Wikipedysta:Loxley/Dystrybuanta

Z Wikipedii

Dystrybuanta - w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce i dziedzinach pokrewnych, funkcja opisująca prawdopodobieństwa wystąpienia pewnego zdarzenia losowego. Każda dystrybuanta jest wyznaczona przez pewien rozkład na prostej (czyli miarę określoną na σ-ciele borelowskich podzbiorów prostej) i odwrotnie każda dystrybuanta wyznacza pewien rozkład. Dystrybuanty są efektywnym narzędziem badania prawdopodobieństwa z jakim zmienne losowe przyjmują dane wartości. Rozważa się również dystrybuanty rozkładów wielowymiarowych.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności
3 Przykłady
4 Gęstość i funkcja charakterystyczna dystrybuanty
- 4.1 Gęstość
  - 4.1.1 Własności
  - 4.1.2 Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości
- 4.2 Funkcja charakterystczna
5 Zbieżność a ciągłość
6 Dystrybuanty zmiennych losowych
7 Przypisy
8 Bibliografia

[edytuj] Definicja

Niech $P$ będzie rozkładem na prostej. Funkcję $F\colon\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ daną wzorem

$F(x)=P((-\infty, x])$

nazywamy dystrybuantą (rozkładu $P$ ).

[edytuj] Własności

Funkcja $F\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

prawostronnie ciągła,
niemalejąca,
$\lim_{x\to-\infty}F(x)=0$ , $\lim_{x\to\infty}F(x)=1$ .

Uwaga 1: Ponieważ powyższe twierdzenie podaje warunek konieczny i wystarczający na to by funkcja była dystrybuantą, więc czasami to właśnie je przyjmuje się jako definicję. Podejście takie może być korzystniejsze, gdyż nie trzeba odwoływać się do pojęcia rozkładu, pochodzącego z teorii miary. Ponieważ przyjęliśmy definicję używaną częściej w praktyce, więc zdanie "funkcja $F$ jest dystrybuantą wtedy i tylko wtedy" zawiera ciche założenie, że istnieje rozkład, którego ta funkcja jest dystrybuantą.

Uwaga 2: W starszej rosyjskiej literaturze dystrybuantę definiuje się jako funkcję lewostronnie ciągłą spełniającą warunki 2. i 3. Czytelnik powinien zawsze upewnić się jaką definicję przyjmuje autor książki. Różnica ta jest istotna przy rozważaniu rozkładów dyskretnych, ponieważ w ich przypadku zbiory jednoelementowe nie muszą być miary zero.

Uwaga 3: Dystrubanta $F$ wyznacza pewien rozkład $P$ jednoznacznie i na odwrót, więc gdy zachodzi potrzeba całkowania pewnej funkcji borelowskiej $g$ względem rozkładu $P$ , to możemy mówić, że całkujemy ją względem dystrybuanty $F$ , co zapisujemy:

$\int g dP= \int g dF$ .

[edytuj] Przykłady

Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych o różnych parametrach.

Dystrybuanta rozkładu jednostajnego $\mathcal{U}(a,b)$ .

$F(x) = \begin{cases} 0 & \textrm{dla\ } x\leq a \\ {{x-a} \over {b-a}} & \textrm{dla\ } a < x \leq b \\ 1 & \textrm{dla\ } x>b \end{cases}$

Dystrybuanta rozkładu normalnego o parametrach $μ$ i $σ 2$ .

$F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \frac{1} {\sigma\sqrt{2\pi} } e^{-(u-\mu)^2 \over (2\sigma^2)}\,du$ .

Dystrybuanta rozkładu wykładniczego o parametrze $λ$

$F(x) = \left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\lambda x},&\; x \ge 0, \\ 0, &\; x < 0. \end{array}\right.$

[edytuj] Gęstość i funkcja charakterystyczna dystrybuanty

Zobacz też: gęstość prawdopodobieństwa, funkcja charakterystyczna.

[edytuj] Gęstość

Mierzalną w sensie Lebesgue'a funkcję $f\colon \mathbb{R}\to [0,\infty)$ nazywamy gęstością dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla $x\in\mathbb{R}$ :

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x f(t)dt$ .

[edytuj] Własności

Jeżeli $f$ jest gęstością pewnej dystrybuanty, to całka z $f$ po całej prostej wynosi $1$ .
Jeżeli $f 1$ i $f 2$ są gęstościami pewnej dystrybuanty, to są one równe prawie wszędzie.
Jeżeli dystrybuanta ma gęstość, to jest funkcją ciągłą.
Każda dystrybuanta, jako funkcja monotoniczna jest prawie wszędzie różniczkowalna.
Jeśli dystrybuanta $F$ ma gęstość, to dla $x\in\mathbb{R}$ :

$F(x)=\int\limits_{-\infty}^x F^\prime(t)dt$ .

Gęstość dystrybuanty ma praktyczne zastosowanie: Jeśli $F$ jest dystrybuantą rozkładu $P$ , to często zachodzi konieczność całkowania względem miary $P$ . Całkowanie względem abstrakcyjnych miar jest dość trudne (brak konkretnych narzędzi do obliczania całek), jednak jeśli $f$ jest gęstością dystrybuanty $F$ , to

$\int\limits_Bg(x)dP(x)=\int\limits_Bg(x)f(x)dx$ ,

dla każdego zbioru borelowskiego $B\subseteq \mathbb{R}$ i dla każdej funkcji borelowskiej $g$ przyjmującej wartości w $\mathbb{R}, \overline{\mathbb{R}}, \mathbb{C}, \mathbb{R}^M$ dla pewnej liczby naturalnej $M$ .

[edytuj] Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

Istnieją ciągłe dystrybuanty nie mające gęstości! Klasycznym przykładem jest

$F(x)=\left\{\begin{array}{l}0,\; x<0\\ C(x),\; x\in [0,1] \\ 1,\; x>1\end{array}\right.$ ,

gdzie $C (x)$ oznacza funkcję Cantora. $C (x)$ jest prawie wszędzie stała, monotoniczna, ciągła i przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $[0,1]$ . Dystrybuanta $F$ nie może mieć zatem gęstości ponieważ $F^\prime=0$ prawie wszędzie.

[edytuj] Funkcja charakterystczna

Jeżeli $F$ jest dystrybuantą, to funkcję $\varphi\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ określoną wzorem

$\varphi(t)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}dF(x)$

nazywamy funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$ .

Jeżeli $\varphi$ jest funkcją charakteryczyczną pewnej dystrybuanty, to jest ona funkcją jednostajnie ciągłą oraz

$\varphi(0)=1$ ,
$\varphi(-t)=\overline{\varphi(t)}$ dla $t\in\mathbb{R}$ ,
$|\varphi(t)|\leq 1$ dla $t\in\mathbb{R}$ .

Jednym z praktycznych zastosowań funkcji charakterystycznej jest tzw. wzór na odwrócenie, dokładniej, jeśli $\varphi$ jest funkcją charakterystyczną dystrybuanty $F$ , a $x, y$ są punktami ciągłości tej dystrybuanty, to

$F(x)-F(y)=\lim_{a\to\infty}\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-a}^a\frac{e^{-ity}-e^{-itx}}{it}\varphi(t)dt$ .

Dowód tego faktu opiera się o twierdzenie Fubiniego.

Funkcje charakterystyczne wyznaczają jednoznacznie dystrybuanty, tzn. jeśli dystrybuanty mają te same funkcje charakterystyczne, to są równe. Funkcje charakterystyczne mówią także o własnościach dystrybuanty, związanych z gładkością - dokładniej, jeśli funkcja charakterystyczna jest całkowalna, to dystrybuanta jest klasy $C 1$ .

[edytuj] Zbieżność a ciągłość

Dla ciągów dystrybuant wprowadza się dodatkowy rodzaj zbieżności. Mówimy, że ciąg dystrybuant $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n\to\infty}F_n(x)=F(x)$

dla każdego $x\in\mathbb{R}$ , będącego punktem ciągłości dystrybuanty $F$ .

Jeżeli ciąg dystrybuant jest słabo zbieżny, to do dokładnie jednej dystrybuanty. Ważnym twierdzeniem dotyczącym słabej zbieżności jest twierdzenie Helly'ego:

[edytuj] Twierdzenie Helly'ego

Jeżeli ciąg dystrybuant $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ a $g\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ jest ograniczoną funkcją ciągłą, to

$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}}g(x)dF_n(x)=\int\limits_{\mathbb{R}}g(x)dF(x)$ .

Wnioskiem z twierdzenia Helly'ego jest fakt, że jeśli $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych oraz $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do dystrybuanty $F$ , to ciąg $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do funkcji charakterystycznej funkcji $F$ .

[edytuj] Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

Niech $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem dystrybuant, a $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ będzie ciągiem odpowiadająych im funkcji charakterystycznych. Jeżeli ciąg $(\varphi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest punktowo zbieżny do ciągłej w zerze funkcji $\varphi\colon \mathbb{R}\to\mathbb{C}$ , to ciąg $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do pewnej dystrybuanty i $\varphi$ jest jej funkcją charakterystyczną.

Na mocy powyższego twierdzenia można sformułować wniosek, że ciąg dystrybuant $(F_n)_{n\in\mathbb{N}}$ jest słabo zbieżny do dystrybuanty $F$ wtedy i tylko wtedy, gdy

$\lim_{n\to\infty}\int\limits_{\mathbb{R}}g(x)dF_n(x)=\int\limits_{\mathbb{R}}g(x)dF(x)$

dla każdej ograniczonej funkcji ciągłej $g$ .

[edytuj] Zbieżność jednostajna

Każdy ciąg dystrybuant zbieżny punktowo do dystrybuanty ciągłej jest zbieżny do niej jednostajnie. Fakt ten można udowodnić w oparciu o jednostajną ciągłość dystrybuanty ciągłej.

[edytuj] Dystrybuanty zmiennych losowych

Niech $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną. Jeśli $\xi\colon \Omega \to \mathbb{R}$ jest zmienną losową, to wzór

$F_\xi(x)=P(\{x\in \mathbb{R}\colon\, \xi(x)\leq x\})$ ^[1]

określa dystrybuantę $F ξ$ , którą nazywamy dystrybuantą zmiennej $ξ$ .

Każda zmienna losowa wyznacza pewną dystrybuantę oraz każda dystrybuanta jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej.

Przypisy

↑ W praktyce stosuje się zapis $\scriptstyle{P(\{x\in \mathbb{R}\colon\, \xi(x)\leq x\})=P(\xi(x)\leq x)}$ albo nawet $\scriptstyle{P(\xi \leq x)}$ .

[edytuj] Bibliografia

Patrick Billingsley: Probability and Measure, 2nd Edition. Nowy Jork: John Wiley & Sons Inc, 1986.
Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.

We provide Linux to the World

Wikipedysta:Loxley/Dystrybuanta

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Gęstość i funkcja charakterystyczna dystrybuanty

[edytuj] Gęstość

[edytuj] Własności

[edytuj] Ciągłość dystrybuanty a istnienie gęstości

[edytuj] Funkcja charakterystczna

[edytuj] Zbieżność a ciągłość

[edytuj] Twierdzenie Helly'ego

[edytuj] Twierdzenie Lévy'ego-Craméra

[edytuj] Zbieżność jednostajna

[edytuj] Dystrybuanty zmiennych losowych

Przypisy

[edytuj] Bibliografia

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj