Teorema fundamental do cálculo

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Informações de fundo

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O teorema fundamental do cálculo especifica a relação entre as duas centrais de operações de cálculo , diferenciação e integração .

A primeira parte do teorema, às vezes chamado o primeiro teorema fundamental do cálculo, mostra que um integração indefinido pode ser invertida por uma diferenciação.

A segunda parte, às vezes chamado o segundo teorema fundamental do cálculo, permite calcular a integral definida de uma função usando qualquer um dos seus infinitos antiderivadas. Esta parte do teorema tem aplicações práticas inestimáveis, porque marcadamente simplifica o cálculo de integrais definidas.

A primeira declaração publicada e prova de uma versão restrita do teorema fundamental foi por James Gregory (1638-1675). Isaac Barrow provou a primeira versão completamente geral do teorema, enquanto estudante de Barrow Isaac Newton (1643-1727) completou o desenvolvimento da teoria matemática circundante. Gottfried Leibniz (1646-1716) sistematizaram o conhecimento em um cálculo para as quantidades infinitesimais.

Intuição

Intuitivamente, o teorema indica simplesmente que a soma de variações infinitesimais em uma quantidade ao longo do tempo (ou alguma outra quantidade) somam a mudança líquida na quantidade.

Para compreender esta afirmação, vamos começar com um exemplo. Suponhamos que uma partícula viaja em linha recta com a sua posição dado por x (t) em que t é o tempo e x (t) significa que x é uma função de t. O derivado desta função é igual à variação infinitesimal em quantidade, d x, por variação infinitesimal em tempo, d t (claro, o próprio derivado é dependente do tempo). Vamos definir esta alteração na distância, por mudança no tempo, como a velocidade v da partícula. Em Notação de Leibniz:

$\ Frac {\ mathrm dx} {\ mathrm dt} = v (t).$

Reorganizando a equação, segue-se que:

$\ Mathrm dx = v (t) \, \ mathrm dt.$

Pela lógica acima, uma mudança em x ( $\ Delta x$ ) É a soma de a alterações infinitesimais d x. Também é igual à soma dos produtos infinitesimais de o derivado e tempo. Esta soma infinita é a integração; Assim, a operação de integração permite a recuperação da função original do seu derivado. Como se pode inferir razoavelmente, esta operação funciona em sentido inverso, como podemos diferenciar o resultado da nossa integrante para recuperar o derivado originais.

Declarações formais

Há duas partes para o teorema fundamental do cálculo. Frouxamente colocado, as primeira parte trata com o derivado de um antiderivada, enquanto a segunda parte trata da relação entre antiderivadas e integrais definidas .

Primeira parte

Esta parte é por vezes referido como primeiro teorema fundamental do cálculo.

Seja f uma função real contínua definida em um intervalo fechado [a, b]. Seja F a função definida, para todos os x em [a, b], por

$F (x) = \ int_a ^ x f (t) \, \ mathrm dt$

Então, F é diferenciável em [a, b], e para cada x em [a, b],

$F '(x) = f (x) \,$ .

A operação $\ Int_a ^ x f (t) \, \ dt mathrm$ é um integral definida com um limite superior variável, e o seu resultado F (x) é um dos muitos infinitamente antiderivadas de f.

Segunda parte

Esta parte é por vezes referido como Segundo Teorema Fundamental do Cálculo.

Seja f uma função real contínua definida em um intervalo fechado [a, b]. Seja F um primitiva de f, que é um dos infinitamente muitas funções de tal modo que, para todos os x em [a, b],

$f (x) = f '(x) \,$ .

Em seguida

$\ Int_a ^ b f (x) \, \ mathrm dx = F (b) - F (a)$ .

Corolário

Seja f uma função real definida em um intervalo fechado [a, b]. Seja F uma função tal que, para todo x em [a, b],

$f (x) = f '(x) \,$

Então, para todo x em [a, b],

$F (x) = \ int_a ^ x f (t) \, \ mathrm dt + F (a)$

$f (x) = \ frac {\ mathrm d} {\ mathrm dx} \ int_a ^ xf (t) \, \ mathrm dt$ .

Exemplos

Como exemplo, suponha que você precisa calcular

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx.$

Aqui, $f (x) = x ^ 2$ e podemos usar $F (x) = {x ^ 3 \ 3} sobre$ como a antiderivada. Portanto:

$\ Int_2 ^ 5 x ^ 2 \, \ mathrm dx = F (5) - F (2) = {125 \ over 3} - {8 \ over 3} = {117 \ over 3} = 39.$

Ou, de modo mais geral, suponha que você precisa calcular

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt.$

Aqui, $F (t) = t ^ 3$ e podemos usar $F (t) = {t ^ 4 \ over 4}$ como a antiderivada. Portanto:

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (x) - {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} F (0 ) = {\ mathrm d \ over \ mathrm dx} {x ^ 4 \ over 4} = x ^ 3.$

Mas esse resultado poderia ter sido encontrada mais facilmente como

${\ Mathrm d \ over \ mathrm dx} \ int_0 ^ xt ^ 3 \, \ mathrm dt = f (x) {\ mathrm dx \ over \ mathrm dx} - f (0) {\ mathrm d0 \ over \ mathrm dx } = x ^ 3.$

Prova

Supõe que

$F (x) = \ int_ {a} ^ {X} f (t) \ mathrm dt.$

Haja dois números x ₁ e x ₁ + Δ x em [a, b]. Portanto, temos

$F (x_1) = \ int_ {a} ^ {x_1} f (t) \ mathrm dt$

$F (x_1 + \ Delta x) = \ int_ {a} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt.$

Subtraindo as duas equações dá

$F (x_1 + \ Delta x) - F (x_1) = \ int_ {a} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {x_1} f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (1)$

Pode ser mostrado que

$\ Int_ {a} ^ {x_1} f (t) \ mathrm dt + \ int_ {x_1} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = \ int_ {a} ^ {x_1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

(A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual à área de ambas as regiões combinadas.)

Manipulando esta equação dá

$\ Int_ {a} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt - \ int_ {a} ^ {x_1} f (t) \ mathrm dt = \ int_ {x_1} ^ {x_1 + \ Delta x } f (t) \ mathrm dt.$

Substituindo a equação acima em (1) resulta em

$F (x_1 + \ Delta x) - F (x_1) = \ int_ {x_1} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt. \ Qquad (2)$

De acordo com teorema do valor médio para a integração, existe um c em [x _1, x ₁ + x Δ] tal que

$\ Int_ {x_1} ^ {x_1 + \ Delta x} f (t) \ mathrm dt = f (c) \ Delta x$ .

Substituindo a equação acima em (2) obtemos

$F (x_1 + \ Delta x) - F (x_1) = f (c) \ Delta x \,$ .

Dividindo ambos os lados por Δ x dá

$\ Frac {F (x_1 + \ Delta x) - F (x_1)} {\ Delta x} = f (c).$

Note que a expressão no lado esquerdo da equação é a de Newton quociente de diferença para F em x _1.

Tome o limite como x Δ → 0 em ambos os lados da equação.

$\ Lim _ {\ Delta x \ to 0} \ frac {F (x_1 + \ Delta x) - F (x_1)} {\ Delta x} = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} f (c).$

A expressão do lado esquerdo da equação é a definição do derivado de F em x _1.

$F '(x_1) = \ _ lim {\ Delta x \ de 0} f (c). \ Qquad (3)$

Para encontrar o outro limite, usaremos o espremer teorema. O número c está no intervalo [x _1, x ₁ + x Δ], então x c ₁ ≤ ≤ x ₁ + x Δ.

Além disso, $\ Lim _ {\ Delta x \ to 0} x_1 = x_1$ e $\ Lim _ {\ Delta x \ to 0} x_1 + \ Delta x = x_1$ .

Portanto, de acordo com o teorema de aperto,

$\ Lim _ {\ Delta x \ to 0} c = x_1.$

Substituindo em (3), obtemos

$F '(x_1) = \ lim_ {C \ a x_1} f (c).$

A função f é contínua em c, então o limite pode ser tomada dentro da função. Portanto, temos

$F '(x_1) = f (x_1) \,$ .

que completa a prova.

(Leithold et ai, 1996)

Prova alternativa

Esta é uma prova limite por Riemann resume.

Seja f contínua no intervalo [a, b], e seja F uma antiderivada de f. Comece com a quantidade

$F (b) - F (a) \,$ .

Haja números

x _1, ..., x _n

tal que

$a = x_0 <x_1 <x_2 <\ ldots <x_ {n-1} <b = x_n$ .

Segue que

$F (b) - F (a) = F (x_n) - F (x_0) \,$ .

Agora, podemos adicionar cada F (x _i) juntamente com o seu inverso aditivo, de modo a que a quantidade resultante é igual:

$\ Begin {matriz} F (b) - F (a) & = & F (x_n) \, + \, [- F (x_ {n-1}) \, + \, F (x_ {1} n- )] \, + \, \ ldots \, + \, [- F (x_1) + F (x_1)] \, - \, F (x_0) \, \\ & = & [F (x_n) \, - \, F (x_ {n-1})] \, + \, [F (x_ {n-1}) \, + \, \ ldots \, - \, F (x_1)] \, + \, [ F (x_1) \ - \, F (x_0)] \, \ end {matrix}$

A quantidade acima pode ser escrito como a seguinte soma:

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [F (x_i) - F (x_ {} i-1)] \ qquad (1)$

Em seguida, vamos empregar o teorema do valor médio. Resumidamente,

Seja F contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b). Em seguida, existe alguma c em (a, b) de tal modo que

$F '(c) = \ frac {F (b) - F (a)} {b - a}.$

Segue que

$F '(c) (b - a) = F (b) - F (a). \,$

A função F é diferenciável no intervalo [a, b]; por conseguinte, também é diferenciável e contínua em cada intervalo de _-1 x _i. Portanto, de acordo com o teorema do valor médio (acima),

$F (x_i) - F (x_ {i-1}) = F '(C_I) (x_i - x_ {i-1}). \,$

Substituindo a equação acima em (1), obtemos

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ N [F '(C_I) (x_i - x_ {} i-1)].$

A suposição implica $F '(C_I) = f (C_I).$ Além disso, $x_i - x_ {i-1}$ pode ser expresso como $\ Delta x$ de partição $eu$ .

$F (b) - F (a) = \ sum_ {i = 1} ^ n [f (C_I) (\ Delta x_i)] \ qquad (2)$

Uma sequência convergente de Riemann resume. Os números no canto superior direito são as áreas dos rectângulos cinzentos. Eles convergem para o integral da função.

Observe que estamos descrevendo a área de um retângulo, com os tempos de largura a altura, e estamos adicionando as áreas em conjunto. Cada retângulo, por força da Teorema do Valor Médio, descreve uma aproximação da secção curva que é desenhada sobre. Note também que $\ Delta x_i$ não precisa de ser o mesmo para qualquer valor de $eu$ , Ou, em outras palavras, que a largura dos rectângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a curva com $n$ retângulos. Agora, como o tamanho das partições ficar menor e n aumenta, resultando em mais partições para cobrir o espaço, chegaremos mais e mais perto da área real da curva.

Ao tomar o limite da expressão como a norma das partições se aproxima de zero, chegamos à Integral de Riemann. Isto é, tomamos o limite como a maior das partições se aproxima de zero em tamanho, de modo que todas as outras partições são menores eo número de partições se aproxima do infinito.

Assim, tomamos o limite em ambos os lados (2). Isto dá-nos

$\ Lim _ {\ | \ Delta \ | \ to 0} F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ to 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (C_I) (\ Delta x_i)] \ ,.$

Nem F (b) nem F (a) é dependente || Δ ||, de modo que o limite do lado esquerdo permanece F (b) - F (a).

$F (b) - F (a) = \ lim _ {\ | \ Delta \ | \ to 0} \ sum_ {i = 1} ^ n [f (C_I) (\ Delta x_i)]$

A expressão no lado direito da equação define uma integral sobre f de a até b. Portanto, obtemos

$F (b) - F (a) = \ int_ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm dx$

que completa a prova.

Generalizações

Nós não precisamos assumir a continuidade de f no intervalo todo. Parte I do teorema diz então: Se qualquer f é integrável Lebesgue função em [a, b] e x é um número de ₀ a [a, b] tal que f é contínua em x _0, então

$F (x) = \ int_a ^ x f (t) \, \ mathrm dt$

é diferenciável para x = x ₀ com F '(x ₀₎ = f (x _0). Podemos relaxar as condições de f ainda mais e supor que é apenas localmente integrável. Nesse caso, pode-se concluir que a função F é diferenciável quase todos os lugares e F '(x) = f (x) em quase toda parte. Isso às vezes é conhecido como diferenciação teorema de Lebesgue.

Parte II do teorema é verdadeira para qualquer função integrável Lebesgue f que tem uma antiderivada F (nem todas as funções integráveis fazer, embora).

A versão do teorema de Taylor que expressa o termo de erro como uma integral pode ser visto como uma generalização do teorema fundamental.

Há uma versão do teorema de complexas funções: suponha que U é um conjunto aberto em C ef: U → C é uma função que tem um F antiderivative holomorfa em U. Então para cada curva γ: [a, b] → U, o curva integral pode ser calculado como

$\ Int _ {\ gamma} f (z) \, \ mathrm dz = F (\ gamma (b)) - F (\ gamma (a)).$

O teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais em dimensões superiores e em manifolds .

Uma das declarações mais poderosas nessa direção é Teorema de Stokes.

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