Dyfeomorfizm

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami unormowanymi oraz $D$ niepustym podzbiorem $X$ . Przekształcenie $F\colon D \to Y$ nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli

$D$ oraz jego obraz $F (D)$ są zbiorami otwartymi (czyli $F$ jest odwzorowaniem otwartym),
$F$ jest funkcją odwracalną,
$F$ i $F - 1$ są klasy $C 1$ .

Z powyższej definicji wynika, że jeśli $F$ jest dyfeomorfizmem, to $F$ i $F - 1$ są odwzorowaniami regularnymi. Inaczej, każde odwracalne odwzorowanie regularne jest dyfeomorfizmem. Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem.

W szczególnym przypadku, gdy $X=\mathbb{R}^n, Y=\mathbb{R}^k$ , dyfeomorfizm to po prostu homeomorfizm klasy $C 1$ o różniczce maksymalnego rzędu, którego funkcja odwrotna jest klasy $C 1$ w $F (D)$ .

[edytuj] Dyfeomorfizm przywiedlny

Niech $D$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^m$ . Mówimy że dyfeomorfizm $\Phi=(\varphi_1,\ldots,\varphi_m)\colon D\to \mathbb{R}^m$ jest przywiedlny, jeśli istnieją takie $i,j\leq m$ , że $\varphi_i(x_1,\ldots,x_m)=x_j$ dla $(x_1,\ldots, x_m)\in D$ .

Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue'a.

[edytuj] Dyfeomorfizm zachowujący orientację

Funkcja $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ jest dyfeomorfizmem, gdy jest bijekcją klasy $C 1$ , taką że $\varphi^\prime(t)\neq 0$ dla $t\in (a,b)$ . (Por. definicję dla $X=Y=\mathbb{R}$ ). Mówimy, że dyfeomorfizm $\varphi$ zachowuje orientację (osi liczbowej), jeśli $\varphi^\prime>0$ . W przeciwnym wypadku, gdy $\varphi^\prime<0$ , mówimy, że $\varphi$ zmienia orientację.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:

[edytuj] Twierdzenie

Niech $G$ będzie otwartym podzbiorem $\mathbb{R}^n$ , $\Gamma\colon [a,b]\to G$ będzie drogą kawałkami gładką oraz $\varphi\colon (a,b)\to (\alpha, \beta)$ będzie dyfeomorfizmem. Wówczas dla każdej formy $\Omega\in F^1_0(G; Y)$

$\int\limits_{\Gamma\circ \varphi}\Omega=\varepsilon(\varphi)\int\limits_{\Gamma}\Omega$ ,

gdzie $\varepsilon(\varphi)=1$ , gdy $\varphi$ zachowuje orientację oraz $\varepsilon(\varphi)=-1$ , gdy $\varphi$ zmienia orientację.

[edytuj] Grupa automorfizmów

Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej $M$ jest dyfeomorfizmem $M$ na siebie. W ten sposób można rozważać grupę automorfizmów z działaniem składania funkcji. Grupę tę oznaczamy przez $\operatorname{Diff}M$ .

[edytuj] Ważne dyfeomorfizmy

Dyfeomorfizm biegunowy: Niech $B = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \subset \mathbb R^2$ . Funkcja określona wzorem $b (r,τ) = (r cosτ, r sinτ)$ przeprowadza $B$ na obszar $\mathbb R^2 \setminus \left\{(x, 0) \in \mathbb R^2: x \leq 0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne biegunowe. Jakobian tego przekształcenia $J B = r$ .
Dyfeomorfizm sferyczny: Niech $S = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \left(-{\pi \over 2}, {\pi \over 2}\right) \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $s(r, \sigma, \tau) = \left(r\cos \tau \cos \sigma, r\cos \tau \sin \sigma, r\sin \tau \right)$ przeprowadza zbiór $S$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x, y, z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Dyfeomorfizm ten wprowadza współrzędne sferyczne. Jakobian tego przekształcenia wynosi $J S = r 2 cosσ$ .
Dyfeomorfizm walcowy: Niech $W = (0,+\infty) \times (-\pi,\pi) \times \mathbb R \subset \mathbb R^3$ . Funkcja określona wzorem $w (r,τ, z) = (r cosτ, r sinτ, z)$ przeprowadza $W$ na obszar $\mathbb R^3 \setminus \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3: x \leq 0, y=0\right\}$ . Ten dyfeomorfizm wprowadza współrzędne walcowe. Jakobian tego przekształcenia również wynosi $J W = r$ .

[edytuj] Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

Niech $X, Y$ będą przestrzeniami Banacha, $D$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem $X$ oraz będzie dane odwzorowanie $F\colon D \rightarrow Y$ . Jeśli $F$ jest regularne, to dla każdego $x\in D$ istnieje jego otoczenie $U x$ , że odzworowanie $F|_{U_x}$ jest dyfeomorfizmem.

Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej.

[edytuj] Źródła

Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.

[edytuj] Zobacz też

We provide Linux to the World

Dyfeomorfizm

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Definicja

[edytuj] Dyfeomorfizm przywiedlny

[edytuj] Dyfeomorfizm zachowujący orientację

[edytuj] Twierdzenie

[edytuj] Grupa automorfizmów

[edytuj] Ważne dyfeomorfizmy

[edytuj] Twierdzenie o lokalnym dyfeomorfizmie

[edytuj] Źródła

[edytuj] Zobacz też

Views

nawigacja

zmiany

dla edytorów

Szukaj

W innych językach