Centro de massa

Em física , o centro de massa de um sistema de partículas é um ponto específico no qual, para muitos fins, o sistema da massa se comporta como se fosse concentrada. O centro de massa é uma função única de as posições e as massas das partículas que compreendem o sistema. No caso de um corpo rígido, a posição do seu centro de massa é fixo em relação ao objecto (mas não necessariamente em contacto com a mesma). No caso de uma distribuição de massas na solta espaço livre, tais como, digamos, tiro a partir de um espingarda, a posição do centro de massa é um ponto em espaço entre eles que podem não coincidir com a posição de qualquer massa individual. No contexto de um campo gravitacional inteiramente uniforme, o centro de massa é muitas vezes chamado o centro de gravidade - o ponto onde a gravidade pode ser dito para agir.

O centro de massa de um corpo nem sempre coincide com o seu centro geométrico intuitiva, e pode-se tirar partido desta liberdade. Os engenheiros tentam projetar uma Centro carro esporte de gravidade o mais baixo possível para tornar o carro lidar melhor. Quando ligações em ponte altas executar uma " Fosbury Flop ", eles dobrar seu corpo de tal forma que é possível para o jumper para limpar a barra, enquanto o seu centro de massa não.

A chamada centro de gravidade quadro (um termo menos preferido para a centro do quadro dinâmica) é uma inercial definida como a inercial na qual o centro de massa de um sistema está em repouso.

Definição

O centro de massa de um sistema de partículas é definida como o média das suas posições , ponderados pelos seus massas :

Para distribuição contínua com densidade de massa e massa total , A soma torna-se parte integrante:

Se um objecto tem uniforme densidade , então o seu centro de massa é o mesmo que o centróide da sua forma.

Exemplos

• O centro de massa de um sistema de duas partículas encontra-se na linha de ligação das partículas (ou, mais precisamente, os respectivos centros individuais de massa). O centro de massa está mais perto ao objecto mais maciça; para mais detalhes, consulte baricentro abaixo.
• O centro de massa de um anel é no centro do anel (no ar).
• O centro de massa de um triângulo sólido encontra-se em todos os três medianas e, por conseguinte, no centróide, que também é a média dos três vértices.
• O centro de massa de um retângulo é na intersecção das duas diagonais.
• Em um corpo com simetria esférica, o centro de massa se encontra no centro. Isto aplica-se a aproximadamente a Terra : a densidade varia consideravelmente, mas depende principalmente de profundidade e menos nas outras duas coordenadas.
• Mais geralmente, para qualquer simetria de um organismo, o seu centro de massa será de um ponto fixo que simetria.

História

O conceito de centro de gravidade foi introduzido pela primeira vez pelo grego antigo matemático, físico e engenheiro Arquimedes de Siracusa . Arquimedes mostrou que o binário exercido sobre um alavanca por pesos descansam em vários pontos ao longo da alavanca é o mesmo que o que seria se todos os pesos foram transferidas para um único ponto - o seu centro de gravidade. No trabalho em corpos flutuantes que demonstraram que a orientação de um objecto flutuante é aquele que faz com que o seu centro de gravidade mais baixo possível. Desenvolveu técnicas matemáticas para localizar os centros de gravidade dos objectos de densidade uniforme de diversas formas bem definidas, em particular, um triângulo, um hemisfério, e um tronco de um parabolóide circular.

Na Idade Média , as teorias sobre o centro de gravidade foram desenvolvidos por Abū rayhan Al-Biruni, al-Razi ( latinizado como Rhazes), Omar Khayyam, e al-Khazini.

Movimento

As seguintes equações de movimento assumir que existe um sistema de partículas regidas por forças internas e externas. Uma força é uma força interna causada pela interacção das partículas dentro do sistema. Uma força externa é uma força que se origina a partir do exterior do sistema, e age sobre uma ou mais partículas dentro do sistema. A força externa não necessita de ser devido a um campo uniforme.

Para qualquer sistema sem forças externas, o centro de massa se move com velocidade constante. Isto aplica-se para todos os sistemas clássicos com forças internas, incluindo campos magnéticos, campos eléctricos, reacções químicas, e assim por diante. Mais formalmente, isto é verdade para todas as forças internas que satisfazem a forma fraca da Terceira Lei de Newton .

A quantidade de movimento total para qualquer sistema de partículas é dado por

Onde M indica a massa total, e v é a velocidade _cm do centro de massa. Esta velocidade pode ser calculada tomando a derivada do tempo da posição do centro de massa.

Um análogo da famosa Segunda Lei de Newton é

Em que F indica a soma de todas as forças externas sobre o sistema, e um _centímetro indica a aceleração do centro de massa.

Rotação e centros de gravidade

Diagrama de um brinquedo educativo que equilibra em um ponto: o CM (C) resolve seguir o seu apoio (P). Qualquer objeto cuja CM está abaixo do fulcro não vai cair.

O centro de massa é muitas vezes chamado o centro de gravidade porque qualquer uniforme Campo de gravidade g actua sobre um sistema como se a massa M do sistema foram concentradas no centro de massa R. Isto é visto em pelo menos duas maneiras:

• O a energia potencial gravitacional de um sistema é igual à energia de um potencial ponto de partícula que tem a mesma massa M localizado em R.
• O gravitacional em um sistema binário é igual ao binário de uma força actuando M g de R:

  

Se o campo gravitacional actuando sobre um corpo não é uniforme, então o centro de massa não necessariamente exibem estas propriedades convenientes relativas gravidade. Como a situação é colocado em Feynman influente livro 's O Feynman Lectures on Physics:

"O centro de massa é por vezes chamado de centro de gravidade, pela razão de que, em muitos casos, a gravidade pode ser considerada uniforme. ... No caso de o objecto é tão grande que o nonparallelism das forças gravitacionais é significativo, em seguida, o um centro onde deve aplicar-se a força de equilíbrio não é simples de descrever, e que se afasta ligeiramente do centro de massa. É por isso que é necessário distinguir entre o centro de massa e do centro de gravidade. "

Autores posteriores muitas vezes são menos cuidadosos, afirmando que quando a gravidade não é uniforme, "o centro de gravidade" afasta-se do CM. Este uso parece implicar um "centro de gravidade" conceito para campos não uniformes bem definido, mas não existe tal coisa. Mesmo quando se considera forças de maré sobre planetas , é suficiente utilizar os centros de massa para encontrar o movimento global. Na prática, para os campos não uniformes, a pessoa simplesmente não fala de um "centro de gravidade".

CM quadro

O momento angular de um sistema de vector é igual ao momento angular de todas as partículas em torno do centro de massa, mais a quantidade de movimento angular do centro de massa, como se se tratasse de uma única partícula de massa :

Este é um corolário da Paralelo Teorema do Eixo.

Engenharia

Significado Aeronáutica

O centro de massa é um ponto importante em um avião , que afeta significativamente a estabilidade da aeronave. Para garantir a aeronave está a voar em segurança, é fundamental que o centro de gravidade queda dentro dos limites especificados. Esse intervalo varia de acordo com aviões, mas como uma regra de ouro é centrado sobre um ponto de um quarto do caminho a partir da borda da asa levando para a ala bordo de fuga (o ponto acorde trimestre). Se o centro de massa está à frente do limite de vante, a aeronave será menos manobrável, possivelmente ao ponto de ser incapaz de rodar para a decolagem ou incendiar para o pouso. Se o centro de massa está por trás do limite de ré, o braço do momento do elevador é reduzido, o que torna mais difícil a recuperação a partir de um condição parado. A aeronave vai ser mais manobrável, mas também menos estável, instável e, possivelmente, de modo que é impossível a voar.

Baricentro em astronomia

O baricentro (ou baricentro, a partir do grego βαρύκεντρον) é o ponto entre dois objetos onde eles equilibrar um ao outro. Em outras palavras, o centro de gravidade onde dois ou mais corpos celestes orbitam um ao outro. Quando um Lua orbita um planeta , ou um planeta orbita uma estrela , os dois corpos são, na verdade, que orbita em torno de um ponto que se encontra fora do centro do maior corpo. Por exemplo, a lua não orbitam o centro exato da terra, em vez de órbita um ponto fora do centro da terra (mas bem abaixo da superfície da Terra), onde as respectivas massas equilibrar-se mutuamente. A é um baricentro da focos do órbita elíptica de cada corpo. Este é um conceito importante nas áreas de astronomia , astrofísica , e semelhantes (ver problema de dois corpos).

Em um caso simples de dois corpos, r _1, a distância a partir do centro do corpo para a primeira baricentro é dada por:

onde:

um é a distância entre os centros dos dois organismos;

m ₁ e m ₂ são as massas dos dois corpos.

r ₁ é essencialmente o semi-eixo maior da órbita do primeiro corpo em torno do baricentro - e r ₂ = a - r ₁ do semi-eixo maior da órbita do segundo corpo. Quando o baricentro está localizado dentro do corpo mais massivo, que o corpo vai aparecer para "oscilação" em vez de seguir uma órbita discernível.

A tabela a seguir apresenta alguns exemplos do nosso sistema solar . São apresentados valores arredondados para três algarismos significativos. As duas últimas colunas mostram _R1, o raio do primeiro (mais maciça) do corpo, e R ₁ R / _1, a razão entre a distância a que o baricentro e raio: um valor menor que um indica que o baricentro se encontra no interior da primeiro corpo.

Se m ₁ >> m ₂ - o que é verdade para o Sol e todos os planetas -, então a relação r ₁ / R ₁ aproxima-se:

Assim, o baricentro do sistema Sol-planeta ficará fora da Sun somente se:

Isto é, onde o planeta é pesado e muito longe da Sun.

Se Júpiter tinha Mercúrio órbita (57,9 milhões km, 0,387 UA), o baricentro Sol-Júpiter seria apenas de 5,500 km a partir do centro do Sol _(R1 / R ₁ ~ 0,08). Mas mesmo que a Terra tinha Eris órbita "(68 UA), o baricentro Sol-Terra ainda estaria dentro da Sun (pouco mais de 30 mil quilômetros do centro da cidade).

Para calcular o movimento real do Sol, seria necessário para somar todas as influências de todos os planetas , cometas , asteróides , etc. do sistema solar (ver problema n-corpo). Se todos os planetas estavam alinhados no mesmo lado do Sol, o centro combinado de massa iria mentir cerca de 500.000 km acima da superfície do Sol.

Os cálculos acima são baseados na distância média entre os corpos e produzir o valor médio r _1. Mas todas as órbitas celestes são elípticas, e a distância entre os órgãos varia entre o apses, dependendo do excentricidade, e. Assim, a posição do baricentro varia muito, e é possível, em alguns sistemas para o baricentro ser, por vezes, no interior e no exterior do corpo, por vezes, mais maciça. Isto ocorre quando:

Note que o sistema Sol-Júpiter, com e _Júpiter = 0,0484, apenas não se qualificar: 1,05 ≯ 1.07> 0,954.

Animações

As imagens são representativas, não simulada.

Dois corpos de órbita em torno de uma massa semelhante baricentro comum. (Semelhante ao 90 Antíope sistema)	Dois corpos, com uma diferença em órbita em torno de uma massa baricentro comum, como é o Pluto - Sistema de Caronte.	Dois corpos com uma grande diferença na massa em órbita em torno de um baricentro comum (similar à Terra - Lua sistema)	Dois corpos com uma diferença extrema em órbita em torno de uma massa baricentro comum (similares ao Sol - Terra sistema)
Dois corpos com massa similar em órbita em torno de um baricentro comum com órbitas elípticas (uma situação comum para estrelas binárias )

Localizando o centro de massa de uma forma física 2D arbitrária

Este método é útil quando se deseja localizar o centro de gravidade de um objecto planar complexo com dimensões desconhecidas.

Passo 1: Uma forma 2D arbitrária.	Passo 2: Suspender a forma de um local perto de uma borda. Largar um prumo e marca no objeto.	Passo 3: Suspende-se o formato de uma outra posição não demasiado perto da primeira. Deixe cair um fio de prumo e marcar novamente. O ponto de intersecção das duas linhas é o centro de gravidade.

Localizando centro de massa

Este é um método para determinar o centro de massa de um objecto em forma de L.

1. Dividir a forma em dois rectângulos, como mostrado na fig 2. O centro de massas destes dois rectângulos desenhando as diagonais. Desenhar uma linha que une o centro de massas. O centro de massa da forma deve situar-se nesta linha AB.
2. Dividir a forma em duas outras rectângulos, como mostrado na Fig 3. O centro de massas destes dois rectângulos desenhando as diagonais. Desenhar uma linha que une o centro de massas. O centro de massa da L-forma deve se encontrar nesta linha CD.
3. À medida que o centro de massa da forma deve situar-se ao longo de AB e também ao longo de CD, é óbvio que é na intersecção destas duas linhas, em O. O ponto O não poderia estar dentro do objecto em forma de L.

Localizando o centro de massa de uma forma composta

Este método é útil quando você deseja encontrar o centro de gravidade de um objeto que pode ser facilmente dividido em formas elementares, cujos centros de massa são fáceis de encontrar (ver Lista de centroids). Nós só será encontrar o centro de massa na direção x aqui. O mesmo procedimento pode ser seguido para localizar o centro de massa na direção y.

A forma. Ele é facilmente dividido em um quadrado, triângulo, círculo e. Note que o círculo terá área negativa.

Do Lista de centroids, notamos as coordenadas dos centróides individuais.

A partir da equação 1 acima: unidades.

O centro de massa desta figura é a uma distância de 8,5 unidades a partir do canto esquerdo da figura.

Localizando o centro de massa por traçado em torno do perímetro da forma

Um desenvolvimento directo do Planímetro conhecido como um Integraph, ou integerometer, pode ser utilizada para estabelecer a posição do centro de massa de uma forma irregular. Um termo melhor é provavelmente planimeter momento. Este método pode ser aplicado a uma forma com um contorno irregular, liso ou complexo em que outros métodos são demasiado difícil. Foi usado regularmente por construtores de navios para garantir que o navio não iria virar. Ver Localizando o centro de massa por meios mecânicos.