Miara Diraca

Z Wikipedii

Miara Diraca – w matematyce miara określona przypisująca wybranemu jednoelementowemu podzbiorowi przestrzeni mierzalnej wartość $1$ .

[edytuj] Definicja

Niech $(X,{\mathfrak M})$ przestrzenią mierzalną oraz niech $x \in X$ . Definujemy miarę $δ x$ na tej przestrzeni przez

$\delta_x(A) = \begin{cases} 0, & x \notin A, \\ 1, & x \in A \end{cases}$

dla dowolnego zbioru mierzalnego $A \in {\mathfrak M}$ .

Miara Diraca jest unormowana, czyli jest miarą probabilistyczną, i w języku prawdopodobieństwa reprezentuje prawie pewne wybranie $x$ z przestrzeni próbek $X$ . Można powiedzieć także, że miara jest pojedynczym atomem w $x$ ; jednakże traktowanie miary Diraca jako miary atomowej nie jest poprawne, jeśli korzysta się z ciągowej definicji delty Diraca jako granicy ciągu delta. Miary Diraca są punktami ekstremalnymi zbioru wypukłego miar prawdopodobieństwa na $X$ .

Nazwa została ukuta później od funkcji delta Diraca, rozpatrywanej jako dystrybucji Schwartza, przykładowo na prostej rzeczywistej; miary można uważać za specjalne rodzaje dystrybycji. Tożsamość

$\int\limits_X~f(y) \, \mathrm{d} \delta_x(y) = f(x)$ ,

która w postaci

$\int\limits_X~f(y) \delta_x y \, \mathrm{d}(y) = f(x)$

brana jest często jako część definicji „funkcji delta”, jest prawdziwa jako twierdzenie teorii całki Lebesgue'a.

[edytuj] Własności

Niech $δ x$ oznacza miarę Diraca określoną w pewnym punkcie $x$ przestrzeni mierzalnej $(X, \mathfrak M)$ .

$δ x$ jest miarą unormowaną, stąd skończoną.

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną, a $\mathfrak M$ będzie σ-ciałem podzbiorów $X$ zawierającym wszystkie borelowskie podzbiory $X$ .

$δ x$ jest miarą ściśle dodatnią wtedy i tylko wtedy, gdy topologia $τ$ jest taka, że $x$ leży wewnątrz każdego zbioru otwartego, np. w przypadku topologii trywialnej $\{\varnothing, X\}$ .
Ponieważ $δ x$ jest miarą unormowaną, jest również lokalnie skończona.
Jeżeli $X$ jest przestrzenią topologiczną Hausdorffa ze swoją σ-algebrą borelowską, to $δ x$ spełnia warunek bycia miarą wewnętrzną regularną, ponieważ zbiory jednoelementowe, takie jak ${x}$ , są zawsze zwarte. Stąd $δ x$ jest również miarą Radona.
Jeśli zbiór ${x}$ jest domknięty w topologii $τ$ , to nośnikiem $δ x$ jest ${x}$ . (W przeciwnym wypadku $\operatorname{supp}(\delta_x)$ jest domknięciem ${x}$ w $(X,τ)$ .) Co więcej, $δ x$ jest jedyną miarą probabilistyczną, której nośnikiem jest ${x}$ .
Jeżeli $X$ jest $n$ -wymiarową przestrzenią euklidesową $\mathbb R^n$ z $σ$ -algebrą zbiorów borelowskich oraz $n$ -wymiarową miarą Lebesgue'a $λ n$ , to $δ x$ jest miarą osobliwą względem $λ n$ : należy po prostu rozłożyć $\mathbb R^n$ na $A = \mathbb R^n \setminus \{x\}$ oraz $B = {x}$ i zabserwować, że $δ x (A) = λ n (B) = 0$ .