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Matemática

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Euclides , o matemático grego, século 3 aC, como imaginado por Raphael neste detalhe de A Escola de Atenas.

Matemática (coloquialmente, matemática ou matemática) é o corpo de conhecimento centrado em conceitos como a quantidade , estrutura, espaço, e mudar, e também a disciplina acadêmica que estuda-los. Benjamin Peirce chamou de "a ciência que tira as conclusões necessárias". Outros praticantes da matemática sustentam que a matemática é a ciência de padrão, e que os matemáticos procuram testes padrões se encontrado em números, espaço, ciência, computadores, abstrações imaginárias, ou em outro lugar. Matemáticos explorar tais conceitos, com o objetivo de formular novo conjecturas e estabelecer a sua verdade por rigoroso dedução apropriadamente escolhida axiomas e definições.

Através da utilização de abstração e lógica raciocínio, matemática evoluiu de contando, cálculo, medição , bem como o estudo sistemático da formas e movimentos de objetos físicos. Conhecimento e uso da matemática básicos têm sido sempre uma parte inerente e integrante da vida individual e em grupo. Refinamentos das idéias básicas são visíveis em textos matemáticos originários da egípcio antigo, Mesopotâmica, indiano , Chinês, Grego e Mundos islâmico. Argumentos rigorosos apareceu pela primeira vez em Matemática grega, mais notavelmente em Euclides 's Elements . O desenvolvimento contínuo em rajadas intermitentes até o Renascimento período do século 16 , quando as inovações matemáticas interagiu com nova descobertas científicas, levando a uma aceleração na investigação que continua até os dias atuais.

Hoje, a matemática é utilizada em todo o mundo em muitos campos, incluindo ciências naturais, engenharia , medicina , eo ciências sociais, como a economia . matemática aplicada , a aplicação da matemática a esses campos, inspira e faz uso de novas descobertas matemáticas e, por vezes, leva ao desenvolvimento de inteiramente novas disciplinas. Os matemáticos também se envolvem em matemática pura, ou a matemática para seu próprio benefício, sem ter qualquer aplicação em mente, embora os aplicativos para o que começou como matemática pura muitas vezes são descobertos mais tarde.

Etimologia

A palavra "matemática" (em grego: μαθηματικά ou mathēmatiká) vem do grego μάθημα (mathema), o que significa aprendizagem, estudo, ciência, e, adicionalmente, chegou a ter o significado "estudo matemático" mais estreito e mais técnico, mesmo em tempos clássicos. Sua adjetivo é μαθηματικός (mathēmatikós), relacionados com a aprendizagem, ou estudioso, que também passou a significar mais matemática. Em particular, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ TEKHNE), em latim ars mathematica, significava a arte matemática.

A forma plural aparente em Inglês , como o francês plural les mathématiques (eo singular la mathématique derivado menos utilizados), vai voltar para o mathematica neutro plural Latina ( Cicero), com base no μαθηματικά τα plural grego (ta mathēmatiká), usado por Aristóteles , e que significa aproximadamente "todas as coisas matemática". Em Inglês, no entanto, a matemática substantivo assume formas verbo no singular. Muitas vezes, é encurtado para matemática em Inglês de língua e matemática América do Norte em outros lugares.

História

A quipu, um dispositivo de contagem utilizado pelo Inca .

A evolução da matemática pode ser visto como uma série cada vez maior de abstrações, ou, alternativamente, uma expansão de assunto. A primeira abstração era provavelmente a de números . A constatação de que duas maçãs e duas laranjas têm algo em comum foi um avanço no pensamento humano. Além de reconhecer como contar objetos físicos, povos pré-históricos também reconhecido como contar quantidades abstratas, como tempo - dias , estações , anos. A aritmética ( adição , subtração , multiplicação e divisão ), seguido naturalmente.

Novas medidas precisam escrita ou algum outro sistema para números de gravação, como contagens ou as cordas atadas chamados quipu usado pelo império Inca para armazenar dados numéricos. sistemas numéricos têm sido muitas e diversificadas, com os numerais primeiro conhecidas escrito criados por egípcios em textos do Médio Império, como o Rhind Papyrus.

Numerais maias

Desde os primórdios da história registrada, as principais disciplinas dentro da matemática surgiu da necessidade de fazer cálculos relativos à tributação e commerce, para compreender as relações entre números, a medir terras e predizer eventos astronômicos . Estas necessidades podem ser mais ou menos relacionada ao amplo subdivisão da matemática para os estudos de quantidade, estrutura, espaço e mudança.

Matemática desde então tem sido muito alargado, e houve uma interação frutífera entre a matemática ea ciência, para o benefício de ambos. Descobertas matemáticas foram feitas ao longo da história e continuam a ser feitas hoje. De acordo com Mikhail B. Sevryuk, na edição do janeiro 2006 Boletim da American Mathematical Society, "O número de artigos e livros incluídos na Avaliações banco de dados matemática desde 1940 (o primeiro ano de funcionamento do RM) é agora mais de 1,9 milhões, e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados a cada ano. A esmagadora maioria dos trabalhos nesta oceano conter novas matemáticas teoremas e suas provas ".

Inspiração, matemática pura e aplicada e estética

Sir Isaac Newton (1643-1727), um inventor do cálculo infinitesimal .

Matemática surge sempre que há problemas difíceis que envolvem quantidade, estrutura, espaço, ou alterar. No primeiro destes foram encontrados em commerce, medição de terras e mais tarde astronomia ; hoje em dia, todas as ciências sugerem problemas estudados pelos matemáticos, e muitos problemas surgem dentro da própria matemática. Newton foi um dos inventores cálculo infinitesimal, embora quase toda a notação utilizados na cálculo infinitesimal foi contribuído por Leibniz com a exceção de um ponto acima de uma variável para significar diferenciação com relação ao tempo. Feynman inventou o Integrante caminho Feynman usando uma combinação de raciocínio e percepção física, e de hoje a teoria das cordas também inspira nova matemática. Alguns matemática só é relevante na área que o inspirou, e é aplicada para resolver mais problemas nessa área. Mas, muitas vezes matemática inspirado por uma área mostra-se útil em muitas áreas, e junta-se ao estoque geral de conceitos matemáticos. O fato notável que mesmo o "mais pura" matemática muitas vezes acaba por ter aplicações práticas é o que Eugene Wigner chamou de " a eficácia razoável da matemática. "

Como na maioria das áreas de estudo, a explosão do conhecimento na era científica levou à especialização em matemática. Uma distinção importante é entre matemática pura e matemática aplicada . Várias áreas de matemática aplicada se fundiram com tradições coligadas fora da matemática e tornar-se disciplinas em seu próprio direito, incluindo estatísticas , operações de investigação e ciência da computação .

Para aqueles que estão matematicamente inclinado, muitas vezes há um aspecto estético definido para grande parte da matemática. Muitos matemáticos falam sobre a elegância da matemática, as suas intrínsecas estética e interior beleza. Simplicidade e generalidade são valorizados. Há beleza em uma prova simples e elegante, como Euclides prova 's que existem infinitos números primos , e em um método numérico elegante que acelera cálculo, como o Transformada de Fourier rápido. GH Hardy em Apologia de um Matemático expressa a crença de que estas considerações estéticas são, em si, suficientes para justificar o estudo da matemática pura. Os matemáticos muitas vezes se esforçam para encontrar provas de teoremas que são particularmente elegante, uma busca Paul Erdős muitas vezes referida como encontrar provas de "O Livro", na qual Deus havia escrito para baixo suas provas favoritas. A popularidade de matemática recreativa é mais um sinal do prazer muitos encontram para resolver questões matemáticas.

Notação, linguagem e rigor

O infinito símbolo em vários tipos de letra.

A maior parte da notação matemática em uso hoje não foi inventado até o século 16 . Antes disso, a matemática foi escrita em palavras, um processo meticuloso que limitava descoberta matemática. No século 18 , Euler foi responsável por muitas das notações em uso hoje. Notação moderna faz a matemática muito mais fácil para o profissional, mas os novatos muitas vezes acham assustador. É extremamente compactado: alguns símbolos contêm uma grande quantidade de informações. Como a notação musical, notação matemática moderna tem uma sintaxe rigorosa e codifica a informação que seria difícil escrever de qualquer outra forma.

Matemática linguagem também é difícil para iniciantes. Palavras como ou e têm significados mais precisos do que no discurso diário. Também confuso para iniciantes, palavras como aberto e campo foram dadas significados matemáticos especializados. Jargão matemático inclui termos técnicos, como homeomorfismo e integrável. Mas há uma razão para a notação especial e jargão técnico: matemática requer mais precisão do que fala cotidiana. Os matemáticos referem-se a essa precisão da linguagem e da lógica como "rigor".

Rigor é fundamentalmente uma questão de prova matemática . Os matemáticos querem que seus teoremas a seguir a partir de axiomas por meio de raciocínio sistemático. Isso é para evitar equivocadas " teoremas ", com base em intuições falíveis, dos quais muitos casos têm ocorrido na história do sujeito. O nível de rigor esperado em matemática tem variado ao longo do tempo: os gregos esperado argumentos detalhados, mas no momento de Isaac Newton os métodos empregados eram menos rigorosos. Problemas inerentes às definições utilizadas por Newton levaria a um ressurgimento de uma análise cuidadosa e prova formal no século 19. Hoje, os matemáticos continuam a discutir entre si sobre provas assistidas por computador. Uma vez que grandes cálculos são difíceis de verificar, tais provas podem não ser suficientemente rigoroso. Axiomas no pensamento tradicional eram "verdades auto-evidentes", mas essa concepção é problemática. Em um nível formal, um axioma é apenas uma seqüência de símbolos, que tem um significado intrínseca apenas no contexto de todas as fórmulas deriváveis de um sistema axiomático. Era o objetivo de Programa de Hilbert para colocar toda a matemática em uma base axiomática firme, mas de acordo com Teorema da incompletude de Gödel cada (suficientemente potente) sistema axiomático tem fórmulas indecidibles; e assim uma final axiomatization da matemática é impossível. No entanto matemática é muitas vezes imaginava ser (tanto quanto seu conteúdo formal) nada, mas a teoria dos conjuntos em alguns axiomatization, no sentido de que cada afirmação matemática ou a prova poderia ser lançado no fórmulas dentro teoria dos conjuntos.

Matemática como ciência

Carl Friedrich Gauss ,-se conhecido como o "príncipe dos matemáticos", que se refere à matemática como "a Rainha das Ciências".

Carl Friedrich Gauss se refere à matemática como "a Rainha das Ciências". No original Latina Regina Scientiarum, bem como em alemão Königin der Wissenschaften, a palavra correspondente ao meio de ciência (de campo) o conhecimento. Na verdade, este é também o significado original em Inglês, e não há dúvida de que a matemática é, nesse sentido, uma ciência. A especialização restringir o significado para a ciência natural é de data posterior. Se se considera a ciência ser estritamente sobre o mundo físico, então a matemática, ou, pelo menos, matemática pura, não é uma ciência. Albert Einstein afirmou que "na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, eles não estão certos; e, tanto quanto eles estão certos, eles não se referem à realidade."

Muitos filósofos acreditam que a matemática não é experimentalmente refutável, e não uma ciência, assim, de acordo com a definição de Karl Popper . No entanto, na década de 1930 um importante trabalho em lógica matemática mostrou que a matemática não pode ser reduzida à lógica, e Karl Popper concluiu que "a maioria das teorias matemáticas são, como as da física e da biologia, hipotético-dedutivo: matemática pura, portanto, acaba por ser muito mais perto às ciências naturais cuja hipóteses são conjecturas, que parecia ainda recentemente ". Outros pensadores, designadamente Imre Lakatos, ter aplicado uma versão do falsificacionismo para a matemática em si.

Uma visão alternativa é que certos campos científicos (tais como física teórica) são matemática com axiomas que se destinam a corresponder à realidade. Na verdade, o físico teórico, JM Ziman, propôs que a ciência é o conhecimento público e, portanto, inclui matemática. Em qualquer caso, matemática partes muito em comum com muitos campos nas ciências físicas, nomeadamente a exploração das consequências lógicas de suposições. Intuição e experimentação também desempenhar um papel na formulação de conjecturas em matemática e as ciências (outros). Matemática Experimental continua a crescer em importância dentro da matemática e computação e simulação estão desempenhando um papel cada vez maior em ambas as ciências e matemática, enfraquecendo a objeção de que a matemática não usa o método científico. Em seu livro 2002 A New Kind of Science, Stephen Wolfram argumenta que matemática computacional merece ser explorada empiricamente como um campo científico em seu próprio direito.

As opiniões dos matemáticos sobre esta matéria são variados. Muitos matemáticos sentem que chamar sua área de uma ciência é minimizar a importância do seu lado estético, e sua história na tradicional sete Artes liberais; outros acham que a ignorar sua conexão com as ciências é a de fechar os olhos para o fato de que a interface entre a matemática e suas aplicações na ciência e na engenharia tem impulsionado muito desenvolvimento em matemática. Uma maneira esta diferença de ponto de vista joga fora é no debate filosófico sobre se a matemática é criado (como na arte) ou descoberto (como na ciência). É comum ver universidades divididos em seções que incluem uma divisão de Ciência e Matemática, o que indica que os campos são vistos como sendo aliado, mas que eles não coincidem. Na prática, os matemáticos são normalmente agrupados com cientistas do nível bruto, mas separados em níveis mais sutis. Esta é uma das muitas questões consideradas no filosofia da matemática.

Prêmios matemáticos são geralmente mantidos separados de seus equivalentes na ciência. O prêmio de maior prestígio em matemática é a Medalha Fields, criada em 1936 e agora atribuído a cada 4 anos. É frequentemente considerado, erroneamente, o equivalente a ciência de Prêmios Nobel. O Prêmio Wolf em Matemática, instituído em 1979, reconhece realização da vida, e outra grande prêmio internacional, a Prêmio Abel, foi introduzido em 2003. Estas são concedidos para um determinado corpo de trabalho, que pode ser a inovação, ou a resolução de um problema pendente em um campo estabelecido. Uma lista de 23 famosos tais problemas em aberto, denominado " Problemas de Hilbert ", foi compilado em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert . Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos, e pelo menos nove dos problemas já foram resolvidos. Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulado " Millennium Prize Problems ", foi publicado em 2000. Solução de cada um destes problemas carrega uma recompensa de US $ 1 milhão, e apenas um (o Hipótese de Riemann) é duplicada em problemas de Hilbert.

Campos da matemática

Um ábaco , uma ferramenta de cálculo simples usado desde os tempos antigos

Como mencionado acima, as principais disciplinas dentro da matemática surgiu pela primeira vez a partir da necessidade de fazer cálculos no comércio, para compreender as relações entre números, para medir a terra, e para prever astronômicos eventos. Estes quatro necessidades podem ser mais ou menos relacionada ao amplo subdivisão da matemática para o estudo da quantidade, estrutura, espaço e alterar (isto é, aritmética , álgebra , geometria e análise ). Além destas principais preocupações, também há subdivisões dedicado a explorar as ligações a partir do coração da matemática a outros campos: a a lógica, a teoria dos conjuntos ( fundações), para a matemática empíricos das várias ciências ( matemática aplicada ), e mais recentemente para o estudo rigoroso de incerteza.

Quantidade

O estudo começa com a quantidade de números , os primeiros familiares números naturais e inteiros ("números inteiros") e às operações aritméticas sobre elas, que são caracterizados na aritmética . As propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números , de onde tais resultados populares como o último teorema de Fermat . Teoria dos números também possui dois problemas não resolvidos amplamente considerados: a conjectura dos primos gêmeos e conjectura de Goldbach .

À medida que o sistema de numeração é mais desenvolvida, os números inteiros são reconhecidos como um subconjunto dos números racionais (" fracções "). Estes, por sua vez, está contido dentro dos números reais , os quais são utilizados para representar quantidades contínuas. Os números reais são generalizados para números complexos . Estas são as primeiras etapas de uma hierarquia de números que passa a incluir quarternions e octoniões. Consideração dos números naturais também leva à números transfinitos, que formalizam o conceito de contar até o infinito. Outra área de estudo é o tamanho, o que conduz aos números cardinais e, em seguida, a uma outra concepção do infinito: o números aleph, que permitem uma comparação significativa do tamanho dos conjuntos infinitamente grandes.

1, 2, 3 \, \!-2, -1, 0, 1, 2 \, \!-2, \ Frac {2} {3}, 1,21 \, \!-e, \ sqrt {2}, 3, \ pi \, \!2, i, -2 + 3i, 2e ^ {i \ frac {4 \ pi} {3}} \, \!
Números naturais Inteiros Números racionais Números reais Os números complexos

Estrutura

Muitos objetos matemáticos, tais como conjuntos de números e funções , exibem estrutura interna. As propriedades estruturais destes objectos são investigados no estudo de grupos , anéis, campos e outros sistemas abstratos, que são eles próprios tais objetos. Este é o campo da álgebra abstrata . Um conceito importante aqui é que de vetores , generalizado para espaços vetoriais , e estudou em álgebra linear . O estudo dos vetores combina três das áreas fundamentais da matemática:. Quantidade, estrutura e espaço cálculo Vector expande o campo em uma quarta área fundamental, a da mudança.

Simple.png curva elíptica Cube.svg de Rubik Grupo diagdram D6.svg Malha da divisibilidade da 60.svg
Teoria dos números Abstract álgebra A teoria do grupo A teoria de ordem

Espaço

O estudo do espaço se origina com geometria - em particular, a geometria euclidiana . Trigonometria combina espaço e números, e engloba o bem conhecido teorema de Pitágoras . O estudo moderno do espaço generaliza estas idéias para incluir geometria de dimensão superior, geometrias não-Euclidiana (que desempenham um papel central na relatividade geral ) e topologia . Quantidade espaço e ambos desempenham um papel na geometria analítica , geometria diferencial , e geometria algébrica. Dentro geometria diferencial são os conceitos de feixes de fibras e cálculo de manifolds . Dentro geometria algébrica é a descrição de objetos geométricos como conjuntos de soluções de polinomiais equações, combinando os conceitos de quantidade e espaço, e também o estudo da grupos topológicos, que combinam estrutura e espaço. Grupos de Lie são usados para estudar o espaço, a estrutura ea mudança. Topology em todas as suas muitas ramificações pode ter sido a maior área de crescimento na matemática do século 20, e inclui o longa data Conjectura de Poincaré eo controverso quatro cores teorema , cuja prova única, por computador, nunca foi verificada por meio de um ser humano.

Ilustração para a prova da theorem.svg Pitágoras de Euclides Sine plot.svg cosseno Triangle.svg hiperbólica Torus.png Koch curve.svg
Geometria Trigonometria Geometria diferencial Topologia A geometria fractal

Mudança

Compreender e descrever a mudança é um tema comum na ciências naturais e cálculo foi desenvolvido como uma ferramenta poderosa para investigá-lo. Funções surgir aqui, como um conceito central descrevendo uma quantidade mudando. O estudo rigoroso dos números reais e funções reais é conhecido como análise real, com análise complexa o campo equivalente para os números complexos. O Hipótese de Riemann, uma das questões abertas mais fundamentais na matemática, é traçada a partir da análise complexa. Análise funcional concentra a atenção sobre (geralmente de dimensão infinita) espaços de funções. Uma das muitas aplicações da análise funcional é a mecânica quântica . Muitos problemas levam naturalmente para as relações entre a quantidade e sua taxa de mudança, e estes são estudados como equações diferenciais . Muitos fenômenos na natureza pode ser descrita por sistemas dinâmicos; teoria do caos faz precisas as maneiras pelas quais muitos destes sistemas apresentam imprevisível e ainda assim comportamento determinístico.

Integral como a região sob curve.svg Vector field.svg Obstrução do Fluxo de Ar-Duct.png Limitcycle.jpg Lorenz attractor.svg
Cálculo Cálculo vetorial Equações diferenciais Sistemas Dinâmicos A teoria do caos

Fundações e filosofia

A fim de clarificar o fundamentos da matemática, os domínios de lógica matemática e teoria dos conjuntos foram desenvolvidas, bem como teoria da categoria, que ainda está em desenvolvimento.

Lógica matemática está preocupado com a definição matemática em uma rígida quadro axiomático, e estudando os resultados de um tal quadro. Como tal, é o lar de Segundo teorema da incompletude de Gödel, talvez o resultado mais amplamente comemorado na lógica, que (informalmente) implica que qualquer sistema formal que contenha a aritmética básica, se o som (o que significa que todos os teoremas que podem ser provados são verdadeiros), é necessariamente incompleta (o que significa que há verdadeiros teoremas que não pode ser provado nesse sistema). Gödel mostrou como construir, seja qual for a coleção dado de axiomas número teórico, uma declaração formal na lógica que é um fato número teórico-verdade, mas que não segue a partir desses axiomas. Portanto, nenhum sistema formal é um verdadeiro axiomatization da teoria dos números completo. A lógica moderna é dividido em teoria da recursão, teoria do modelo, e prova a teoria, e está intimamente ligada à teórico de ciência da computação .

p \ Rightarrow q \, Venn A cruzam B.svg Diagrama comutativa para morphism.svg
Lógica matemática Teoria de conjuntos Teoria Categoria

Matemática Discreta

Matemática discreta é o nome comum para os campos da matemática mais geralmente útil em ciência da computação teórica. Isso inclui teoria da computabilidade, teoria da complexidade computacional, e teoria da informação. Teoria da computabilidade examina as limitações de vários modelos teóricos de computador, incluindo o mais poderoso modelo conhecido - o Máquina de Turing. A teoria da complexidade é o estudo de tratabilidade por computador; alguns problemas, embora teoricamente solucionável por computador, são tão caros em termos de tempo ou espaço que resolvê-los é provável que se mantenha praticamente inviável, mesmo com o avanço rápido do hardware do computador. Finalmente, a teoria da informação está relacionada com a quantidade de dados que pode ser armazenado em um dado meio, e, consequentemente, tais como conceitos e compressão entropia.

Como um campo relativamente novo, matemática discreta tem um certo número de problemas fundamentais abertos. O mais famoso deles é o " P = NP? "Problema, uma das Problemas Prêmio do Milênio.

\ Begin {matrix} (1,2,3) e (1,3,2) \\ (2,1,3) e (2,3,1) \\ (3,1,2) e (3, 2,1) \ end {matrix} DFAexample.svg Caesar3.svg 6n-graf.svg
Combinatória Teoria da Computação Cryptography A teoria dos grafos

Matemática aplicada

Matemática aplicada considera o uso de ferramentas matemáticas abstratas na resolução de problemas concretos nas ciências , negócios e outras áreas. Um campo importante em matemática aplicada é estatísticas , que utiliza a teoria da probabilidade como uma ferramenta e permite a descrição, análise e previsão de fenômenos em que o acaso desempenha um papel. A maioria dos experimentos, pesquisas e estudos observacionais requerem o uso informado das estatísticas. (Muitos estatísticos, porém, não se consideram os matemáticos, mas sim parte de um grupo aliado.) Análise numérica investiga métodos computacionais para a solução de forma eficiente uma ampla gama de problemas matemáticos que são tipicamente demasiado grande para a capacidade numérica humano; que inclui o estudo de erros de arredondamento ou de outras fontes de erro na computação.

Equívocos comuns

Matemática não é um sistema intelectual fechada, em que tudo já foi trabalhado. Não há falta de problemas abertos. Matemáticos publicar muitos milhares de documentos que impliquem novas descobertas em matemática cada mês.

Matemática não é numerologia, nem é contabilidade ; nem é restrita a aritmética .

Pseudomathematics é uma forma de atividade matemática semelhante realizado fora academia, e ocasionalmente pelos próprios matemáticos. Ele geralmente consiste de determinados ataques a perguntas famosos, que consistem de à prova de tentativas feitas de forma isolada (isto é, documentos longos não suportados pela teoria publicada anteriormente). A relação matemática para geralmente aceites é semelhante à que existe entre pseudociência ea ciência real. Os equívocos envolvidos são normalmente baseados em:

  • incompreensão das implicações da rigor matemático;
  • tenta contornar os critérios habituais para publicação de trabalhos matemáticos em um Jornal aprendi depois revisão por pares, muitas vezes sob a crença de que o jornal é tendenciosa contra o autor;
  • falta de familiaridade com, e, portanto, subestimar, a literatura existente.

O caso de O trabalho de Kurt Heegner mostra que a criação matemática é nem infalível, nem dispostos a admitir erro na avaliação do trabalho «amadores». E como a astronomia , a matemática deve muito aos contribuintes amadores como Fermat e Mersenne.

Matemática e realidade física

Conceitos e teoremas matemáticos não precisam corresponder a qualquer coisa no mundo físico. Na medida em que uma correspondência existe, enquanto matemáticos e físicos pode selecionar axiomas e postulados que parecem razoáveis e intuitiva, não é necessário que os pressupostos básicos dentro de um sistema axiomático para ser verdade em um sentido empírico ou física. Assim, enquanto muitos Axiom Systems são derivados de nossas percepções e experiências, eles não são dependentes deles.

Por exemplo, poderíamos dizer que o conceito físico de duas maçãs pode ser com precisão modelado pelo número natural 2. Por outro lado, também poderíamos dizer que os números naturais não são um modelo preciso, porque não existe um padrão "unidade" maçã e há duas maçãs são exatamente iguais. A idéia de modelagem é ainda mais complicada pela possibilidade de fracionários maçãs ou parciais. Assim, embora possa ser instrutivo para visualizar a definição axiomática dos números naturais como coleções de maçãs, a própria definição não depende nem derivada de quaisquer entidades físicas reais.

No entanto, a matemática continua a ser extremamente útil para resolver problemas do mundo real. Este fato levou o físico Eugene Wigner para escrever um artigo intitulado " A eficácia irracional de Matemática nas Ciências Naturais ".

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