menores a mesma aparência, aparecendo distorções da figura.

[editar] Exemplos

$Duas folhas de acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural.$

Duas folhas de acrílico cobertas de cola, quando espremidas formam um fractal natural.

$Uma perturbação causada por alta voltagem em um bloco de acrílico cria um fractal (Figura Lichtenberg).$

Uma perturbação causada por alta voltagem em um bloco de acrílico cria um fractal (Figura Lichtenberg).

Árvores e samambaias (ou fetos) são fractais naturais que podem ser modelados em computadores que usam algoritmos recursivos. Esta propriedade de repitividade está clara nestes exemplos, pois num ramo de uma árvore ou na folhagem de uma samambaia pode ser observada uma réplica em miniatura do todo. Não idêntico, porém semelhante na estrutura.

Uma classe relativamente simples de exemplos é o Cantor que observado num intervalo (digamos 1:1) e então noutro (1:10) mais curto (ou aberto), visto numa escala de 0, 1, é uma figura que pode (ou não pode) ser “ego-semelhante” em determinada amplificação, e pode (ou não pode) ter uma dimensão d ou 0 < d < 1.

Um exemplo simples seria excluir o dígito 7 de expansão decimal, ego-semelhante sob dobra-10 (ou amplificação), e também ter uma dimensão tronco 9/log 10 (este valor é o mesmo, não importa que base logarítmica é escolhida), mostrando assim a conexão dos dois conceitos.

Os Fractais são geralmente corrugados na sua forma (tanto em cálculos quanto nas imagens resultantes destes), Portanto, não são objetos definíveis pela geometria tradicional. Isso quer dizer que os fractais tendem a ter detalhes significantes, visíveis sob qualquer ponto de vista (ou seja, suas variações visuais são perfeitamente mensuráveis); quando houver uma ego-semelhança, isto pode ocorrer porque ao se observar sob “zoom” figuras semelhantes observaremos a recursividade, ou repitividade destas.

$Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.$

Um brócolis como exemplo de um belo fractal natural.

Por exemplo, numa forma euclidiana normal (como um círculo) esta parece mais aplainada e alisada quando é amplificada. Numa ampliação infinita seria impossível se diferenciar entre o círculo e uma linha reta. No caso dos fractais, isto não acontece (embora, quanto mais amplificarmos, mais nos aproximaremos da linha reta também - isto ocorre devida perda de dados em múltiplas amplificações- ou seja, os desvios acontecem devida imprecisão das inserções seqüenciais dos dados).

A idéia convencional de curvatura representada pela reciprocidade radial (em radianos) num círculo por aproximação, não pode ser usualmente aplicada em escalas muito grandes (neste caso, o “raio” de curvatura ficará fora de escala, daí a “aparência” de uma linha reta).

Ao contrário, com fractais, ao se aumentar a amplificação, se revelarão mais e mais detalhes. Estes dependerão do grau de precisão e da quantidade de casas decimais dos dados inseridos. As distorções tendendo para a linha reta, ocorrem justamente pelo fato de haver “falta de memória” nas máquinas que executam o cálculo. Portanto, um fractal jamais alcançará uma linha reta, salvo quando a fórmula que o constitui assim o permita.

Alguns exemplos comuns de fractais:

Conjunto de Mandelbrot
Fractal de Lyapunov
Conjunto de Precentor
Tapete de Sierpinski
Sierpinski gasket
Menger sponge
Curva de dragão
Curva de Peano
Curva de Koch

Os Fractais podem ser determinísticos ou estocásticos (Ver George G. Stokes).

No caso da Teoria do Caos, podemos associa-la totalmente aos fractais, também no conhecido “Mandelbrot set” Conjunto de Mandelbrot podemos observar discos inteiros, cuja dimensão é 2. Isto não é de surpreender, porém o que é verdadeiramente surpreendente é que o limite do conjunto Mandelbrot também tem uma dimensão de Hausdorff de 2.

$Um conjundo de Julia, um fractal relacionado ao conjunto Mandelbrot$

Um conjundo de Julia, um fractal relacionado ao conjunto Mandelbrot

Aproximações de fractais (Fractais naturais) são encontrados freqüentemente na natureza. Estes objetos exibem uma estrutura complexa próxima aos objetos matemáticos, porém finitas se as observarmos em maiores escalas.

Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, os feixes nervosos, etc. Com maiores ou menores graus, estas figuras estão classificadas em diversas magnitudes.

Apesar de existirem por toda a natureza, e de serem onipresentes, estes objetos somente foram realmente estudados a fundo no século XX.

Harrison [1] estendeu o cálculo Newtoniano para o domínio fractal, também inseriu os teoremas Gauss da divergência, o Teorema de Green, e o Teorema de Stoke.

Os Fractais são normalmente gerados através de computadores com softwares específicos. Através de seu estudo podemos descrever muitos objetos extremamente irregulares do mundo real. Como exemplo de softwares temos o Xaos -http://xaos.sourceforge.net/index.php.

Os meteorologistas utilizam o cálculo fractal para verificar as turbulências da atmosfera incluindo dados como nuvens, montanhas, a própria turbulência, os litorais, e árvores. As técnicas fractais também estão sendo empregadas para a compactação de imagens através da compressão fractal, além das mais diversas disciplinas científicas que utilizam o processo.

[editar] Montanhas fractais

A superfície de uma montanha pode ser modelada num computador usando uma fractal: Começamos com um triângulo no espaço 3D. Acham-se os pontos centrais das 3 linhas que formam o triângulo e criam-se 4 novos triângulos a partir desse triângulo. Deslocam-se depois aleatoriamente esses pontos centrais para cima ou para baixo dentro de uma gama de valores estabelecido. Vai-se repetindo o mesmo procedimento mas fazendo os deslocamentos dos pontos centrais dentro de uma gama de valores que em cada iteração é igual a metade da anterior.

$Uma animação com uma fractal que modela a superfície de uma montanha$

Uma animação com uma fractal que modela a superfície de uma montanha

[editar] Computação de um feto (ou samambaia)

$Feto fractal$

Feto fractal

Um feto fractal pode ser gerado usando um sistema de funções iteradas começando com um ponto na origem $(x_0 = 0, y_0 \ge 0)$ e determinando iterativamente novos pontos a partir do resultado da aplicação aleatória de uma de 4 diferentes transformações de coordenadas:

$\begin{cases} x_{n+1} = 0 \\ y_{n+1} = 0.16 y_n \end{cases}$

Esta transformação, que é realizada apenas 1% das vezes, mapeia qualquer ponto para um ponto no segmento de recta mostrado a verde na figura.

$\begin{cases} x_{n+1} = 0.2x_n - 0.26y_n \\ y_{n+1} = 0.23x_n + 0.22y_n + 1.6 \end{cases}$

Esta transformação, que é realizada apenas 7% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo vermelho na figura.

$\begin{cases} x_{n+1} = -0.15x_n + 0.28y_n \\ y_{n+1} = 0.26x_n + 0.24y_n + 0.44 \end{cases}$

Esta transformação, que é realizada apenas 7% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo azul escuro na figura.

$\begin{cases} x_{n+1} = 0.85x + 0.04y_n \\ y_{n+1} = -0.004x + 0.85y_n + 1.6 \end{cases}$

Esta transformação, que é realizada 85% das vezes, mapeia qualquer ponto dentro do rectângulo preto para um ponto dentro do rectângulo azul claro na figura.

A primeira transformações de coordenadas desenha o caule. A segunda, desenha a primeira folha da esquerda do feto. A terceira, desenha a primeira folha da direita do feto. E a quarta gera cópias sucessivas e garante que o todo é uma réplica maior de cada folha.

[editar] Caos

A Teoria do Caos é conhecida há vários séculos e representada em sabedoria popular:

Por vontade de um prego, a ferradura foi perdida; Por vontade de uma ferradura, o cavalo foi perdido; Por vontade de um cavalo, o cavaleiro foi perdido; Por vontade de um cavaleiro, a batalha foi perdida; Por vontade de uma batalha, o reino foi perdido.

Sensibilidade da dependencia - atractores.

O resultado de uma condição inicial sujeita a pequenas variações é completamente diferente do original. Nesse folclore, é o mesmo que dizer que por vontade de uma unha, o reino foi perdido.

Apesar dos efeitos da Teoria do Caos estarem tão presentes no nosso dia, como na meteorologia, na irregularidade da pulsação cardíaca, no gotejar de uma torneira, no relampejar, nas montanhas, nas árvores, no crescimento de uma população, no partir de um copo no chão e por aí fora, só há alguns anos começou a ser estudada, talvez porque antes, sem recurso a computadores, os cálculos necessários, que são bastante repetitivos, fossem aborrecidos demais.

Curiosamente, a primeira verdadeira experiência sobre o caos foi feita por um meteorologista, Edward Lorenz. Nas suas previsões sobre o tempo, geradas através de um programa de computador que tinha desenvolvido, constatou que, mesmo introduzindo grande parte da mesma seqüência no padrão original, o resultado final era diferente. Isso aconteceu um dia, quando, ao tentar verificar uma mesma seqüência, começou pelo meio para poupar tempo. Ele introduziu apenas os três primeiros números da seqüência de seis. Quando resolvida, verificou que o padrão obtido era completamente diferente do alcançado na seqüência anterior. Desta forma, Lorenz demonstrou que mesmo tendo uma seqüência muito próxima da original, seria muita sorte atingir o mesmo resultado. Esse efeito ficou conhecido como “efeito borboleta”. A diferença entre os pontos iniciais de duas curvas distintas é tão pequena que é comparada ao bater das asas de uma borboleta. E o simples bater das asas de uma borboleta, hoje, produz uma pequena alteração na atmosfera que pode, num determinado espaço de tempo, produzir um efeito diferente do que iria acontecer. Diz-se que o bater das asas de uma borboleta em Portugal pode provocar um tornado na China, ou fazer com que um tornado na Flórida não aconteça. (in Viana, O, Estudos do Mercado de Capitais, Porto, 2006)

[editar] Atractor de Lorenz

O desenho da trajectoria do Sistema de Lorenz para valores r = 28, σ = 10, b = 8/3

Introduzido por Edward Lorenz em 1963, o Atractor de Lorenz é um sistema não linear tridimensional determinista dinâmico derivado de equações simplificadas tiradas das convencionais equações dinâmicas da atmosfera. Para um determinado conjunto de paramentos o sistema exibe um comportamento caótico e mostra o que é hoje chamado de atractor estranho. O atractor estranho, neste caso, é um fractal. (in Viana, O, Estudos do Mercado de Capitais, Porto, 2006)