Teoria do caos

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Nota: Se procura por outras definições de Caos, consulte Caos.

Mandelbrot 1-lambda. Os Fractais são representantes matemáticos do padrão e constância que podem ser detectados teoricamente pela Teoria do Caos

A Teoria do Caos para a física e a matemática é a hipótese que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinâmicos. Isso significa que para um determinado resultado será necessária a ação e a interação de inúmeros elementos de forma aleatória. Para entender o que isso significa, basta pegar um exemplo na natureza, onde esses sistemas são comuns. A formação de uma nuvem no céu, por exemplo, pode ser desencadeada e se desenvolver com base em centenas de fatores que podem ser o calor, o frio, a evaporação da água, os ventos, o clima, condições do Sol, os eventos sobre a superfície e inúmeros outros.

Para a maioria de nós, a soma de uma quantidade indeterminada de elementos, com possibilidades infinitas de variação e de interação, resultaria em nada mais do que um acontecimento ao acaso.

Pois, é exatamente isso que os matemáticos querem prever: o acaso.

Alguns pesquisadores já conseguiram chegar a algumas equações capazes de prever o resultado de sistemas como esses, ainda assim, a maior parte desses cálculos prevê um mínimo de constância dentro do sistema, o que normalmente não ocorre na natureza.

Os cálculos envolvendo a Teoria do Caos são utilizados para descrever e entender fenômenos meteorológicos, crescimento de populações, variações no mercado financeiro e movimentos de placas tectônicas, entre outros. Uma das mais conhecidas bases da teoria é o chamado "efeito borboleta", teorizado pelo matemático Edward Lorenz, em 1963.

Índice

1 Idéia inicial
2 O método científico
3 Galileu, Newton e Laplace
4 Diferenciais lineares e não lineares
5 Gravitação
6 Henri Poincaré
7 Teoria do Caos
8 Exemplo de caos
9 Efeito Borboleta
10 Equações de Lorenz
11 Atrator
12 Atrator estranho
13 Década de oitenta do século XX
14 Atratores e fractais
15 Teoria do Caos aplicado ao mercado de capitais
16 Idéias básicas
17 Ver também
18 Links Externos

[editar] Idéia inicial

A idéia é que uma pequena variação nas condições em determinado ponto de um sistema dinâmico pode ter conseqüências de proporções inimagináveis. No caso das borboletas, o bater de asas de uma delas em um determinado lugar do mundo poderia gerar uma movimentação de ar que, intensificada, desencadearia a alteração do comportamento da atmosfera da Terra em localidades distantes.

[editar] O método científico

A partir de William de Ockham (Guilherme de Occam), em sua teoria conhecida por Navalha de Occam, onde "...as melhores teorias são as mais simples"... ou "...pluralidades não devem ser postas sem necessidade...", ou ainda "(sic) ...pluralitas non est ponenda sine neccesitate...", ...a natureza é econômica, isto é, sempre quando houver dois caminhos que levam à verdade, vale o mais simples..., a ciência passou a utilizar um método lógico e simples para chegar às consideradas então verdades científicas, o que futuramente teria que ser revisto.

[editar] Galileu, Newton e Laplace

Galileu Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à simplicidade da obtenção de resultados. Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas.

Com Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em relação ao Sol.

Portanto, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.

Porém, ao se acrescentar mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não lineares.

[editar] Diferenciais lineares e não lineares

Existem duas formas ou tipos de equações diferenciais:

As equações diferenciais lineares cuja resolução é explícita:

$a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)\,\!$ .

As equações diferenciais não lineares, cujas resoluções em muitos casos são impossíveis (existem exceções, é claro).

Exemplo de equação diferencial não linear:

$\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1$ .

[editar] Gravitação

Ao se encontrar no estudo do sistema gravitacional equações diferenciais não lineares, estas se tornavam impossíveis de resolução.

Laplace afirmou que “...(sic) uma inteligência conhecendo todas as variáveis universais em determinado momento, poderia compor numa só fórmula matemática a unificação de todos os movimentos do Universo.

Conseqüentemente deixariam de existir para esta inteligência o passado e o futuro, pois aos seus olhos todos os eventos seriam resultantes do momento presente.”

Perseguindo a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da teoria das probabilidades, trabalhou nas equações diferenciais, criou a transformada de Laplace e a equação de Laplace.

[editar] Henri Poincaré

Henri Poincaré em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, se tornavam complexas e irregulares.

Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.

Os resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração matemática. Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos, porém como curiosidade sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.

[editar] Teoria do Caos

Um conjunto de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema. Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que divergem entre si na sua relação de causa e efeito. Na primeira a resposta a um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que serve de objeto à teoria do caos, mais conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares.

Esta teoria estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando uma faceta onde podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita precisa.

Uma das idéias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais (aleatórios) também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa e cujo futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema será caótico.

[editar] Exemplo de caos

Um exemplo claro seria uma pedra atirada numa piscina, as ondas geradas na queda da pedra se propagam até as margens, refletem e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo. Continuando novamente as ondas vão às margens, porém, já distorcidas devido às reflexões anteriores e às interações ocasionadas pelos cruzamentos entre si. Neste momento começam já a ocorrer alguns movimentos aparentemente caóticos, porém ainda previsíveis pois são padrões cíclicos das ondas. Mas se começarmos a jogar pedras aleatoriamente na mesma piscina, quanto mais jogarmos, mais caótico será o padrão das ondas na superfície. Imaginemos agora porém, que no fundo desta piscina exista areia finíssima, apesar dos movimentos aleatórios na superfície, no fundo haverá determinados padrões na areia, caóticos sim, mas seguirão a um padrão de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, estas mudarão à medida em que o corrugamento da superfície muda, porém apesar de todo o caos dos movimentos, é reconhecido um padrão cíclico.

Estatisticamente isto ocorre porque pequenas alterações na alimentação de dados em sistemas de cálculo de previsões podem provocar mudanças drásticas inclusive rupturas a longo prazo. Pois em função de um crescimento inflacionário de realimentação de dados, que realimentam por conseqüência dados futuros, estes podem realimentar o sistema com respostas que levam ao crescimento das alterações numa espiral caótica (inflacionária) que mudará toda a previsão estatística daquele sistema. Ficando assim completamente fora das margens de erro convencionais, porém, apesar do aumento da margem de erro sempre será reconhecido um padrão cíclico realimentado (Espiral), apesar da aparente aleatoriedade.

Em função do efeito caótico, a previsibilidade comportamental dos sistemas em geral, sejam climáticos de uma determinada região, ou movimentos econômicos à exemplo das movimentações das bolsas de valores, ou populações de insetos de um determinado ecossistema, tem uma margem de erro bastante elástica quando comparada à margem convencional.

[editar] Efeito Borboleta

Ao efeito da realimentação do erro foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito Borboleta ou seja uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados.

Ou:

$d(f^\tau(x), f^\tau(y)) > \delta \,.$

Normalmente este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no espaço de tempo de semanas.

O efeito borboleta demonstra a impossibilidade de uma previsão meteorológica perfeita e prova que o determinismo de Laplace para certos casos passa a não funcionar, pois para se ter uma previsão meteorológica de extrema precisão, os dados de alimentação além de serem infinitos, deveriam ser de precisão infinita, portanto, a memória física de processamento de dados também deveria ser infinita. Sendo impossível dispor de tal sistema, é impossível se executar uma previsão determinista nestas bases...

[editar] Equações de Lorenz

Edward Lorenz continuando em sua pesquisa dos sistemas dinâmicos, elegeu três equações diferenciais que acabaram por ficar conhecidas como Equações de Lorenz para representar graficamente o comportamento dinâmico através de computadores.

Equações de Lorenz:
- $\left\{ \begin{matrix} \dot x & = & 10(y-x) \\ \dot y & = & 28 x -y-xz \\ \dot z & = & -(8/3)z+xy \end{matrix} \right.$

Lorenz continuou observando os efeitos caóticos, notou que variações muito pequenas aleatórias poderiam gerar um efeito dominó que elevava o grau de incerteza em eventos futuros, realimentando os graus de aleatoriedade.

Desenvolveu teorias que demonstravam que a partir de variações mínimas haviam acelerações nas precipitações de dados em determinadas direções que mudavam completamente o resultado de uma determinada experiência.

Em função de suas constatações o meteorologista chegou à conclusão que as previsões de fenômenos climáticos só poderiam adquirir certo grau de precisão utilizando equações matemáticas que levassem em conta o alto grau de incerteza nos eventos.

Fatos podem ser alterados a partir das mais simples reações.

[editar] Atrator

O atrator pode ser definido como o comportamento que um sistema dinâmico que independentemente do ponto de partida, tem a tendência para convergir para um ponto (atrator).

Um exemplo clássico que pode ser utilizado para a descrição de um atrator, é uma bola rolando sobre um plano. Devido ao efeito do atrito o movimento da bola tenderá a convergir sempre para uma situação cuja velocidade é nula. Este é o atrator, o movimento zero.

Outro exemplo de atrator é um pêndulo em movimento. O seu balanço, sempre tenderá a convergir para uma oscilação cujo período é constante, isto é, o atrator, é o período constante.

[editar] Atrator estranho

Atrator estranho de Lorenz

Ao observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a um atrator tridimensional.

A figura resultante terá um padrão que não corresponderá nem à órbitas, nem à imobilizações, isto é, o resultado obtido, pode ser considerado diferente do que se esperaria de um atrator, ou seja o resultado que poderá ser considerado estranho.

Logo, no caso acima o sistema em questão não assumirá jamais duas vezes o mesmo estado. Haverá sim uma região onde existirão mais pontos, formando até padrões, mas a figura e seus pontos serão caóticos. Este sistema caótico é considerado imprevisível, porém ocorre o fato estranho: ao mesmo tempo que o sistema é caótico, paradoxalmente converge para um atrator determinado. A concepção destas idéias, ganhou força com o uso de computadores.

[editar] Década de oitenta do século XX

Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.

[editar] Atratores e fractais

Fractal(do latim fractus, fração, quebrado) são figuras da geometria não-Euclidiana.

"A partir dos estados de um determinado sistema onde existem variáveis tais como massa, pressão, temperatura, velocidade, posição, etc, estes podem ser representados por coordenadas, num determinado espaço cuja configuração pode ser considerada multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas variáveis. Na física clássica podemos descrever o comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.

Os atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado fractal, que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.

[editar] Teoria do Caos aplicado ao mercado de capitais

O mercado de capitais é uma complexidade, cujas movimentações caóticas se dão ciclicamente, ou em ciclos de realimentações, ora positivas, ora negativas. Contudo, tal como uma espiral, quando o curso dos acontecimentos completa um círculo, o faz em outro nível.

O movimento pendular das mudanças não se limita a repetir os mesmos acontecimentos vezes sem conta. Um desses ciclos em espiral é o caos, que dá lugar à ordem que, por sua vez, origina novas formas de caos, que, dependendo da realimentação podem mudar completamente os rumos.

A Teoria do Caos, pode-se dizer, é conhecida pela sabedoria popular há muito tempo. O exemplo abaixo ilustra bem como uma realimentação que pode gerar resultados surpreendentes:

"For want of a nail, the shoe was lost;
For want of a shoe, the horse was lost;
For want of a horse, the rider was lost;
For want of a rider, the battle was lost;
For Want of a battle, the kingdom was lost."

"Por vontade de um prego, perdeu-se uma ferradura;
Por vontade de uma ferradura, perdeu-se um cavalo;
Por vontade de um cavalo, perdeu-se um cavaleiro;
Por vontade de um cavaleiro, perdeu-se a batalha;
Por vontade de uma batalha, perdeu-se o reino."

O resultado de uma condição inicial sujeita a pequenas variações é completamente diferente do original. Nesse folclore, é o mesmo que dizer que por vontade de uma unha, o reino foi perdido.

Apesar dos efeitos da Teoria do Caos estarem tão presentes no nosso dia-a-dia, como na meteorologia, na irregularidade da pulsação cardíaca, no gotejar de uma torneira, no relampejar, nas montanhas, nas árvores, no crescimento populacional, no partir de um copo no chão, etc, só há alguns anos começou a ser estudada. Alguns acreditam que sem recurso a computadores, os cálculos necessários, que são bastante repetitivos, fossem aborrecidos demais.

Conforme detalhadamente descrito anteriormente, a primeira verdadeira experiência sobre o caos foi feita inicialmente acidentalmente pelo meteorologista, Eduard Lorenz.

O matemático constatou que, mesmo introduzindo grande parte da mesma seqüência no padrão original, o resultado final seria diferente, o chamado por si efeito borboleta.

Este prova que a diferença entre os pontos iniciais de duas curvas distintas é tão pequena que é comparada ao bater das asas de uma borboleta. E o simples movimento daquelas hoje, produz uma pequena alteração nas correntes de ar que poderão realimentar outras na atmosfera que, num determinado espaço de tempo, poderá gerar um efeito diferente do que seria esperado.

Do conceito acima surgiu então que o bater das asas de uma borboleta em Portugal pode provocar um tornado na China, ou fazer com que um tornado na Flórida não aconteça.

O movimento das ações, quaisquer, assim como acontece com a natureza, é determinado por um conjunto de variáveis e fatores. Acontecimentos fundamentais, como a desintegração de um átomo radioativo ou a negociação em estado de "ex-dividend"", passam a ser determinados pelo acaso, aparentemente não por leis precisas e imutáveis. Einstein, numa carta a Max Born, já punha em causa o determinismo da lei em face do caráter aleatório do acaso.

O que acontece é que o ciclo completa-se, mas em um nível diferente (Numa espécie de espiral), pois começamos a descobrir que os sistemas que obedecem a leis precisas e imutáveis nem sempre se comportam de modo regular e previsível. Leis simples podem não produzir comportamento simples e por isso não podemos pensar num mercado simples.

É nesse momento que devemos pensar para além da análise técnica como apresentada por alguns analistas: pura, simples e determinista. Alguns técnicos tornam a análise tão determinista que essa ordem pode gerar o caos.

Leis rígidas podem produzir o comportamento que parece aleatório. Então, devemos analisar o sistema com um conjunto de soluções que nos permitam flexibilizar essa lei determinista e preparar-nos para eventuais erros.

É importante saber ou não, neste caso como a cotação de um título faz determinado movimento. Depois disso, temos de partir para além da das técnicas analíticas convencionais e rígidas. É o momento de se estabelecer “planos” de ação concretos e objetivos. Desta forma, se poderá determinar quais ações deverão ser tomadas no caso do movimento da cotação não seguir o rumo esperado. Os economistas chamam estes processos de: stop loss, stop trailing e objective price.

Os conceitos de previsão, ou de uma experiência reiterável, assumem novos contornos quando vistos sob o prisma da Teoria do Caos, e é assim que vamos aproveitar para mostrar a importância de ir mais além na Análise Técnica.

O que pensamos ser “simples” e “puro” pode tornar-se complicado, e novas e perturbadoras interrogações se levantam a propósito de dimensões, previsibilidade e verificação ou falsificação de teorias. Em contrapartida, podemos tornar o complicado em simples, pois os fenômenos que parecem aleatórios e desprovidos de estrutura ou sentido podem, de fato, obedecer a leis simples. O caos determinista tem as próprias leis, das quais falaremos mais à frente.

A Análise Técnica pode gerar resultados positivos enquanto sua existência e compreensão estiverem enquadradas na vontade do “cérebro humano”. Segundo Eugene Wigner, (que escreveu sobre a eficiência da irracionalidade matemática):

"Talvez a matemática seja eficiente ao representar a linguagem subjacente ao cérebro humano. Talvez os únicos padrões de que nos apercebemos sejam matemáticos, por ela ser o instrumento da nossa percepção. Talvez seja eficiente a organizar a existência física porque é inspirada por existência física. Talvez não existam padrões reais, mas apenas aqueles que nós, de espírito fraco, impomos".

Fonte: "Estudos no Mercado de Capitais", Viana, R. O., ATM 2006.

Ver: Sistemas não-lineares aplicados à análise do mercado

[editar] Idéias básicas

As idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico básico são três:

[editar] Ver também

[editar] Links Externos

Retirado de "http://pt.wikipedia.org../../../t/e/o/Teoria_do_caos.html"

Categorias: Física | Teoria da computação | Teoria do caos