Test Wilcoxona dla par obserwacji

Z Wikipedii

Test Wilcoxona dla par obserwacji jest nieparametryczną alternatywą dla testu t-Studenta dla przypadku dwóch równolicznych próbek dających się połączyć w pary. Często używa się tego testu do porównywania danych zebranych przed i po eksperymencie, w celu zbadania, czy nastąpiła istotna statystycznie zmiana.

Spis treści 1 Porównanie z testem t-Studenta 2 Dane 3 Założenia 4 Wyliczanie statystyki Wilcoxona 5 Właściwości statystyki Wilcoxona 6 Historia 7 Zobacz też 8 Źródła 9 Linki zewnętrzne 9.1 Implementacje

[edytuj] Porównanie z testem t-Studenta

O ile test t-Studenta sprawdza hipotezę zerową o równości średnich arytmetycznych w odpowiadających im populacjach, test Wilcoxona weryfikuje równość median.

Tak jak test t-Studenta, test Wilcoxona bazuje na różnicach pomiędzy wartościami cech z porównywanych zbiorów, stąd również wymaga zmiennych na skali interwałowej. W przeciwieństwie jednak do testu t-Studenta, nie posiada założeń dotyczących rozkładu próby. Może zatem być używany w sytuacjach, gdy założenia testu t-Studenta nie są spełnione.

[edytuj] Dane

Załóżmy, że zebraliśmy 2n obserwacji, po dwie dla każdego z n przypadków. Niech i będzie indeksem danego przypadku, x_i będzie pierwszą, a y_i drugą obserwacją przypadku i.

[edytuj] Założenia

1. Niech dla . Zakłada się, że różnice są niezależne.
2. Każda różnica pochodzi z populacji o identycznym ciągłym rozkładzie, symetryczny względem wspólnej mediany

[edytuj] Wyliczanie statystyki Wilcoxona

Testowaną hipotezą zerową jest:

Algorytm wyliczania statystyki testu Wilcoxona:

• Wyliczenie różnic d_i
• Uporządkowanie wartości bezwzględnych
• Rangowanie tak otrzymanego zbioru. Oznaczamy rangi przez R_i. Rangi związane uzyskują wartość średnią (zob. ranga).
• Statystyka W ⁺ jest zdefiniowana jako suma rang R_i dla których d_i > 0

Niekiedy wykonuje się dalsze kroki:

• Analogicznie obliczana jest statystyka W ⁻ , czyli suma rang dla których d_i < 0
• Statystyka S jest obliczana jako:

[edytuj] Właściwości statystyki Wilcoxona

Właściwości statystyki W ⁺ :

• wartość oczekiwana:

• wariancja:

• Dla dowolnej liczby :

gdy

Do obliczenia p-wartości dla prób o małej liczności (zwykle przyjmuje się ) korzysta się z tablic statystycznych. Dla dużych prób, używa się przybliżenia rozkładem normalnym, z parametrami podanymi powyżej.

[edytuj] Historia

Twórcą testu był Frank Wilcoxon (1892–1965), który zaproponował go w jednym artykule (Wilcoxon, 1945) z innym testem, zwanym obecnie testem Manna-Whitneya-Wilcoxona.

Test Wilcoxona był spopularyzowany przez Siegla (1956) w jego wpływowym podręczniku statystyki nieparametrycznej. Siegel używał symbolu T dla wielkości oznaczanej powyżej przez S. W konsekwencji test czasami jest nazywany testem T Wilcoxona, a statystyka testowa jest podawana jako wartość T.

[edytuj] Zobacz też

• test t-Studenta
• test Manna-Whitneya-Wilcoxona (wersja dla dwóch próbek)
• test znaków

[edytuj] Źródła

• Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, ss. 467-471. 
• Sidney Siegel: Non-parametric statistics for the behavioral sciences. Nowy York: McGraw-Hill, 1956. 
• Frank Wilcoxon: Individual comparisons by ranking methods. Biometrics, 1945, ss. 1, 80-83. .

[edytuj] Linki zewnętrzne

• (en) Metoda wyliczania p dla testu Wilcoxona
• (en) Przykład zastosowania testu Wilcoxona
• (en) Wersja testu online

[edytuj] Implementacje

• ALGLIB zawiera implementację testu Wilcoxona w C++, C#, Delphi, Visual Basicu, itp.