Delta Diraca

Z Wikipedii

Funkcja delta Diraca
Gęstość prawdopodobieństwa Schematyczna reprezentacja funkcji Diraca dla x₀ = 0. Linia ze strzałką jest zwykle używana do umownego zaznaczenia delty Diraca. Wysokość strzałki symbolizuje wartość stałej przemnożonej przez funkcję.
Dystrybuanta Zastosowana "konwencja połowy maksimum", z x₀ = 0
Parametry	$x_0\,$ położenie (liczba rzeczywista)
Nośnik	$x \in \{x_0\}$
Gęstość prawdopodobieństwa	$\delta(x-x_0)\,$
Dystrybuanta	$H(x-x_0)\,$ (funkcja schodkowa Heaviside'a)
Wartość oczekiwana (średnia)	$x_0\,$
Mediana	$x_0\,$
Moda	$x_0\,$
Wariancja	$0\,$
Skośność	(nieokreślona)
Kurtoza	(nieokreślona)
Entropia	$-\infty\,$
Funkcja generująca momenty	$e^{tx_0}\,$
Funkcja charakterystyczna	$e^{itx_0}\,$
Odkrywca	Paul Adrien Maurice Dirac

Delta Diraca – dystrybucja, czyli operator liniowy działający na pewnej przestrzeni funkcyjnej zdefiniowany jako:

$\delta(f)=\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x) \, dx = f(0)$

Obiekt ten wprowadził brytyjski fizyk teoretyczny Paul Dirac. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości; jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace'a $F (s) = 1$ i pochodną funkcji skokowej Heaviside'a.

[edytuj] Reprezentacje

Niektóre informacje zawarte w artykule wymagają weryfikacji.
Do weryfikacji: Jeśli przyjmuje wartość $\infty$ , to nie zupełnie funkcjonał. Należy też powiedzieć co autor rozumiem pod pojęciem pseudofunkcji.

[edytuj] Funkcja impulsowa

Delta Diraca (albo funkcja impulsowa) to funkcjonał (pseudofunkcja) o następującej definicji: $δ(x) = 0$ , gdy $x$ różne od zera albo plus nieskończoność, gdy $x$ równe zero i dodatkowo wartość całki wynosi:

$\int\limits_a^b {\delta (x)dx} = \left\{\begin{matrix} 0 \ \mathrm{ dla }\ x \not \in [a,b] \\ 1 \ \mathrm{ dla }\ x \in [a,b] \end{matrix}\right.$

Delta Diraca jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce - do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). . W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili t=0, o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1. Jest to definicja inżynierska tego obiektu.

[edytuj] Granica funkcji

Deltę Diraca można reprezentować jako granicę funkcji $\mathbb R^2 \ni (t,h)\mapsto f(t,h)\in \mathbb R$ :

$\delta (t)=\lim_{h\to 0}f(t,h)$

gdzie $f (t, h)$ może być wyrażona na wiele sposobów, np.:

$f(t,h)=\begin{cases} \frac{1}{h} & \mbox{dla }-h/2<t<h/2 \\ 0 & \mbox{dla } t\le -h/2 \mbox{ lub } t\ge h/2 \end{cases}$
$f(t,h)= \frac{1}{h\sqrt \pi}e^{ -t^2/h^2}$ ,
$f(t,h)= \frac{h/\pi}{t^2+h^2}$ .

[edytuj] Rozkład gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej

Dystrybucję Diraca można też uważać za funkcję rozkładu gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej pewnej (tzn. takiej, której realizacja jest zawsze taka sama). Inaczej mówiąc rozkład delty Diraca jest granicą dowolnego innego rozkładu gęstości prawdopodobieństwa $f (x)$ zmiennej losowej, której wariancja $σ 2$ zmierza do zera:

$\delta (x-\mu) = \lim_{\sigma^2\to 0} f(x)$ ,

gdzie $μ$ jest wartością oczekiwaną (wartością średnią) i zarazem jedyną możliwą realizacją zmiennej losowej $X$ .

[edytuj] Własności

Wprost z definicji delty Diraca, wynika wiele ważnych własności matematycznych. Najważniejsze to:

$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(x - a ) \, dx = \int_{-\infty}^\infty f(a) \delta(x - a ) \, dx = f(a)$ ,
$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-a) \, \delta(x-b) \, dx = \delta(a-b)$ ,
$δ( - x) = δ(x)$ ,
$\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$ ,
$\delta(x^{2} - a^{2}) = \frac{1}{2|a|} \left[ \delta(x-a) + \delta(x+a) \right]$ .