Dyskusja:Ekstremum

Z Wikipedii

Przy warunku koniecznym i wystarczającym był podany warunek ale dla ekstremum właściwego. Zmieniłem. Nie jestem jednak pewien, które z kolejnych warunków dla funkcjonałów dwuliniowych, itp. dotyczą ekstremów lokalnych właściwych, a które wszystkich. Miło by było, gdyby autor to za każdym razem dokładnie określił. 212.2.96.100 16:39, 5 paź 2007 (CEST)

Wyrzuciłem poniższy fragment z sekcji "rachunek wariacyjny". Sorry, ale według mnie jest niezrozumiały. Nie ma w ogóle wyjaśnione co mają wspólnego macierze kwadratowe z różniczkowalnością. Fragment wygląda na niezbyt związany z następującym po nim przykładem. Nigdzie nie ma odniesienia do wariacji, od której wziął się rachunek wariacyjny. Nie ma definicji ekstremów silnych i słabych. Zamiast tego rozważane są ekstrema paraboloidy hiperbolicznej, czyli zwykłej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. a takie funkcje są omawiane w innym miejscu artykułu. Potem jest o funkcjonałach dwuliniowych - nie wiadomo, czy podane warunki dotyczą tylko znajdowania ekstremów funkcjonałów dwuliniowych, czy wszelkich funkcjonałów, czy może funkcjonały dwuliniowe są tu tylko pomocniczym pojęciem, związanym jakoś z różniczką... Sorry, ale ja tego nie rozumiem. Raczej do przeredagowania. Olaf @ 00:32, 28 wrz 2007 (CEST)

Paraboloida hiperboliczna – w pobliżu początku układu współrzędnych ma ona kształt podobny do siodła (zob. punkt siodłowy)

W dalszej części tego paragrafu przez $X$ rozumiana jest dowolna przestrzeń unormowana, zaś przez $D$ pewien jej otwarty^[1] podzbiór. Funkcja $f\colon D\to\mathbb{R}$ musi być różniczkowalna (w sensie Frécheta) w zbiorze $D$ .

Podobnie jak dla funkcji rzeczywistych, warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie $x_0\in D$ jest zerowanie się pochodnej, tj.

$f^\prime(x_0)=0$ .

Punkt w którym pochodna się zeruje, zwany jest punktem stacjonarnym.

Tak jak w przypadku funkcji jednej zmiennej, w punkcie stacjonarnym wcale nie musi być ekstremum. Na przykład dla funkcji $g\colon \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ danej wzorem $g (x, y) = x y$ , której wykresem jest paraboloida hiperboliczna, pochodne cząstkowe $g^\prime_x(x,y)=x,\; g^\prime_y(x,y)=y$ są jednocześnie równe zeru tylko w punkcie $(0,0)$ , w którym $f (x, y) = 0$ . Jednocześnie widać (por. rysunek obok), że w dowolnym otoczeniu zera funkcja przybiera zarówno wartości dodanie jak i ujemne, a więc nie może być w nim ekstremum.

Spis treści

1 Definicje pomocnicze
2 Ekstrema a druga pochodna
3 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum
4 Skasowałem nietypowe przestrzenie topologiczne
5 Pochodna ≠ różniczka
6 Ekstremum
7 Ekstrema(lny błąd)
8 Skończmy tę wojnę edycyjną
9 Czy obie pochodne rzędu 2 muszą być dodatnie

[edytuj] Definicje pomocnicze

Na potrzeby dalszych twierdzeń, konieczne będzie wprowadzenie kilku definicji:

Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: Może dać tu poglądową definicję funkcjonału dwuliniowego?.
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Funkcjonał dwuliniowy $\varphi\colon X\times X\to \mathbb{R}$ jest nieujemny, niedodatni, dodatni, ujemny jeśli odpowiednio $\varphi(h,h)\geqslant 0,\; \varphi(h,h)\leqslant 0,\; \varphi(h,h)> 0,\; \varphi(h,h)< 0$ dla wszelkich $0\neq h\in X$ .

Dalej, funkcjonał dwuliniowy $\varphi\colon X\times X\to \mathbb{R}$ jest

dodatnio określony, jeśli

$\bigvee_{c>0}\bigwedge_{h\in X}\varphi(h,h)\geqslant c\|h\|^2$ ,

ujemnie określony, jeśli

$\bigvee_{c>0}\bigwedge_{h\in X}\varphi(h,h)\leqslant -c\|h\|^2$ .

W szczególności, każda macierz kwadratowa może być interpretowana jako macierz funkcjonału dwuliniowego przestrzeni $X=\mathbb{R}^m$ (por. macierz dodatnio określona). Prawdzie jest twierdzenie, które mówi, że każdy dodatni (lub ujemny) funkcjonał dwuliniowy tej przestrzeni jest dodatnio określony (ujemnie określony). Do badania dodatniej (ujemnej) określoności macierzy służy kryterium Sylvestera.

[edytuj] Ekstrema a druga pochodna

Jeżeli funkcja $f$ jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu $E\subseteq D$ punktu $x 0$ , przy czym $f^\prime(x_0)=0$ , a pochodna $f^{\prime\prime}$ jest ciągła w $x 0$ , to

jeżeli $f$ ma w $x 0$ minimum lokalne, to $f^{\prime\prime}(x_0)$ jest nieujemna,
jeżeli $f$ ma w $x 0$ maksimum lokalne, to $f^{\prime\prime}(x_0)$ jest niedodatnia.

[edytuj] Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum

Niech, jak poprzednio, funkcja $f$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu $U\subseteq D$ punktu $x 0$ , przy czym $f^\prime(x_0)=0$ , a pochodna $f^{\prime\prime}$ jest ciągła w $x 0$ .

Jeżeli $f^{\prime\prime}(x_0)$ jest dodatnio określona, to $f$ ma minimum lokalne właściwe w punkcie $x 0$ .
Jeżeli $f^{\prime\prime}(x_0)$ jest ujemnie określona, to $f$ ma maksimum lokalne właściwe w punkcie $x 0$ .

[edytuj] Skasowałem nietypowe przestrzenie topologiczne

To było nie do uratowania. Przepraszam. Należy mówić o grafach.

Można to ciągnąc i topologicznie, ale sztucznie, nieelegancko, i topologia nie będzie istotna, jej wprowadzenie będzie naciągane.

(Ponadto państwa mające granice lądowe też mogą być lokalnie maksymalne i minimalne jednocześnie - gdy sąsiedzi mają taką samą populację). 11:32, 15 paź 2007 (CEST)

Rodzina podana jako baza otoczeń nie spełniała warunku (BP2). 19:53, 15 paź 2007 (CEST)

[edytuj] Pochodna ≠ różniczka

We fragmencie o przestrzeniach unormowanych podane jest oznaczenie f'(x), i to na pierwszym miejscu, gdzie chodzi o różniczkę df(x). To są dwie, bardzo różne rzeczy. Niestety w literaturze panuje złe zamieszanie. Bywa w matematyce, notacja zdarza się niedobra. Proponuję różniczkę oznaczać wyłącznie jako df lub Df itp, a o oznaczeniu f'(x) (w roli różnczki) dać tylko uwage, osobną lub w nawiasie, że takie oznaczenie też występuje w literaturze, ale jest mylące. W szczególnym przypadku funkcji 1 zmiennej otrzymuje się mętlik, który potrafi utrudnić zrozumienie i nauczenie się przedmiotu.

Celem wikipedii powinno być prezentowanie wiedzy, promowanie zrozumienia, eleganckiego stylu, a nie powielanie złej notacji, złych nawyków, itp. Pozdrawiam, Wlod 02:13, 24 paź 2007 (CEST)

[edytuj] Ekstremum

Uzasadnienie: Efekt współpracy dwóch najaktywniejszych matematyków na wiki (Loxleya i Olafa). Całość jest dopracowana i bardzo obszerna. Humaniści powinni przynajmniej zrozumieć o co chodzi, matematycy znajdą sporo ważnych twierdzeń, a dodatkowo można się dowiedzieć np. co wspólnego mają nietypowe przestrzenie topologiczne z wyborami w Polsce. Markotek 23:46, 5 paź 2007 (CEST)

Głosy za:

Za Nie jestem matematykiem ale wygląda solidnie :) Poznaniak1975 14:10, 6 paź 2007 (CEST)
Za --WarX <talk> 14:15, 6 paź 2007 (CEST) Przydałoby się ostrożnie poszukać brakujących przecinków ;)

Jakieś przecinki znalazłem i poprawiłem, ale chyba już lepiej się czuję w merytorycznych aspektach artykułu. Analiza matematyczna jest zdecydowanie prostsza od kilkudziesięciu zasad polskiej interpunkcji. Markotek 15:32, 6 paź 2007 (CEST)
Za rzyjontko (dyskusja) 18:50, 7 paź 2007 (CEST)
Bardzo dobry artykuł. Duży plus za łatwiejszy przykład z pudełkiem, dzięki temu nie tylko studentom matematyki i ekonomii artykuł coś mówi ;-) Andrzej▫^Dyskusja▫. 22:47, 7 paź 2007 (CEST)
Za solidny artykuł. Więcej takich! :) --Leafnode D 10:07, 8 paź 2007 (CEST)
Galileo01 Dyskusja 21:55, 8 paź 2007 (CEST) Hmmm, byłem święcie przekonany, że już tutaj głosowałem... Starzeję się ;)
Za Szoltys [DIGA] 14:33, 9 paź 2007 (CEST)
Za Kamil Filip Ulryk 16:21, 9 paź 2007 (CEST) Swietny art i bardzo przydatny

To faktycznie dobra motywacja do głosu przeciw ;-) Rozumiem, że pomylona została sekcja. Olaf @ 16:24, 9 paź 2007 (CEST)

Faktycznie, juz poprawilem Kamil Filip Ulryk 16:28, 9 paź 2007 (CEST)
Za - mimo że matematyk ze mnie kiepski, to coś udało mi się zrozumieć ;p Bardzo dobry artykuł. Яudi ^Kontakt 21:17, 10 paź 2007 (CEST)
Smartt 02:20, 13 paź 2007 (CEST) Dobry
Chrumps ► 21:50, 13 paź 2007 (CEST)
Za Szkoda by było, gdyby taki artykuł nie został wyróżniony. Mam nadzieję, że będą następne:) Mathel (dyskusja) 23:12, 13 paź 2007 (CEST)
Za Kubłok31 19:25, 16 paź 2007 (CEST) Świetne
Za Enejsi Diskusjon 19:29, 17 paź 2007 (CEST)
Za Domski2 11:59, 25 paź 2007 (CEST)
Za Bardzo dobry artykuł. Gratulacje! Qblik ¿Ø? 02:04, 29 paź 2007 (CET)
Za Pitak 10:02, 2 lis 2007 (CET), gratuluje artykułu :)

Głosy przeciw:

Dyskusja:
Dobrze gdyby niektóre równania były w jednej linii, wtedy byłoby znacznie przejrzyściej. Przecinki na początku linii, przed równaniami, też nie wyglądają zbyt dobrze. Dałoby się to poprawić? Chrumps ► 17:17, 12 paź 2007 (CEST)

Napisz konkretniej o co chodzi, bo nie bardzo to widzę :) To może być sprawa rozdzielczości monitora. :) Loxley 06:40, 13 paź 2007 (CEST)

Właśnie sprawdziłem, problem w odmiennym wyświetlaniu wzorów przez IE6 oraz FF2 (z którego zwykle korzystam). Zrzuty ekranów jednej z sekcji artykułu dla obu przeglądarek: [1]. Nie wiem, czy można coś z tym zrobić, ale z FF korzysta jakieś 1/3 internautów, więc byłoby dobrze, gdyby wzory wyświetlały się dobrze również w FF. Chrumps ► 16:57, 13 paź 2007 (CEST)

Wow! Przecież to w firefoksie nie jest w postaci obrazków, tylko jako HTML udający wzory. Wzór wpisany do znacznik <math></math> jest renderowany do obrazka PNG (który wszędzie wygląda identyczne), albo jako HTML - to zależy od preferencji oraz od tego czy jest się zalogowanym. --WarX <talk> 17:04, 13 paź 2007 (CEST)

Ja przecież też używam Firefoxa 2.0.0.7, sprawdziłem wszystkie możliwe ustawienia w zakładce "Wzory" w preferencjach i takiego efektu nie uzyskałem. Zadziwiające... Co masz ustawione w preferencjach, Chrumps? I jaką dokładnie wersję ma Twój FF? Olaf @ 18:38, 13 paź 2007 (CEST)

No tak, właściwie to mój błąd, zwracam honor. Miałem ustawione "Spróbuj HTML; jeśli zawiedzie, to PNG", po zmianie na "HTML dla prostych, dla reszty PNG" są już tylko niewielkie błędy, dla "Zawsze jako PNG" wszystko jest już oczywiście ok. FF2.0.0.7. Pozdrawiam, Chrumps ► 21:50, 13 paź 2007 (CEST)

Tylko że ja też mam ustawienie "Spróbuj HTML; jeśli zawiedzie, to PNG", tę samą przeglądarkę i nic się nie rozjeżdżało ani nie rozjeżdża. :-) Nadal nic nie rozumiem. No trudno, Olaf @ 22:00, 13 paź 2007 (CEST)

Wszystkie znaki przestankowe będą się już doklejać do poprzedzających wzorów i razem z nimi przenosić do następnej linii. Problem chyba rozwiązany. Olaf @ 23:25, 16 paź 2007 (CEST)

Zdanie "Największa i najmniejsza wartość funkcji w całej dziedzinie nazywane są maksimum i minimum globalnym lub ekstremami globalnymi." ze wstępu brzmi mi niepoprawnie gramatycznie (l.poj a l.mn.), ale (wstyd się przyznać) nie wiem, czy rzeczywiście jest w nim błąd i jak go poprawić. Qblik ¿Ø? 02:51, 29 paź 2007 (CET)

[edytuj] Ekstrema(lny błąd)

Moja zirytowana uwaga dotyczyła ignorancji Markotka, a nie Urzyfki, którego za pomyłkę bardzo, ale to bardzo przepraszam (ekstremalnie!). -- Wlod 10:04, 8 lis 2007 (CET)

[edytuj] Skończmy tę wojnę edycyjną

U Wloda zostawiłem (mniej więcej) taką wiadomość

Drogi Wlodzie, Kłócimy się o sformułowania, a o gustach się nie dyskutuje. Proponuję "zamrozić" dyskusję (wojnę edycyjną) tego hasła na wersji ustalonej/edytowanej przez osobę trzecią czyli Googla. Proponuję też aby nie robić żadnych nieistotnych przerobień w artykułach zaakceptowanych przez społeczność (np przez przyznanie medalu). W końcu przeformułowania i inne niemerytoryczne zmiany to - często - tylko kwestia gustu i nie warto się tym zajmować. Są ważniejsze (merytoryczne!!!!) poprawki czekające na Twą ingerencję. Dzieki.

Przedstawiony powyżej apel jest skierowany do wszystkich. If It Ain't Broken, Don't Fix It! Jeśli jakieś hasło zostało przez społeczność zaakceptowany/dopracowane, to nie zminiajmy jego kształtu/formy, chyba że chodzi o poprawki merytoryczne. Stotr 15:43, 20 lis 2007 (CET)

Ponieważ dopiero po mojej w/w zmianie zauważyłem że Wlod okazał głębokie niezadowolenie moją ingerencją, wycofuję rzecz jasna moje zastrzeżenia/obiekcje. Stotr 16:19, 20 lis 2007 (CET)

[edytuj] Czy obie pochodne rzędu 2 muszą być dodatnie

tak z ciekawości - po kiego grzyba w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. mnie uczono, że wystarczy druga po x.

 ponowię pytanie, bo problem mnie nurtuje.

to jeszcze raz - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?

 bosh...
 bosh 2 - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?
 bosh 3 - nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?

PLIIIZ: nie rozumiem, dlaczego w warunkach na ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest wymóg, żeby obie pochodne cząstkowe rzędu 2 były > 0. czy ktoś mógłby to wyjaśnić?

Faktycznie, w przypadku gdy hesjan jest dodatni, to drugie pochodne mają ten sam znak, więc nie trzeba sprawdzać obydwu. Dzięki za zwrócenie uwagi, poprawiłem w artykule. 83.5.244.173 (dyskusja) 09:14, 17 maj 2008 (CEST)

We provide Linux to the World