Dwójłomność

Z Wikipedii

"Podwójny" obraz widziany przez dwójłomny kryształ kalcytu

Dwójłomność jest zdolnością ośrodków optycznych do podwójnego załamywania światła (rozdwojenia promienia świetlnego). Substancje dla których zjawisko zachodzi nazywamy substancjami dwójłomnymi.

Zjawisko dwójłomności odkrył w 1669 roku Rasmus Bartholin, wyjaśnił Augustin J. Fresnel w pierwszej połowie XIX w wieku. Dwójłomność wykazuje wiele substancji krystalicznych, a także wszystkie ciekłe kryształy. Przykładami substancji dwójłomnych mogą być kryształy rutylu i kalcytu.

Terminem tym określa się także różnice między współczynnikiem załamania promienia nadzwyczajnego $n e$ , a współczynnikiem załamania promienia zwyczajnego $n o$ .

$\Delta n=n_e-n_o \,$

[edytuj] Wyjaśnienie

Schemat 1. Rozdzielenie się promienia padającego prostopadle na powierzchnię dwójłomnego, jednoosiowego kryształu

Schemat 2. Zasada działania płytek ćwierć i półfalowych. Oś optyczna kryształu skierowana jest równolegle do powierzchni kryształu. Promień pada prostopadle do tej powierzchni. Po wejściu do kryształu, składowe promieniowania o różnych polaryzacjach rozchodzą się w nim z różnymi prędkościami, ale po tej samej drodze. Następuje więc przesunięcie jednej polaryzacji względem drugiej.

Schemat 3. Wyjaśnienie podwójnego załamania za pomocą zasady Huygensa. Należy zauważyć, że jest to przypadek szczególny - promień nadzwyczajny leży w płaszczyźnie padania.

Zjawisko wynika z faktu, że substancja jest anizotropowa, co oznacza że współczynniki przenikalności elektrycznej ε i wynikająca z niego prędkość światła, a co za tym idzie współczynnik załamania światła, w krysztale zależą od kierunku drgań pola elektrycznego fali elektromagnetycznej (polaryzacji fali).

W krysztale takim istnieje oś optyczna, jest to kierunek w którym światło biegnąc nie rozdziela się na dwa promienie, ponieważ prędkość światła jest taka sama dla wszystkich możliwych polaryzacji fali biegnącej w tym kierunku. Kierunek tej osi nie zależy od kształtu kryształu. Istnieją kryształy jedno i dwuosiowe.

Wprowadza się pojęcie: płaszczyzna główna, jest to płaszczyzna przechodząca przez dany promień światła i przecinającą go oś optyczną. Innymi słowy jest to płaszczyzna wyznaczona przez dwie proste - zawierającą promień światła oraz oś optyczną. Na schematach jest to płaszczyzna rysunku.

[edytuj] Przyczyny mikroskopowe

Istnienie dwójłomności (osi optycznej) w krysztale wynika z jednakowego kierunku ustawienia jego anizotropowych cząsteczek. Cząsteczki takiego kryształu mają zazwyczaj wydłużony kształt i ułożone są w krysztale regularnie. W takim ujęciu oś optyczna jest to kierunek osi symetrii tych cząstek. Zjawisko dwójłomności może się także pojawić pod wpływem czynników zewnętrznych, jak pole elektryczne (Elektrooptyczne zjawisko Kerra, pole magnetyczne (Zjawisko Faradaya (zjawisko magnetooptyczne)), fala elektromagnetyczna (optyczne zjawisko Kerra). Wynika to z faktu, że anizotropowe cząsteczki nie są ułożone regularnie, ale mogą posiadać ładunki na swoich końcach (są dipolami), wtedy pod wpływem pola elektrycznego układają się odpowiednio do niego, zjawisko wykorzystywane jest w ekranach LCD. Nieuszeregowane cząsteczki mogą być także uporządkowane pod wpływem ściskania lub rozciągania materiału (tak jak prostują się pozwijane nitki kiedy są rozciągane).

[edytuj] Promień zwyczajny i nadzwyczajny

W krysztale jednoosiowym podczas załamania promień wchodzący do kryształu rozdziela się na dwa, jeden z nich jest to promień promień zwyczajny, spełnia on prawo Snelliusa, leży on w płaszczyźnie padania, oznaczany jest symbolem o (ang. ordinary). Dla tego promienia kierunek drgań pola elektrycznego jest prostopadły do jego płaszczyzny głównej.

Drugi promień to promień nadzwyczajny, nazywa się go tak, bo w ogólności nie spełnia on prawa Snelliusa, oznacza się go przez e (fra. extraordinaire). Promień ten nie musi leżeć w płaszczyźnie padania, może się także załamać, gdy promień pada prostopadle do powierzchni kryształu. To w jaki sposób zmieni on kierunek przy takim padaniu, zależy od kierunku osi optycznej w krysztale. Nie załamie się kiedy oś optyczna jest prostopadła lub równoległa do powierzchni na którą pada promień. Dla promienia nadzwyczajnego kierunek drgań pola elektrycznego jest równoległy do jego płaszczyzny głównej. Warto zauważyć, że ponieważ płaszczyzny główne obu promieni mogą być inne, polaryzacje obu promieni nie muszą być do siebie prostopadłe.

W krysztale dwuosiowym oba promienie zachowują się jak promienie nadzwyczajne.

[edytuj] Zasada Huygensa a dwójłomność

Zasada Huygensa w krysztale dwójłomnym jednoosiowym jest spełniona, z tą uwagą, że dla promieni nadzwyczajnych punkty nie emitują fal kulistych, ale fale eliposoidalne. Jest to elipsoida z osią symetrii wyznaczoną przez oś optyczną przechodzącą przez emitujący punkt. Wynika to z faktu, że prędkość światła dla promienia nadzwyczajnego jest różna w różnych kierunkach. Dla promienia zwyczajnego jest taka sama we wszystkich kierunkach, emitowana jest więc fala kulista. Jeśli prędkość światła promienia nadzwyczajnego wzdłuż prostej prostopadłej do osi optycznej, jest mniejsza od prędkości światła promienia zwyczajnego, to kryształ jest optycznie dodatni. Widać, że wtedy współczynniki załamania promienia nadzwyczajnego $n e$ jest większy od współczynnika promienia zwyczajnego $n o$ . Jeśli ta prędkość jest większa to kryształ jest optycznie ujemny, a $n_e \leq n_o$ . Dzięki zasadzie Huygensa widać też, dlaczego prawo Snelliusa nie jest spełnione dla promienia nadzwyczajnego i dlaczego może się on załamać padając prostopadle na powierzchnię kryształu.

Dla kryształu dwuosiowego emitowane są elipsoidy o trzech różnych osiach, dla nich podaje się trzy różne współczynnik załamania (dwa wzdłuż obu osi i jeden dla kierunku prostopadłego do nich).

[edytuj] Oznaczenia użyte w schematach

Najcieńsza linia wskazuje kierunek osi optycznej kryształu.
Kropki i kreski symbolizują kierunek polaryzacji fali elektromagnetycznej, kropki to polaryzacja prostopadła do powierzchni rysunku, a kreski to polaryzacja równoległa.
Linie przerywane symbolizują czoło fali.
Okręgi i elipsy to przykładowe fale cząstkowe narysowane aby ukazać działanie zasady Huygensa.

[edytuj] Wyprowadzenie z równań Maxwella

Najogólniej dwójłomność można określić przyjmując, że współczynnik przenikalności elektrycznej i współczynnik załamania światła są tensorami. Bazą są tu wektory własne, co nie zmniejsza ogólności równań

$\mathbf{\epsilon}=\begin{bmatrix} n_x^2 & 0 & 0 \\ 0& n_y^2 & 0 \\ 0& 0& n_z^2 \end{bmatrix} \,.$ (1)

Rozważmy rozchodzenie się w takim ośrodku fali płaskiej:

$\mathbf{E=E_0}\exp i(\mathbf{k \cdot r}-\omega t) \,,$ (2)

gdzie r promień wektora wodzącego, a t to czas. Wtedy wektor falowy k i pulsacja fali ω, muszą spełnić równania Maxwella

$-\nabla \times \nabla \times \mathbf{E}=\frac{1}{c^2}\mathbf{\epsilon} \cdot \frac{\part^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$ (3a)

$\nabla \cdot \mathbf{\epsilon} \cdot \mathbf{E} =0$ (3b)

gdzie c to prędkość światła w próżni. Podstawienie równania (2) do 3a-b prowadzi do następujących warunków:

$|\mathbf{k}|^2\mathbf{E_0}-\mathbf{(k \cdot E_0) k}= \frac{\omega^2}{c^2} \mathbf{\epsilon} \cdot \mathbf{E_0}$ (4a)

$\mathbf{k} \cdot \mathbf{\epsilon} \cdot \mathbf{E_0} =0$ (4b)

Aby znaleźć dozwolone wartości k, podstawiamy ε i rozpisujemy wektory E₀ i k w bazie ε:

$\mathbf{E_0}=(E_x,E_y,E_z)$

$\mathbf{k}=(k_x,k_y,k_z)$

Wtedy równanie 4a rozkłada się na układ równań:

$(-k_y^2-k_z^2+\frac{\omega^2n_x^2}{c^2})E_x + k_xk_yE_y + k_xk_zE_z =0$ (5a)

$k_xk_yE_x + (-k_x^2-k_z^2+\frac{\omega^2n_y^2}{c^2})E_y + k_yk_zE_z =0$ (5b)

$k_xk_zE_x + k_yk_zE_y + (-k_x^2-k_y^2+\frac{\omega^2n_z^2}{c^2})E_z =0$ (5c)

Będzie on miał rozwiązanie jeśli wyznacznik macierzy będzie równy zero:

$\det\begin{bmatrix} (-k_y^2-k_z^2+\frac{\omega^2n_x^2}{c^2}) & k_xk_y & k_xk_z \\ k_xk_y & (-k_x^2-k_z^2+\frac{\omega^2n_y^2}{c^2}) & k_yk_z \\ k_xk_z & k_yk_z & (-k_x^2-k_y^2+\frac{\omega^2n_z^2}{c^2}) \end{bmatrix} =0\,.$ (6)

Po przekształceniu:

$\frac{\omega^4}{c^4} + \frac{\omega^2}{c^2}\left(\frac{k_x^2+k_y^2}{n_z^2}+\frac{k_x^2+k_z^2}{n_y^2}+\frac{k_y^2+k_z^2}{n_x^2}\right) + \left(\frac{k_x^2}{n_y^2n_z^2}+\frac{k_y^2}{n_x^2n_z^2}+\frac{k_z^2}{n_x^2n_y^2}\right)(k_x^2+k_y^2+k_z^2)=0\,.$ (7)

Dla kryształów jednoosiowych, gdzie n_x=n_y=n_o i n_z=n_e, można to równania przekształcić do:

$\left(\frac{k_x^2}{n_o^2}+\frac{k_y^2}{n_o^2}+\frac{k_z^2}{n_o^2} -\frac{\omega^2}{c^2}\right)\left(\frac{k_x^2}{n_e^2}+\frac{k_y^2}{n_e^2}+\frac{k_z^2}{n_o^2} -\frac{\omega^2}{c^2}\right)=0\,.$ (8)

Pierwsza część równania definiuje sferę - tak rozchodzi się promień normalny, druga część to elipsoida - tak rozchodzi sie promień nadzwyczajny.

Dla substancji dwuosiowych równanie (7) nie może być przekształcone w taki sposób i opisuje bardziej skomplikowaną parę powierzchni.

[edytuj] Przykłady substancji dwójłomnych

Dane dla światła o długości fali około 590 nm (okolice światła żółtego),

Substancja jednoosiowa	n_o	n_e	Δn
beryl	1,602	1,557	-0,045
kalcyt CaCO₃	1,658	1,486	-0,172
kalomel Hg₂Cl₂	1,973	2,656	+0,683
lód H₂O	1,309	1,313	+0,014
niobian litu LiNbO₃	2,272	2,187	-0,085
fluorek magnezu MgF₂	1,380	1,385	+0,006
kwarc SiO₂	1,544	1,553	+0,009
rubin Al₂O₃	1,770	1,762	-0,008
rutyl TiO₂	2,616	2,903	+0,287
perydot	1,690	1,654	-0,036
szafir Al₂O₃	1,768	1,760	-0,008
azotan sodu NaNO₃	1,587	1,336	-0,251
turmalin	1,669	1,638	-0,031
cyrkon, (wsp. maksymalny) ZrSiO₄	1,960	2,015	+0,055
cyrkon, (wsp. minimalny) ZrSiO₄	1,920	1,967	+0,047

Substancja dwuosiowa	$n α$	$n β$	$n γ$
boraks	1,447	1,469	1,472
sól gorzka MgSO₄·7(H₂O)	1,433	1,455	1,461
mika, biotyt	1,595	1,640	1,640
mika, muskowit	1,563	1,596	1,601
oliwin (Mg, Fe)₂SiO	1,640	1,660	1,680
perowskit CaTiO₃	2,300	2,340	2,380
topaz	1,618	1,620	1,627
uleksyt	1,490	1,510	1,520

[edytuj] Zastosowanie

Zjawisko znajduje zastosowanie w produkcji materiałów polaryzujących (np. pryzmatu Nicola), między innymi półfalówek, ćwierćfalówek i ekranów LCD. Dwójłomność odgrywa także dużą rolę w optyce nieliniowej (może być wywołana poprzez duże natężenie światła).

Dwójłomność minerałów ma zasadniczy wpływ (obok grubości preparatu) na ich barwy interferencyjne obserwowane w tzw. płytkach cienkich (preparatach mikroskopowych o grubości 0.02 mm, wykorzystywanych przez geologów i petrologów). Określenie rodzaju barw interferencyjnych i dwójłomności umożliwia identyfikację minerałów w płytkach cienkich ^[1].

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

[edytuj] Zobacz też:

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Dwójłomność

[edytuj] Bibliografia

B.M Jaworski, A.A. Dietłaf Fizyka - Poradnik encyklopedyczny rozdział V 4.2
Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands Feynmana Wykłady z Fizyki, Tom I, Część 2

Przypisy

↑ T.Penkala: Zarys Krystalografii. 1983.

We provide Linux to the World