Subtração

"5 - 2 = 3" (verbalmente, "cinco menos dois é igual a três")

Um exemplo de problema

Em aritmética , subtracção é uma das quatro básica operações binárias; é o inverso da adição , o que significa que se começarmos com qualquer número e adicionar qualquer número e, em seguida, subtrair o mesmo número que adicionado, voltamos para o número começamos com. A subtracção é denotada por um minus entrar notação infixa, em contraste com a utilização do sinal de adição de adição.

Desde subtração não é um comutativa operador, os dois operandos são nomeados. Os nomes tradicionais para as partes da fórmula

c - b = a

são minuendo (c) - subtraendo (b) = diferença (a).

A subtração é usado para modelar quatro processos relacionados:

1. A partir de uma determinada coleção, tirar (subtrair) um determinado número de objetos. Por exemplo, 5 maçãs menos 2 maçãs deixa 3 maçãs.
2. A partir de uma determinada medida, levar uma quantidade medida nas mesmas unidades. Se eu pesa 200 libras, e perder 10 libras, então eu peso 200-10 = 190 libras.
3. Comparar duas quantidades como para encontrar a diferença entre eles. Por exemplo, a diferença entre $ 800 e US $ 600 é de US $ 800 - $ 600 = $ 200. Também conhecido como subtração comparativa.
4. Para encontrar a distância entre duas posições, a uma distância fixa do ponto de partida. Por exemplo, se, num determinado rodovia, você verá um marcador de quilometragem que diz 150 milhas e depois ver um marcador de quilometragem que diz 160 milhas, você viajou 160-150 = 10 milhas.

Em matemática , muitas vezes é útil para visualizar ou até mesmo definir subtração como uma espécie de adição , a adição do aditivo inversa. Podemos ver 7-3 4 = como a soma dos dois termos: 7 e -3. Essa perspectiva nos permite aplicar a subtração todas as regras familiares e nomenclatura de adição. Subtração não é associativa ou comutativa fato -in, é anticomutativa e deixou-associativo, mas a adição de números é tanto assinados.

Subtração básica: inteiros

Imagine um segmento de linha de b comprimento com a extremidade esquerda rotulado como um eo fim direita chamado c. A partir de um, leva b passos para a direita para chegar a c. Este movimento para a direita é modelado matematicamente por adição :

a + b = c.

Desde c, leva b passos para a esquerda para voltar para a. Este movimento para a esquerda é modelada por subtração:

c - b = a.

Agora, um segmento de linha marcada com os números 1 , 2, e 3. A partir da posição 3, que leva há passos para a esquerda para ficar no 3, assim 3-0 = 3. Leva dois passos para a esquerda para chegar à posição 1, de modo 3-2 = 1. A imagem é inadequada para descrever o que aconteceria depois de passar três passos à esquerda da posição 3. Para representar essa operação, a linha deve ser prorrogado.

Para subtrair arbitrárias números naturais , começa-se com uma linha que contém cada número natural (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). A partir de 3, leva 3 passos para a esquerda para chegar a 0, assim 3-3 = 0. Mas 3-4 ainda é inválido, uma vez que outra vez deixa a linha. Os números naturais não são um contexto útil para subtração.

A solução é de considerar o número inteiro linha número (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). De 3, leva 4 passos para a esquerda para chegar a -1:

3-4 = -1.

A subtracção de adição

Existem alguns casos onde subtração como um separada operação torna-se problemática. Por exemplo, 3 - (-2) (ou seja, subtrair -2 de 3) não é imediatamente óbvio a partir de um número natural ou uma exibição de linha de número, porque não é imediatamente claro o que significa mover -2 passos para a esquerda ou para tirar -2 maçãs. Uma solução é ver subtração como a adição de números assinados. Sinais de menos extra simplesmente denotar inversão aditivo. Em seguida, temos 3 - (-2) = 3 + 2 = 5. Isto também ajuda a manter o anel dos inteiros "simples", evitando a introdução de "novos" operadores como a subtração. Normalmente um anel só tem duas operações definidas sobre ele; no caso de os números inteiros, estes são de adição e multiplicação. Um anel já tem o conceito de inversos aditivos, mas não tem qualquer noção de uma operação de subtração separado, de modo que o uso de adição assinado como subtração nos permite aplicar os axiomas anel para subtração sem a necessidade de provar nada.

Algoritmos para subtração

Existem vários algoritmos para subtracção, e que diferem na sua adequação para várias aplicações. Um número de métodos são adaptados para cálculo da mão ; por exemplo, quando fazer a mudança, nenhuma subtração real é executada, mas sim a mudança tomador de conta para a frente.

Para o cálculo da máquina, o método de complementos é o preferido, em que a subtracção é substituído por uma adição em uma aritmética modular.

O ensino de subtração nas escolas

Métodos usados para ensinar a subtracção escola primária varia de país para país, e dentro de um país, os métodos diferentes estão na moda em tempos diferentes. No que é, em o US , chamada matemática tradicional, um processo específico é ensinado aos alunos no final do primeiro ano ou durante o 2º ano para uso com números inteiros com vários dígitos, e é estendido tanto no quarto ou quinto grau para incluir representações decimais de números fracionários.

Algumas escolas americanas ensinam actualmente um método de subtração usando empréstimos e um sistema de marcações chamado muletas. Embora um método de empréstimo tinha sido conhecido e publicado em livros anteriores, aparentemente, as muletas são a invenção de William A. Brownell que os utilizados em um estudo em Novembro de 1937. Este sistema pegou rapidamente, deslocando os outros métodos de subtração em uso na América naquela época.

Algumas escolas europeias empregam um método de subtracção do chamado método austríaco, também conhecido como o método de adições. Não há nenhuma contracção neste método. Há também muletas (marcações para auxiliar de memória), que variam conforme o país.

Ambos os métodos quebrar a subtração como um processo de subtrações um dígito por valor lugar. Começando com um dígito menos significativo, uma subtracção de subtraendo:

s _j s _{j -1} ... s ₁

de minuendo

m _k m _{k -1} ... m _1,

onde cada um s _i m e _i é um dígito, procede por anotar m ₁ - s _{1, 2} m - s _2, e assim por diante, enquanto s _i não exceda m _i. Caso contrário, m _i é aumentado em 10 e alguns outros dígitos é modificado para corrigir este aumento. O método americano corrige tentando diminuir o minuendo dígitos m _{i um} por um (ou continuar a emprestar para a esquerda até que haja um dígito diferente de zero a partir do qual a contrair empréstimos). O método corrige Europeia, aumentando o _i subtraendo dígitos s _um por um.

Exemplo: 704 - 512. A minuendo é 704, o subtraendo é 512. Os dígitos são minuendo m ₃ = 7, m = ₂ 0 e m = ₁ 4. Os dígitos são subtraendo s ₃ = 5, S ₂ = 1 e s ₁ = 2. Começando no lugar do um, 4 não é inferior a 2 por isso a diferença 2 é escrito para baixo em um lugar do resultado. No lugar de dez, 0 é menor do que 1, de modo que o 0 é aumentado para 10, e a diferença com 1, o qual é 9, é escrito no local de dez. O método americana corrige para o aumento de dez por reduzir o dígito em centenas lugar do minuendo por um. Ou seja, o 7 é atingido através de e substituído por um 6. A subtração seguida, prossegue na casa das centenas, onde 6 é igual ou superior a 5, então a diferença é escrito em centenas de lugar do resultado. Estamos agora feito, o resultado é 192.

O método austríaca não reduz a 7 a 6. Pelo contrário, aumenta a cem subtraendo de dígitos por um. Uma pequena marca é feito perto ou abaixo deste dígitos (dependendo da escola). Em seguida, os subtração prossegue perguntando o número quando aumentou 1, 5 e é adicionado a ele, faz 7. A resposta é 1, e está escrito em centenas de lugar do resultado.

Há uma subtileza adicional em que o estudante utiliza sempre uma tabela de subtração mental no método americana. O método austríaco muitas vezes incentiva o aluno a usar mentalmente tabela a adição em sentido inverso. No exemplo acima, em vez de adicionar 1 a 5, recebendo 6, e subtraindo que a partir de 7, o aluno é convidado a considerar o número, quando aumentou 1, 5 e é adicionado a ele, faz 7.

Unidade

Ao subtrair dois números com as unidades, eles devem ter a mesma unidade. Na maioria dos casos, a diferença terá a mesma unidade que os números originais. Uma exceção é quando subtrair dois números com percentual como unidade. Neste caso, a diferença terá pontos percentuais como unidade.